2018年高考数学真题试卷（江苏卷）(教师版).docx

2018年高考数学真题试卷（江苏卷） 一、填空题 1.    已知集合 𝐴={0,1,2,8},𝐵={−1,1,6,8} ,那么 𝐴∩𝐵= ________. 【答案】 {1，8} 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解:因为A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},则 𝐴∩𝐵={1，8} 【分析】找出集合A,B公共元素即可 2.   若复数 𝑧 满足 𝑖⋅𝑧=1+2𝑖 ，其中 𝑖 是虚数单位，则 𝑧 的实部为________. 【答案】 2 【考点】复数的基本概念 【解析】【解答】解:∵i·z=1+2i得：z=1+2𝑖𝑖=1+2𝑖−𝑖−𝑖2=2−𝑖 ∴实部为2 【分析】Z=a+bi,(a,b∈R),则a为实部，b为虚部。 3.   已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________.
【答案】 90 【考点】众数、中位数、平均数 【解析】【解答】解： 89+89+90+91+915=90 【分析】将所有数字加起来除以总个数。 4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 𝑆 的值为________.
【答案】 8 【考点】循环结构，程序框图 【解析】【解答】解：i=1,s=1,i=3,s=2,i=5,s=4,i=7,s=8 【分析】模拟程序运行，即可得出运行后输出S的值。 5.函数 𝑓(𝑥)=log2𝑥−1 的定义域为________. 【答案】 [2,+∞) 【考点】对数函数的定义域，不等式 【解析】【解答】解： log2𝑥−1≥0⇒𝑥≥2 ,即 [2,+∞) 。 【分析】偶次被开方数非负，得到不等式，解对数不等式。 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率是________. 【答案】 310 【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】解： 𝑃=𝐶32𝐶52=310 【分析】从5合产生中选2名 𝐶52 ，是2名女生 𝐶32 。 7.已知函数 𝑦=sin(2𝑥+𝜑)(−𝜋2<𝜑<𝜋2) 的图像关于直线 𝑥=𝜋3 对称,则 𝜑 的值是________. 【答案】 −𝜋6 【考点】正弦函数的图象 【解析】【解答】解： 2×𝜋3+𝜑=𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈𝛿 ⇒𝜑=−𝜋6+𝑘𝜋,𝑘∈𝛿，又−𝜋2<𝜑<𝜋2 𝜑=−𝜋6 【分析】将 2𝑥+𝜑 作整体看，正弦对称轴方程为 𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈𝛿 ，解出 𝜑 ，由 𝜑 的范围，得出 𝜑 的值。 8.在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中,若双曲线 𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0) 的右焦点 𝐹(𝑐,0) 到一条渐近线的距离为 32𝑐 ,则其离心率的值是________ 【答案】 2 【考点】点到直线的距离公式，双曲线的参数方程 【解析】【解答】解：右焦点F（C,0）到 𝑦=𝑏𝑎𝑥 的距离， 32𝐶=𝑏𝑐𝑎1+𝑏2𝑎2⇒𝑒=2 【分析】点到直线距离公式，得到焦点到渐近线的距离。 9.函数 𝑓(𝑥) 满足 𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥)(𝑥∈𝑅) ,且在区间 (−2,2) 上 𝑓(𝑥)={cos𝜋𝑥2,0<𝑥≤2|𝑥+12|,−2<𝑥≤0 ,则 𝑓(𝑓(15)) 的值为________ 【答案】 22 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的周期性 【解析】【解答】解： 𝑓(15)=𝑓(−1)=|−1+12|=12 又 𝑓(12)=cos𝜋2×12=22 【分析】先算 𝑓(15) ，再算 𝑓(12) 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________
