小学四年级数学竞赛学案 逻辑推理.doc

逻辑推理问题 任何一道数学题，任何一个思维过程，都需要逻辑分析、判断和推理。我们这里所说的逻辑问题，是指那些主要不是通过计算，而是通过逻辑分析、判断和推理，得出正确结论的问题。 逻辑推理必须遵守四条基本规律： （1）同一律：在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，不能改变。 　　（2）矛盾律：在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是错误的。例如，“这个数大于8”和“这个数小于5”是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是错的，甚至两个都是错的。 　　（3）排中律：在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，它们不能同时都错。例如“这个数大于8”和“这个数不大于8”是两个恰好相反的判断，其中必有一个是对的，一个是错的。 　　（4）理由充足律：在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足的理由。 我们在日常生活和学习中，在思考、分析问题时，都自觉或不自觉地使用着上面的规则，只是没有加以总结。例如假设法，根据假设推出与已知条件矛盾，从而否定假设，就是利用了矛盾律。在列表法中，对同一事件“√”与“×”只有一个成立，就是利用了排中律。 逻辑推理问题解决的方法一般有： 列表画图法 假设推理法 枚举筛选法 下面我们将通过例题来学习上述的四个规律和三种解决逻辑推理问题的方法。 （一）列表画图法 例1 、张聪、王仁、陈来三位老师担任五（2）班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门。现知道： 　　（1）英语老师和数学老师是邻居； 　　（2）王仁年纪最小； 　　（3）张聪喜欢和体育老师、数学老师来往； 　　（4）体育老师比语文老师年龄大； 　　（5）王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。 　　请判断各人分别教的是哪两门课程。 　　分析与解：题中给出的已知条件较复杂，我们用列表法求解。先设计出右图的表格，表内用“√”表示肯定，用“×”表示否定。因为题目说“每人教两门”，所以每一横行都应有2个“√”；因为每门课只有一人教，所以每一竖列都只有1个“√”，其余均为“×”。 　　
　　由（3）知，张聪不是体育、数学老师；由（5）知，王仁不是语文、音乐老师；由（2）（4）知，王仁不是体育老师，推知陈来是体育老师。至此，得到左下表。 　　 INCLUDEPICTURE "http://www.yangteacher.com/Upload/newsimg/200925165545580.JPG" \* MERGEFORMATINET 
　 　　 INCLUDEPICTURE "http://www.yangteacher.com/Upload/newsimg/200925165545621.JPG" \* MERGEFORMATINET 
 　　由（3）知，体育老师与数学老师不是一个人，即陈来不是数学老师，推知王仁是数学老师；由（1）知，数学老师王仁不是英语老师，推知王仁是美术老师。至此，得到右上表。 　　由（4）知，体育老师陈来与语文老师不是一个人，即陈来不是语文老师，推知张聪是语文老师；由（5）知，语文老师张聪不是音乐老师，推知陈来是音乐老师；最后得到张聪是英语老师，见下表。 　　 INCLUDEPICTURE "http://www.yangteacher.com/Upload/newsimg/200925165545360.JPG" \* MERGEFORMATINET 
 　　所以，张聪教语文、英语，王仁教数学、美术，陈来教音乐、体育。 　　以上推理过程中，除充分利用已知条件外，还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件，充分加以利用。另外，还充分利用了表格中每行只有两个“√”，每列只有一个“√”，其余都是“×”这个隐含条件。 　　例2、 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道： 　　（1）小明不在一小； 　　（2）小芳不在二小； 　　（3）爱好乒乓球的不在三小； 　　（4）爱好游泳的在一小； 　　（5）爱好游泳的不是小芳。 　　问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？ 　　分析与解：这道题比例1复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。与四年级第26讲例4类似，先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示： 　　 INCLUDEPICTURE "http://www.yangteacher.com/Upload/newsimg/200925165546371.jpg" \* MERGEFORMATINET 
