全国甲卷地区高考数学专项训练——导数.doc

229当时对任意令证明南充模拟已知函数若曲线与直线相切求的值若设求证有两个不同的零点且为自然对数的底数遂宁模拟已知函数求曲线在点处的切线方程当时求证求证当时方程有且仅有个实数根四川模拟已知函数若曲线在点处的切线与曲线相切求的值若函数的图象与轴有且只有一个交点求的取值范围广元模拟已知函数讨论函数的单调性当时求函数在上的零点个数雅安模拟已知函数若方程存在两个不等的实根求的取值范围设函数是函数的两个零点证明高三下四川月考已知函数讨论函数的零点的个数当时若恒成立证明高三上五华月考已知函数讨论的单调性若恰有三个零点求的取值范围高三上五华月考已知函数329当时求的单调区间若有且仅有一个零点求的取值范围高三上水富月考已知函数当时试判断函数的单调性若且当时恒成立有且只有一个实数解证明昆明模拟已知函数求曲线在点处的切线方程证明对任意的都有昆明模拟已知函数若在上单调递增求的取值范围证明云南模拟已知函数若曲线在点处切线的斜率为求的单调区间若不等式对恒成立求的取值范围云南模拟已知函数且的最小值为求的值若不等式对任意恒成立其中是自然对数的底数求的取值范围设曲线与曲线交于点且两曲线在点处的切线分别为试判断与轴是否能围成等腰三角形若能确定所围成的等腰三角形的个数若不能请说明理由玉溪模拟已知函数讨论的单调性设函数若在上有且只有一个零点求的取值范围高三上拉孜月考已知函数且429求的值设函数若函数在上单调递增求实数的取值范围529答案解析部分答案当时由故曲线在处的切线方程为化简得令或由于函数有三个极值点所以方程必有两个不同的实根设可得易知时在上单调递增不合题意故即的两个零点必为正数令可知在单调递减在单调递增依题意要使得函数有两个不同的零点则于是有故当时在单调递减在单调递增在单调递减在单调递增即是极大值点由于当时恒成立所以故且于是在恒为正629可知函数在单调递增则故知识点利用导数研究函数的单调性函数在某点取得极值的条件利用导数研究函数最大小值利用导数研究曲线上某点切线方程函数零点存在定理解析分析利用的值求出函数的解析式再利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率再结合切点的横坐标代入解析式求出切点的纵坐标进而求出切点坐标再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程利用导数的运算法则求出函数的导函数再利用求导的方法求出函数的极值点由于函数有三个极值点所以方程必有两个不同的实根设再利用求导的方法判断函数的单调性再利用方程的根与函数零点的等价关系故即的两个零点必为正数再利用求导的方法判断函数的单调性依题意要使得函数有两个不同的零点再利用函数的单调性求出函数的最小值则于是有故当时在单调递减再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性即是极大值点由于当时恒成立再利用不等式恒成立问题求解方法所以故因为且所以于是在恒为正再利用求导的方法判断函数的单调性可知函数在单调递增则从而证出答案解当时当时所以的单调减区间为单调增区间为解设两曲线的公切线为与曲线切于点则切线方程为即又与曲线切于点则切线方程为即729所以有消元整理得所以方程根的个数即为两曲线的公切线条数设当时当时由知单调递减当时由知单调递减当且仅当时所以在单调递增在单调递减而又函数在上连续所以函数有两个零点分别位于区间和区间内所以方程有两个不同的根即两曲线有两条公切线知识点利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值解析分析首先求出函数的导数再解关于导函数的不等式求出函数的单调区间即可根据题意分别表示出和的切线整理得方程根的个数即为两曲线的公切线的条数设根据函数的单调性判断即可答案解因为所以当时当时所以在上单调递增在上单调递减从而有极大值极大值为无极小值证明令则设则因为所以所以在上单调递减又所以当时当时即当时当时所以在区间上单调递增在区间上单调递减829所以所以知识点利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值解析分析利用求导的方法判断出函数的单调性从而求出函数的极值令再利用求导的方法判断函数的单调性再利用分类讨论的方法结合函数的单调性从而证出答案由可得因为函数的图象在点处的切线的斜率为所以解得当时等价于即令则所以函数在区间上单调递增所以所以当时由题得若无极值则恒成立或恒成立当恒成立时即恒成立所以令所以令则即在上单调递增所以存在使得当时即当时即所以函数在区间单调递减函数在区间单调递增929所以函数的最小值为又因为即所以又因为则所以可得所以正整数的最大值是当恒成立时即恒成立所以又由知函数在区间上单调递增所以函数不存在最大值综上所述正整数的最大值是知识点函数单调性的性质函数的最