数学毕业论文-判别二次曲面是直纹面的方法毕业论文.doc

判别二次曲面是直纹面的方法数学与信息学院数学与应用数学专业摘要本文就有关二次曲面是直纹面的几种常用判定方法加以了总结和推广并对单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面加以了证明而且还对所运用的判定方法分别进行了举例说明从而更有利于理论与实践相结合进一步提高了对各种知识的分析理解能力关键词二次曲面直纹面单叶双曲面双曲抛物面方程因式分解引言通过我们已对二次曲面的学习后不难看出二次曲面的有关知识的讨论是空间解析几何中非常重要的内容之一而在二次曲面中的直纹面又是非常重要的一类直纹面的相关知识在我们实际生活生产中如在建筑行业机械加工以及医疗光学等方面的应用都是非常广泛的总之在我们的日常生活现代化生产科学研究等方面对二次曲面中的直纹面知识的运用都是非常广泛的为此我们非常有必要对直纹面的相关知识加以了解所谓直纹面是指如果曲面上有一族单参数随着一个参数变化的一族直线而的每一点都在这族直线上就是我们所说的直纹面这族直线中的每一条直线都称为直母线在我们已学过的曲面中的柱面锥面特别二次曲面中的椭圆柱面双曲柱面抛物柱面都是直纹面在我们所学过的二次曲面的类型是非常多的其中有些二次曲面是直纹面而有些又不是直纹面那么在如此众多的二次曲面中我们如何对其直纹性进行快速而又准确的判定呢下面我就有关二次曲面是否是直纹面的判定方法加以总结和简单的推广并结合相关实例进行说明判别曲面是直纹面的方法根据直纹面的定义进行直接的判别直纹面是由一族直线所构成的曲面简单地说也就是将某一条直线进行一定方向的移动后所形成的一个轨迹将这个轨迹看成是一个曲面那么这个曲面也就是我们常提到的直纹面了像我们平常看到的平面柱面锥面等都可以直接看作是其中某一条直线经过移动后所形成的轨迹将这个轨迹看成一个曲面从而很自然由直纹面的定义就可以知道这样的曲面就是直纹面在中学时代就学过的平面我们可以将其看成是一条直线沿某一个固定方向进行平行移动后所形成的轨迹由平行于某一个方向且与一条空间定曲线相交的一族平行直线所组成的曲面叫做柱面定曲线叫做柱面的准线平行直线族中的每一条都叫做柱面的直母线定方向是直母线的方向也叫柱面方向很显然柱面由它的准线和母线方向所确定它是直母线沿着准线平行移动所形成的轨迹也可以看作准线沿着柱面方向平行移动所形成的轨迹对于锥面它是指过定点且与一条不过定方向的定曲线相交的一族直线组成的曲面从以上的平面柱面锥面的定义可以看出它们都可以看成是一条直线经过移动后所形成的轨迹是完全符合直纹面的定义的因此要是我们遇到可以直接判断出所给的二次曲面是平面柱面锥面等我们就可以直接根据直纹面的定义判断出所给二次曲面是直纹面根据二次曲面的方程的特点直接判别在直角坐标系内我们把由三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面这里和是不全为零的实数根据二次曲面的特点我们可以得到关于二次曲面是直纹面的两个结论定理若方程中缺少一个变量则它表示母线平行于与所缺变量同名的坐标轴的柱面在空间坐标系中曲面的方程如不含某个坐标表示母线平行于这个坐标轴的柱面如分别表示母线平行于轴轴轴的柱面因此是直纹面定理在取定的空间坐标系下的次齐次方程的图象是顶点在原点的锥面证明设是一个次齐次方程则由齐次方程的定义有将代入上式得说明原点在在方程的图象上设非原点满足则直线的方程为代入得说明直线上的每一点均落在方程的图象上从