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心里没了光
上传于：2024-07-19
2018年高考理数真题试卷（全国Ⅲ卷）
一、选择题：
1.已知集合 𝐴={𝑥|𝑥−1≥0},𝐵={0,1,2} ，则 𝐴∩𝐵= （ ）
A. {0} B. {1} C. {1,2} D. {0,1,2}
【答案】 C
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解: 𝐴={𝑥|𝑥≥1} B= {0，1，2}
所以 𝐴∩𝐵={1,2}
故答案为：C
【分析】先解出集合A,再取交集.
2.(1+𝑖)(2−𝑖) =（ ）
A. -3-i B. -3+i C. 3-i D. 3+i
【答案】 D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】(1+i)（2-i）=2-i2+i=3+i
故答案为：D
【分析】将等式化简即可.
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构建的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】由三视图定义可知选A
【分析】从上往下看，小长方体位于大长方体内，故为虚线.
4.若 sin𝛼=13 ，则 cos2𝛼 =（ ）
A. 89 B. 79 C. - 79 D. - 89
【答案】 B
【考点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 cos2𝛼=1−2sin2𝛼=1−29=79
故答案为：B
【分析】由余弦倍角公式，转化为一倍角正弦.
5.(𝑥2+2𝑥)5 的展开式中x4的系数为（ ）
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
【答案】 C
【考点】二项式定理
【解析】【解答】 (𝑥2+2𝑥)5 通式 𝑇𝑟+1=𝐶5𝑟⋅(𝑥2)5−𝑟⋅2𝑟⋅𝑥−𝑟=𝐶5𝑟⋅𝑥10−3𝑟⋅2𝑟
令10-3r=4 ⇒ r=2 所以 𝑥4 的系数是 𝐶52⋅22=40
故答案为：C
【分析】先由二项式定理的通式求出x的指数，用r表示，再令其指数为4即可解出r.
6.直线 𝑥+𝑦+2=0 分别与 𝑥 轴， 𝑦 轴交于点 𝐴,𝐵 两点，点 𝑃 在圆 (𝑥−2)2+𝑦2=2 上，则 𝛥𝐴𝐵𝑃 面积的取值范围是( )
A. [2,6] B. [4,8] C. [2,32] D. [22,32]
【答案】 A
【考点】点到直线的距离公式，解三角形
【解析】【解答】令x=0所以B（0，-2），令y=0，则A（-2,0），所以 |𝐴𝐵|=22
又因为P到直线距离 𝑑=42=22 所以 2≤𝑑≤32
则 𝑆△𝐴𝐵𝑃∈[2,6]
故答案为：A
【分析】由点到直线距离求出高，两点间距离公式求边.
7.函数 𝑦=−𝑥4+𝑥2+2 的图像大致为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】函数的单调性及单调区间，函数奇偶性的判断，导数的几何意义
【解析】【解答】 𝑦=−𝑥4+𝑥2+2⇒𝑦′=−4𝑥3+2𝑥=−2𝑥(2𝑥+1)(2𝑥−1)
因为y是偶函数，则只需考虑 𝑥>0
当 𝑥>0 时， 2𝑥(2𝑥+1)>0
则 𝑥>22 𝑦′<0,0<𝑥<22 时 𝑦′>0
故答案为：D
【分析】先由函数奇偶性判断出只需考虑 𝑥>0 情形，再由导数可知，函数先增后减.
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 𝑝 ，各成员的支付方式相互独立，设 𝑋 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 𝐷𝑋=2.4 ， 𝑃(𝑋=4)<𝑃(𝑋=6) ，则 𝑝= （ ）
A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3
【答案】 B
【考点】一元二次不等式，极差、方差与标准差，二项式定理，二项式定理的应用
【解析】【解答】由题意可知x服从二项分布 𝑥∼𝐵(10,𝑃)
则 𝐷(𝑥)=10𝑝(1−𝑝)=2.4⇒𝑝=25或𝑝=35
又 𝑝(𝑥=4)=𝐶104⋅𝑝4⋅(1−𝑝)6<𝑝(𝑥=6)=𝐶106⋅𝑝6⋅(1−𝑝)4 ⇒𝑝>12
所以 𝑝=35 =0.6
故答案为：B 【分析】由题可知x服从二项分布，由二项分布方差求出P，再由 𝑝(𝑥=4)<𝑝(𝑥=6) 排除其中-P.