大小值利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程解析分析由已知条件对函数求导再把点的坐标代入导函数的解析式计算出切线的斜率然后由已知条件计算出的取值从而得出不等式即令再对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性由此即可得证出结论根据题意即可得出函数的解析式从而得出若无极值则恒成立或恒成立然后对函数分情况讨论由导函数的性质即可得出不等式恒成立从而得到令对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性由函数的单调性即可求出函数的最值结合已知条件即可求出的取值范围答案解因为所以当即时在上单调递增当即时在上单调递增当即时由得1029此时所以在上单调递增在上单调递减在上单调递增综上所述当时在上单调递增当时在上单调递增在上单调递减在上单调递增证明由知当时函数在上是单调增函数且当时即当时将上个不等式相加得即得证知识点利用导数研究函数的单调性反证法与放缩法解析分析利用已知条件结合分类讨论的方法再结合求导的方法判断函数的单调性从而讨论出函数的单调性由知当时函数在上是增函数且当时即当时将这几个不等式相加结合等差数列前项和公式得出从而证出不等式成立答案解的定义域为显然1129当时在上是减函数当时在上是增函数当时恒成立即恒成立令则当时在恒成立在上是增函数在恒成立在单调递增且即恒成立当时在上是增函数由得当时当时在上是减函数在上是增函数故当时成立在上是减函数又故在时成立此时不成立综上知识点利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值利用导数研究函数最大小值解析分析利用导数研究函数的单调性直接求解即可根据化归思想将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题运用分类讨论思想根据的符号判断的单调性及最小值进而可判断的最值即可求解答案解当时在处的切线方程为解1229当时恒成立因此在上单调递减注意到不符合题意当时令令因此在上单调递减在上单调递增所以的最小值为令令令所以在单调递增单调递减所以在有最大值综上当时实数取值的集合为解当时则由知当且仅当时取等由式即当且仅当时取等可得当时综上知识点利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数最大小值利用导数研究曲线上某点切线方程综合法的思考过程特点及应用解析分析利用的值求出函数的解析式再利用求导的方法求出函数在切点处的切线方程1329由再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性从而求出函数的最小值进而求出当时的实数取值的集合当时从而求出函数的解析式则由知当且仅当时取等号再利用结合对数函数的单调性得出由式即可得当时再利用结合对数函数的单调性从而得出进而证出答案解设切点又切点在函数上即不妨设所以在上单调递减又所以必存在使得即当时所以在区间上单调递减注意到所以函数在区间上存在零点且当时所以在区间上单调递增又且所以在区间上必存在零点且综上有两个不同的零点且1429知识点利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程函数零点存在定理解析分析利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标进而求出切点的坐标再结合点斜式求出曲线在切点处的切线的方程再利用曲线与直线相切进而求出的值不妨设再利用求导的方法判断函数在上的单调性再利用零点存在性定理得出必存在使得即进而求出分段函数的解析式再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性再利用零点存在性定理所以在区间上必存在零点且进而证出函数有两个不同的零点且答案因为故在点处的切线斜率为点为故所求的切线方程为令的定义域为当时恒成立在上单调递减当时恒成立在上单调递增当时恒成立故当时由即则设的定义域为设的定义域为当时恒成立在上单调递减又存在唯一的使得当时则在上单调递增当时则在上单调递减1529在处取得极大值也是最大值从而又在与上各有一个零点即当时方程有且仅有个实数根知识点利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程函数零点存在定理解析分析求出切点坐标利用导数的几何意义求出切线的斜率从而得到切线的方程令利用导数研究函数的单调性从而得到的最小值即可证明不等式将问题转化为有且仅有个实数根设利用导数研究函数的单调性以及取值情况通过零点的存在性定理分析证明即可答案则曲线在处的切线为又直线与相切则有即由当即时恒成立在上为单调递增且则