 　　因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表3可补全为表4。 　　 INCLUDEPICTURE "http://www.yangteacher.com/Upload/newsimg/200925165546797.jpg" \* MERGEFORMATINET 
 由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。 （二）假设推理法 例3、小说《镜花缘》中有一段林之祥与多久公飘洋过海的故事。有一天他们来到了“两面国”，却忘记了这一天是星期几。迎面见了“两面国”里的牛头和马面。他们知道，牛头在星期一、二、三说假话，在星期四、五、六、日说真话；马面在星期四、五、六说假话，在星期一、二、三、日说真话。牛头说：“昨天是我说假话的日子。”马面说：“真巧，昨天也是我说假话的日子。” 　　请判断这一天是星期几。 　　分析与解：因为牛头、马面只有星期日都说真话，其它时间总是一个说真话，另一个说假话，所以这一天不是星期日，否则星期六都说假话，与题意不符。 由题意知，这一天说真话的，前一天必说假话；这一天说假话的，前一天必说真话。推知这一天同时是牛头、马面说假话与说真话转换的日子。因为星期二、三、五、六都不是说假话与说真话转换的日子，所以这一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛头由说真话变为说假话的日子，但不是马面由说假话变为说真话的日子，所以这一天也不是星期一；星期四是牛头由说假话变为说真话的日子，也是马面由说真话变为说假话的日子，所以这天是星期四。 　　例4 、A，B，C，D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下。 　　A：“C，D两人中有人做了好事。” 　　B：“C做了好事，我没做。” 　　C：“A，D中只有一人做了好事。” 　　D：“B说的是事实。” 　　最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。到底是谁做了好事？ 　　分析与解：我们用假设法来解决。题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当B，C都做了好事，或B，C都没做好事，或B做了好事而C没做好事时，B说的话都与事实有出入。 　　因为B与D说的是一样的，所以只有两种可能，要么B与D正确，A与C错；要么B与D错，A与C正确。（1）假设B与D说的话正确。这时C做了好事，A说C，D两人中有人做了好事，A说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。所以假设不对。 　　（2）假设A与C说的话正确。那么做好事的是A与C，或B与D，或C与D。若做好事的是A与C，或C与D，则B说的话也正确，与题意不符；若做好事的是B与D，则B说的话与事实不符，符合题意。 综上所述，做好事的是B与D。  （三）枚举筛选法 例5、桌上放了8张扑克牌，都背向上，牌放置的位置如图所示。现已知 每张都是A、K、Q、J中的某一张； 这8张牌中至少有一张Q； 其中只有一张A； 所有的Q都夹在两张K之间； 至少有一张K夹在两张J之间； 至少有两张K相邻； J与Q互不相邻A与K也互不相邻。 你知道这8张牌各是什么牌吗？  分析与解：为了便于说明8张牌的位置，我们将其编号，如图，根据条件②、④，Q的位置有4种可能：①3和6同时为Q；②3为Q；③6为Q；④4为Q。下面分别对这4种情况进行讨论： 3和6同时为Q则2、 4、 5、 7或2、 4、 8为K，但这两种情况都不能满足条件⑤，排除。 3为Q，则2、 4为K，由条件⑦，A只能在5、 7 、8的位置上，且6不能为K，又有条件⑥，则1必须是K，同样不能满足条件⑤，排除。 6为Q，则4、 8或5、 7为K，若4、 8为K，不能满足条件⑤，若5、 7为K，由条件⑥，3必须为K，则2、 4应为J（条件⑤）但这与条件⑦不符，排除。 只能4为Q，此时1、 6为K，5、 7为J8为K。现只剩下2、 3两个位置，根据要求可知，3为A，2为J 这里为了解决问题的方便，吧问题分为不重复，不遗漏的有限种情况，然后对各种情况一一枚举，逐个检验，淘汰非解。最终达到解决整个问题的目的。这就是数学中经常用到的“枚举筛选法”