而方程的图象是由经过原点的一族直线组成的即它是以原点为顶点的锥面推论若方程是关于的齐次方程则此方程所表示的曲面是以为顶点的锥面因而是直纹面例判定下列曲面是直纹面解因为中缺少变量因而我们可以由定理知道它表示一个平行轴的柱面而柱面可以看成是由直线移动所形成的曲面也就是由直纹面的定义就可以看出是直纹面将上面可以看成的齐二次方程由定理和推论可以知道它表示一个以为顶点的锥面所以它是直纹面利用二次曲面的标准方程判别其是否是直纹面对于非退化的二次曲面只有柱面锥面单叶双曲面抛物双曲面是直纹面因此我们对二次曲面是否是直纹面的判定时我们可以通过二次曲面的化简首先将一般方程化为标准方程然后判定它是否是直纹面下面就空间解析几何二次曲面方程的化简运用正交变换法和单叶双曲面以及双曲抛物面是否是直纹面等相关知识进行说明在空间中由三元二次方程所表示的曲面叫二次曲面利用坐标变换通过选取适当的坐标系我们就可以将二次曲面方程写成以下十七种标准方程的形式之一椭球面虚椭球面虚二次锥面单叶双曲面双曲双曲面二次锥面椭圆抛物面双曲抛物面椭圆柱面虚椭圆柱面一对共轭平面双曲柱面一对相交平面抛物柱面一对平行平面一对共轭虚平面一对重合平面这就说明二次曲面的各种可能的情况共有以上的十七种标准形式因此我们可以说三元二次所可能确定的本质上不同的十七种曲面中除了虚的轨迹与分解为平面方程以外对于下面的六种曲面单叶双曲面方程二次锥面方程双曲抛物面方程椭圆柱面方程双曲柱面方程抛物柱面方程可以看出这六种曲面中的每一个曲面都可以由一族直线构成因此这些二次曲面都是直纹面接着我们来讨论下如何运用正交变换法对二次曲面进行化简设一般二次曲面的方程为其中二次系数不全为零全部系数均为实数方程的左端显然不是二次型只有二次部分才是这样直接寻找一个正交变换既可以消去交叉项又能消去一次项或常数项是比较困难的只有作旨在消去交叉项的正交变换后使新方程左端仅含平方项一次项和常数项再利用配方又作一次正交变换来化简二次曲面的方程是可行的与坐标变换比较起来更简捷得多其具体的化简方法我们可以通过如下的一个非中心型二次曲面的例子来说明例化简二次曲面方程并对其是否是直纹面作出判断解将中的分别换成得其中二次型为由二次曲面的方程可以得到的系数矩阵为其中的特征方程为特征根为对于解齐次方程组它的系数矩阵的秩为故只需解一个方程容易得单位化后分别为对于解齐次方程组它的系数矩阵的秩为解得单位化后为显然不难验证通过正交变换得即原二次型变为将代入得到即为再作变换即正交变换后得由曲面的规范方程为则它所表示的是抛物柱面即为直纹面其次我们来讨论下单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性我们知道一个二次曲面是柱面或锥面它一定是直纹二次曲面例如当二次方程的左边只有二次项没有常数项和一次项则它是一个锥面称为二次曲面即是直纹面又若中有一个变量没有出现则它是一个柱面称为二次曲面也是直纹面如果有记为平面则二次曲面是和的并集它或是两张相交平面当和相交时或是两张平行平面当和平行而不重合时或是一张平面当和重合时无论何种情况它都是直纹面对于单叶双曲面在二次曲面中的单叶双曲面方程为在二次曲面中的单叶双曲面方程为这里是个正常数定理单叶双曲面为直纹面证明其中均为非零实数设曲面上存在的直线的方程为由式代入可得到即因为对于任意的上式均成立所以有由中最后一个等式可以知道不能同时为不妨设由式中第二个等式可以得到又因为为实数上式有实数解的条件为经整理可以得到由于为非零实数所以有因为不能全为