函数的图象与轴有且只有一个交点即当即有两个不同实根设两根为且由得或得则在为增函数在为减函数函数有极大值和极小值函数的图象与轴有且只有一个交点当且仅当或而即恒有即可而即1629同理而从而有综上所述与轴有且只有一个交点的取值范围为知识点利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程解析分析对求导求出曲线在处的切线的方程再由与圆相切即可得解由三次函数的图象特征按函数在单调和不单调两种情况讨论即可得解答案其定义域为当时因为所以在上单调递增当时令得令得所以在上单调递减上单调递增综上所述当时在上单调递增当时在单调递减单调递增方法一由已知得则当时因为所以在单调递减所以所以在上无零点当时因为单调递增且所以存在使当时当时所以在递减递增且所以又因为所以所以在上存在一个零点所以在上有两个零点1729当时所以在单调递增因为所以在上无零点综上所述在上的零点个数为个方法二由已知得则当时因为所以在单调递增所以所以在上无零点当时所以在单调递增又因为所以使当时当时所以在单调递减单调递增且所以又因为所以所以在上存在唯一零点所以在上存在两个零点综上所述在上的零点个数为个知识点利用导数研究函数的单调性函数的零点解析分析先求出导函数再对分情况讨论利用导函数的正负即可得到函数的单调性由已知得对的范围分情况讨论分别讨论函数的零点个数从而得到在上的零点个数为个答案由题意可得转化为函数与直线在上有两个不同交点故当时当时故在上单调递增在上单调递减1829所以又故当时当时可得另解令则当时恒成立在单调递增不满足题意当时在单调递减令则当在上单调递增在上单调递减即综上证明因为是的两个根故要证只需证即证即证即只需证明成立即证不妨设故令则在上单调递增则故式成立即要证不等式得证知识点函数的单调性与导数正负的关系利用导数研究函数的单调性导数在最大值最小值问题中的应用解析分析由分离出转化为函数与直线在上有两个不同交点进一步利用导数研究函数的单调性求函数的最值从而1929得出结果构造相关函数利用导数研究函数单调性等逐步证明结论答案函数的定义域为当时所以恒成立又因为所以函数只有一个零点当时由得由所以函数在区间单调递增在单调递减且当时因为函数在区间单调递增所以函数在区间只有一个零点且根据对数函数与幂函数的增长速度可知比变化的快所以当所以在区间也一定有一个零点所以当时有两个零点当时在区间上单调递增在上单调递减且此时函数只有一个零点当时因为函数在区间单调递增在单调递减且所以函数在区间只有一个零点且当时所以在区间上也一定有一个零点所以当时有两个零点综上当或时只有一个零点当或时有两个零点由可知欲使恒成立只需即可2029即所以令则由得由得所以在上单调递减在上单调递增所以所以即知识点利用导数研究函数的单调性不等式的综合函数的零点与方程根的关系函数的零点解析分析由已知即可求出函数解析式对函数求导再结合的取值范围即可得出导函数的性质由此即可得出函数的单调性以及单调区间然后由零点的定义即可得出零点的个数结合已知条件由即可得出使恒成立只需即可整理得到构造函数即对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性由函数的单调性即可求出即从而得证出结论即可答案解定义域为当时在单调递减在单调递增当时由得或当时在上单调递增当时在单调递增在单调递减在单调递增当时在单调递增在单调递减在单调递增综上当时在单调递减在单调递增当时在单调递增在单调递减在单调递增2129当时在上单调递增当时在单调递增在单调递减在单调递增解易知即有一个零点令要使有三个零点只需要有两个不为的零点若的零点为即解得此时有两个零点但有一个零点是此时只有两个零点故又当时则在上单调递增故至多有一个零点不合题意当且时在上单调递减在上单调递增当时故至多有一个零点不合题意舍去当且时因为所以在上有唯一零点由知当时则当且时所以在上有唯一零点从而在上有两个零点此时有三个零点综上恰有三个零点时的取值范围是知识点利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值利用导数研究函数最大小值函数的零点解析分析利用导数研究函数的单调性结合分类讨论思想求解即可根据化归思想将函数的零点个数问题等价转化为求函数的零点个数问题利用导数研究函数的零点问题运用分类讨论思想利用导数研究函数的单调性与最值从而可判断函2229数的零点即可求解答案解当时定义域为求导令得当时单调递增当时单调递减当时单调递增所以的单调递增区间为和单调递减区间为解令易知即有一个零点要使只有一个零点只需要没有零点或只有唯一零点若则无零点符合题意若则在上单调递增则在区间有且只有一个零点不符合题意若则在上单调递减在单调递增若没有零点只需要解得若有零点由则此时在上单调递减在单调递增则在区间有且只有一个零点不符合题意综上有且仅有一个零点时知识点利用导数研究函数的单调性函数零点存在定理函数的