【答案】 43 【考点】组合几何体的面积、体积问题，图形的对称性 【解析】【解答】解：此多面体为正八面体，是两个正四棱锥 𝑉=2×13×(2)2⋅1=43 【分析】由正方体对称性，可知多面体为正八面体。 二、解答题 11.若函数 𝑓(𝑥)=2𝑥3−𝑎𝑥2+1(𝑎∈𝑅) 在 (0,+∞) 内有且只有一个零点，则 𝑓(𝑥) 在 [−1,1] 上的最大值与最小值的和为________ 【答案】 -3 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 【解析】【解答】解： 𝑓′(𝑥)=2𝑥⋅(3𝑥−𝑎),𝑥∈(0,+∞) 当a≤0时， 𝑓′(𝑥)>0 ∴ 𝑓(𝑥)在(0,+∞)递增 𝑓(0)=1 时，则在 (0,+∞) 为零点，舍去 当a＞0时， 𝑓(𝑥)在 (0，𝑎3) 递减， (𝑎3,+∞) 递增，又 𝑓(𝑥) 只有一个零点， 𝑓(𝑎3)=0⇒𝑎=3 𝑓(𝑥)=2𝑥3−3𝑥2+1 𝑓′(𝑥)=6𝑥(𝑥−1),𝑥∈[−1,1] 𝑓′(𝑥)>0⇒𝑥∈(−1,0) ∴ 𝑓(𝑥) 在 (−1,0) 递增，（0,1）递减 𝑓(−1)=4,𝑓(0)=1,𝑓(1)=0⇒ 最大值与最小值和为-3 【分析】先求导，根据a的不同值分类讨论，有且仅有一个零点，得到a=3，再分析 𝑓(𝑥) 单调性，求出最值。 12.在平面直角坐标系 𝑋𝑂𝑌 中， 𝐴 为直线 𝑙:𝑦=2𝑥 上在第一象限内的点， 𝐵(5,0) 以 𝐴𝐵 为直径的圆 𝐶 与直线 𝑙 交于另一点 𝐷 ，若 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷=0 ,则点 𝐴 的横坐标为________ 【答案】 3 【考点】平面向量坐标表示的应用 【解析】【解答】解： 𝐴𝐵⋅𝐶𝐷=0⇒𝐴𝐵⊥𝐶𝐷 又C为AB中点， ∴ ∠𝐵𝐴𝐷=45∘ 设l的倾斜角为 𝜃 ， tan∠𝐴𝐵𝑂=−tan(𝜃+45∘)=3⇒𝑘𝐴𝐵=−tan∠𝐴𝐵𝑂=−3 {𝑙𝐴𝐵:𝑦=−3(𝑥−5)𝑦=2𝑥⇒𝑥𝐴=3 【分析】先求出 𝑙𝐴𝐵 斜率，再联立方程组，求出 𝑥𝐴 。 13.在 𝛥𝐴𝐵𝐶 中，角 𝐴,𝐵,𝐶 所对应的边分别为 𝑎,𝑏,𝑐 ∠𝐴𝐵𝐶=120∘ , ∠𝐴𝐵𝐶 的平分线交 𝐴𝐶 于点 𝐷 ，且 𝐵𝐷=1 ,则 4𝑎+𝑐 的最小值为________ 【答案】 9 【考点】平均值不等式 【解析】【解答】解： 12𝑎𝑐sin120∘=12𝑎sin60∘+12𝑐sin60∘⇒𝑎𝑐=𝑎+𝑐 ⇒ 1𝑎+1𝑐=1⇒4𝑎+𝑐=(4𝑎+𝑐)(1𝑎+1𝑐)=𝑐𝑎+4𝑎𝑐+5≥9 当且仅当 𝑐𝑎+4𝑎𝑐⇒𝑐=2𝑎时，取“=”号 . 故答案为：9 【分析】先由面积公式得到a,c关系，再用均值不等式，求出最值. 14.已知集合 𝐴={𝑥|𝑥=2𝑛−1,𝑛∈𝑁∗},𝐵={𝑥|𝑥=2𝑛,𝑛∈𝑁∗} ,将 𝐴∪𝐵 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 {𝑎𝑛} ,记 𝑆𝑛 为数列的前 𝑛 项和，则使得 𝑆𝑛>12𝑎𝑛+1 成立的 𝑛 的最小值为________. 【答案】 27 【考点】数列的求和 【解析】【解答】解： 𝑆26=21×(1+41)2+2×(1−25)1−2=503 𝑎27=43⇒12𝑎27=516 不符 𝑆27=22×(1+43)2+2×(1−25)1−2=546 𝑎28=45⇒12𝑎28=540 符合 所以n最小值27 【分析】列举法，用求和公式看符不符合题意。 15.在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中， 𝐴𝐴1=𝐴𝐵,𝐴𝐵1⊥𝐵1𝐶1