负只能两正一负所以在椭圆面和双曲面中只有单叶双曲面是直纹面对于双曲抛物面其中为非零实数若其上存在直线则由式代入式可以得到由于上式对于任意都成立所以有由式中第二个式子可知不能同时为否则会为又由式中的第一个式子可知必须异号由上可知在抛物面中只有双曲抛物面是直纹曲面因式分解二次曲面方程判定其直纹性在空间解析几何教材中在标准方程形式下证明了单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面并给出了直母线族的方程那么这种方法可以推广到一般的二次曲面方程中去从而去判别一个二次曲面是否为直纹面若是直纹面还可以得到它的直母线方程定理非退化的二次曲若能分解成其中的次数小于等于则是直纹面并且它的直母线可以表示为不全为零或不全为零其中是使上式有意义的参数推论若表示相同的直线族则此曲面是柱面或锥面当直母线族的方向向量与参数无关时此时的曲面一定是柱面当通过一定点时它一定是锥面例判断下列曲面的类型解因为是的形式故是直纹面又因为故式与式相同所以可以逐步判断出它是柱面或是锥面下面我们通过推论中所讲的方向向量确定其是柱面还是锥面直线族的方向向量是所以可以判断出它是锥面因为方程可以改为故它表示为一个柱面或锥面而直母线族的方向向量所以它表示为一个柱面对于直纹面中的柱面和锥面还可以讨论其特殊性例证明表示为一个圆锥面证明因为方程是关于的齐二次方程所以它表示一个顶点在原点的锥面要证明它表示为圆锥面只须证明它的直母线与固定方向成定角为此求出它的直母线族方程为其中方向向量为取三条直母线方向向量和这里令解得令而其中为直母线族与定方向所成的角从而知道直母线族于定方向是成定角故其方程表示为一个圆锥面利用定理对二次曲面的直纹性进行判定设有二次曲面记则有如下的二次曲面直纹性判定定理定理给定二次曲面方程为对于上任意一点如果方程有非零实数解则是直纹面并且为在过点处的直母线方向证明要证明是直纹面只须证明对于上任意一点过点总有直线落在上为此过点的直线为其方程为于是的参数方程为为参数今假设整条直线落在故对一切的取值应满足将代入整理即得关于的恒等式而点在上所以有恒等式恒成立的的充要条件是方程组成立因此若有非零实数解则总有直线落在上即知是直纹面并且为的直母线例判定曲面是否是直纹面其中为不全为零的常数解将的方程展开为从而又利用定理中的得方程组解之得即因此由定理知是直纹面并且由于过上任意一点处的直母线方向为常向量还可以进一步知道是柱面结束语本文在空间解析几何中的二次曲面的相关知识基础上就直纹面的定义常见的直纹面利用二次曲面方程的特点二次曲面方程的化简将二次曲面方程利用因式分解以及利用定理等手段来对二次曲面的直纹性做出了判别对于相应的判别方法都加以举出实例进行说明致谢在我毕业论文开题调查研究和撰写过程中张三华副教授给予了我耐心细致和全面的帮助在此我特向张老师表示感谢参考文献蒋大为空间解析几何及其应用科学出版社梅向明黄敬之微分几何高等教育出版社黄宣国空间解析几何复旦大学出版社龙承生解析几何北京大学出版社李养成空间解析几何科学出版社谭水木二次曲面直纹性的判定许昌师专学报陈绍菱空间解析几何习题试析北京师范大学出版社黄艳红二次曲面的讨论刑台职业技术学院学报方荣凡二次曲面方程的化简菏泽师专学报年第期目录摘要引言判别曲面是直纹面的几种方法根据直纹面的定义进行直接的判别根据二次曲面的方程的特点直接判别利用二次曲面的标准方程判别其是否是直纹面因式分解二次曲面方程判定其直纹性利用定理对二次曲面的直纹性进行判定结束语参考文献致谢