9.𝛥𝐴𝐵𝐶 的内角 𝐴,𝐵,𝐶 的对边分别为 𝑎,𝑏,𝑐 ，若 𝛥𝐴𝐵𝐶 的面积为 𝑎2+𝑏2−𝑐24 ，则 𝐶 =( )
A. 𝜋2 B. 𝜋3 C. 𝜋4 D. 𝜋6
【答案】 C
【考点】余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【解答】 𝑆△=12𝑎𝑏sin𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐24=2𝑎𝑏cos𝐶4⇒tan𝐶=1
𝐶=𝜋4
故答案为：C
【分析】由余弦定理和三角形的面积公式构建三角方程，即可求出C.
10.设 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 𝛥𝐴𝐵𝐶 为等边三角形且其面积为 93 ，则三棱锥 𝐷−𝐴𝐵𝐶 体积的最大值为( )
A. 123 B. 183 C. 243 D. 543
【答案】 B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，球的性质
【解析】【解答】当球心在三棱柱内时，体积最大，此时，如图， 设等边三角形边长为a，则 34𝑎2=93⇒𝑎=6
球心O在 △𝐴𝐵𝐶 内射影为 △𝐴𝐵𝐶 中心O1 ， 连接OB 则OB=4，O1B=2 3 ，所以OO1=2，则O1D=6 则 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷=13⋅93⋅6=183
故答案为：B
【分析】先分析出顶点在球上的位置，找到最大值点，在求出三棱锥体积.
11.设 𝐹1 ， 𝐹2 是双曲线 𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1 （ 𝑎>0 ， 𝑏>0 ）的左，右焦点， 𝑂 是坐标原点。过 𝐹2 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若 |𝑃𝐹1|=6|𝑂𝑃| ，则 𝐶 的离心率为（ ）
A. 5 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】 C
【考点】斜率的计算公式，余弦定理的应用
【解析】【解答】因为 𝑂𝐹2=𝐶 ，直线OP的斜率为 𝑏𝑎 ，则 |𝑂𝑃|=𝑎,|𝑃𝐹2|=𝑏
则 |𝑃𝐹1|=6𝑎,𝑂𝐹1=𝐶
cos∠𝑃𝑂𝐹1=−cos∠𝑃𝑂𝐹2=−𝑎𝑐
则 𝑎2+𝑏2−6𝑎22𝑎𝑐=−𝑎𝑐⇒𝑒=3
故答案为：C
【分析】先分析 △𝑃𝑂𝐹2 三边长，再由余弦定理找到a，b，c三者之间关系.
12.设 𝑎=log0.20.3 ， 𝑏=log20.3 ，则（ ）
A. 𝑎+𝑏<𝑎𝑏<0 B. 𝑎𝑏<𝑎+𝑏<0 C. 𝑎+𝑏<0<𝑎𝑏 D. 𝑎𝑏<0<𝑎+𝑏
【答案】 B
【考点】对数的概念，指数式与对数式的互化，换底公式的应用
【解析】【解答】解： 𝑎=log0.20.3>0,b=log20.3<0 所以ab＜0
又 1𝑎+1𝑏=𝑎+𝑏𝑎𝑏=log0.30.2+log0.32=log0.30.4>0 则a+b＜0
故答案为：B
【分析】由对数定义，对数运算法则，判断出ab,a+b的正负
二、填空题
13.已知 𝑎=(1,2) ， 𝑏=(2,−2) ， 𝑐=(1,𝜆) ，若 𝑐∥(2𝑎+𝑏) ，则 𝜆= ________。
【答案】 12
【考点】向量的共线定理，平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为 2𝑎+𝑏=2(1,2)+(2,−2)=(4,2)
又 𝑐=(1,𝜆)且𝑐∥(2𝑎+𝑏)
所以 4𝜆=2⇒𝜆=12则𝜆=12
【分析】由向量坐标运算得到 2𝑎+𝑏 坐标，再由共线可求出 λ.
14.曲线 𝑦=(𝑎𝑥+1)𝑒𝑥 在点 (0 ， 1) 处的切线的斜率为 −2 ，则 𝑎= ________．
【答案】 -3
【考点】导数的几何意义，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解： 𝑦=(𝑎𝑥+1)𝑒𝑥⇒𝑦′=𝑎𝑒𝑥+(𝑎𝑥+1)𝑒𝑥=(𝑎𝑥+1+𝑎)𝑒𝑥
所以 𝑦′|𝑥=0=1+𝑎=−2⇒𝑎=−3
【分析】先求导，再求出x=0处导数值，即可得到答案
15.函数 𝑓(𝑥)=cos(3𝑥+𝜋6) 在 [0 ， 𝜋) 的零点个数为________．
【答案】 3
【考点】余弦函数的图象
【解析】【解答】 𝑓(𝑥)=cos(3𝑥+𝜋6) ，因为 0≤𝑥≤𝜋⇒𝜋6≤3𝑥+𝜋6≤3𝜋+𝜋6
则 3𝑥+𝜋6=