零点解析分析由的值即可得出函数的解析式再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间2329根据题意对函数求导令要使只有一个零点只需要没有零点或只有唯一零点对分情况讨论结合导函数的性质即可得出函数的单调性由函数的单调性即可求出函数的最值由零点存在性定理即可得证出结论答案当时则所以当时此时函数单调递增当时此时函数单调递减综上函数在区间上单调递增在区间上单调递减由题意可得令解得因为所以所以在上有唯一零点当时在上单调递增当时在上单调递减所以因为在上恒成立且有且只有一个实数解所以即消去并整理得令则在上恒成立所以在上单调递增又所以又且函数在上单调递增所以知识点利用导数研究函数的单调性解析分析先求出的定义域求出然后通过研究的正负即可得到函数的单调性求出利用的定义域确定的根结合有且只有一个实数解可得2429化简整理得到构造函数利用导数研究的单调性结合零点的存在性定理求出的取值范围再利用借助函数的单调性即可证明结论答案解函数的定义域为由题得又所以曲线在点处的切线方程为即解由于令得所以当时在上单调递减当时在上单调递减所以所以对任意的都有知识点利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数最大小值利用导数研究曲线上某点切线方程解析分析利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标进而求出切点坐标再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程利用求导的方法判断函数的单调性进而求出函数的极值从而求出函数的最小值进而证出对任意的都有答案解若在上单调递增则即设则因为所以故在上单调递增所以所以所以的取值范围为证明设则所以在上单调递增所以所以2529所以时当时显然故时设则则在上单调递增所以所以在上单调递增所以即所以所以只需证即证设则所以在上单调递增所以所以在上单调递增故成立所以当时综上所述知识点利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数最大小值解析分析求出函数的导数问题转化为设求出函数的导数根据函数的单调性求出的最小值从而求出的取值范围求出问题转化为只需证即证设设根据函数的单调性证明结论成立即可答案解则即令得当时当时故的单调递减区间为单调递增区间为解由即有故仅需即可2629设函数则等价于当时则在上单调递增当时等价于当时即恒成立设函数则即在递增所以则即可的取值范围为知识点函数单调性的性质函数的最大小值利用导数研究函数的单调性解析分析由已知结合导数几何意义可求然后结合导数与单调性关系即可求解由已知不等式分离得即结合已知不等式构造函数原不等式等价于然后转化为求解函数最值结合导数可求答案解因为所以所以的最小值为所以抛物线的对称轴为直线即所以解由知不等式即所以对任意恒成立令则若则所以函数在上恒成立所以解得此时无符合题意的的值2729若令解得列表如下极小值由题意可得解得所以的取值范围为解设直线的倾斜角分别为则因为所以则均为锐角若直线与轴围成的三角形是等腰三角形则或当时即结合解得而解得解得所以存在唯一的满足题意当时由可得而即整理得令则令解得列表如下2829极小值而所以在内有一个零点也是上的唯一零点所以存在唯一的满足题意综上所述与轴能围成个等腰三角形知识点函数恒成立问题导数的几何意义解析分析对函数求导求出进而可知函数的图象的对称轴即可得出的值由可将条件等价转化为对任意恒成立构造函数求导对的范围分类进行讨论即可得到的取值范围设直线的倾斜角分别为根据导数的几何意义分别求得若直线与轴围成的三角形是等腰三角形则或进而分类讨论或两种情况可得与轴能围成个等腰三角形答案解若则在上单调递增若令则当时当时在上单调递减在上单调递增综上当时在上单调递增当时在上单调递减在上单调递增解由题意知则易知在上单调递增且若则在上单调递增在上有且只有一个零点即当时在上有且只有一个零点2929若则存在使即当时当时在上单调递减在上单调递增又在上有且只有一个零点即把代入上式可知因为从而综上当或时在上有且只有一个零点知识点函数单调性的性质利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值函数零点存在定理解析分析根据题意首先求出通过若若判断导函数的符号判断函数的单调性首先构造函数则通过若若判断函数的单调性转化求解函数的零点公式即可答案解由得当时得解之得解函数有因为函数在上单调递增所以在上恒成立只要解得所以的取值范围是知识点函数恒成立问题导数的加法与减法法则利用导数研究函数的单调性解析分析利用导数的运算法则结合已知条件从而求出的值利用求出的的值结合函数的解析式从而求出函数的解析式再利用求导的方法判断函数的的单调性再结合不等式恒成立问题求解方法从而求出实数的取值范围