求证： （1）𝐴𝐵// 平面 𝐴1𝐵1𝐶 （2）平面 𝐴𝐵𝐵1𝐴1⊥ 平面 𝐴1𝐵𝐶 【答案】 （1）解：因为 𝐴𝐵∥𝐴1𝐵1 ,又AB ⊄ 面 𝐴1𝐵1𝐶 , 𝐴1𝐵1 ⊂ 面 𝐴1𝐵1𝐶 ∴ 𝐴𝐵∥面𝐴1𝐵1𝐶 （2）解：∵ 𝐴𝐴1=𝐴𝐵 ，∴四边形ABB1A1为菱形, ∴ 𝐴𝐵1⊥𝐴1𝐵 又 𝐵1𝐶1∥𝐵𝐶,𝐴𝐵1⊥𝐵1𝐶1 ， ∴ 𝐴𝐵1⊥𝐵𝐶 ， 又 𝐴𝐵1⊥𝐴1𝐵 𝐴1𝐵∩𝐵𝐶=𝐵 , 𝐴1𝐵⊂面𝐴1𝐵𝐶 ， 𝐵𝐶⊂面𝐴1𝐵𝐶 ∴ 𝐴𝐵1⊥面𝐴1𝐵𝐶 , ∴ 𝐴𝐵1⊂面𝐴𝐵𝐵1𝐴1 ∴ 面𝐴𝐵𝐵1𝐴1 ⊥ 面 𝐴1𝐵𝐶 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）先在面 𝐴1𝐵1𝐶 内找到直线 𝐴1𝐵1 与AB 平行，得到线面平行。（2）在面 𝐴1𝐵𝐶 内找到两直线 𝐴1𝐵 ，BC与 𝐴𝐵1 垂直，则线面垂直，又线在面 𝐴𝐵𝐵1𝐴1 内，则面 𝐴𝐵𝐵1𝐴1 ⊥ 面 𝐴1𝐵𝐶 16.已知 𝛼,𝛽 为锐角， tan𝛼=43 ， cos(𝛼+𝛽)=−55 。 （1）求 cos2𝛼 的值。 （2）求 tan(𝛼−𝛽) 的值。 【答案】 （1）解：∵ {tan𝛼=43sin2𝛼+cos2𝛼=1𝛼为锐角⇒{sin𝛼=45cos𝛼=35 则 cos2𝛼=-725（2）解：由（1）可知， sin2𝛼=2sin𝛼⋅cos𝛼=2425 ， tan2𝛼=sin2𝛼cos2𝛼=-247 𝛼,𝛽∈(0,𝜋2) ，所以 𝛼+𝛽∈(0,𝜋) 即 sin(𝛼+𝛽)=255 ， tan(𝛼+𝛽)=sin(𝛼+𝛽)cos(𝛼+𝛽) =-2 tan(𝛼−𝛽)=tan[2𝛼−(𝛼+𝛽)]=tan2𝛼−tan(𝛼+𝛽)1+tan2𝛼⋅tan(𝛼+𝛽)=−211 【考点】同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用 【解析】【分析】（1）同三角函数关系，得到 sin𝛼,cos𝛼 ，再用倍角公式。（2）配凑角， 𝛼−𝛽=2𝛼−(𝛼+𝛽) 17.某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 𝑂 的一段圆弧 𝑀𝑃𝑁 ( 𝑃 为此圆弧的中点)和线段 𝑀𝑁 构成,已知圆 𝑂 的半径为40米,点 𝑃 到 𝑀𝑁 的距离为50米,先规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 .大棚Ⅱ内的地块形状为 𝛥𝐶𝐷𝑃要求 𝐴𝐵 均在线段 𝑀𝑁 上, 𝐶,𝐷 均在圆弧上,设 𝑂𝐶 与 𝑀𝑁 所成的角为θ
（1）用 θ 分别表示矩形 ABCD 和 ΔCDP 的面积,并确定 sinθ 的取值范围 （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当 θ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 【答案】 （1）解： 𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷=(40sin𝜃+10)⋅80cos𝜃=800(4sin𝜃cos𝜃+cos𝜃) 𝑆△𝐶𝐷𝑃=12⋅80⋅cos𝜃⋅(40−40sin𝜃)=1600⋅(cos𝜃−cos𝜃⋅sin𝜃) 当B，N重合时， 𝜃 最小，此时 sin𝜃=14 当C，P重合时， 𝜃 最大，此时 sin𝜃=1 ，所以 sin𝜃∈[14,1) （2）解：设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜面积总产值为3t ∴ 𝑦=3200𝑡⋅(4sin𝜃⋅cos𝜃+cos𝜃)+4800𝑡⋅(cos𝜃−cos𝜃⋅sin𝜃) ⇒𝑦=8000𝑡(sin𝜃⋅cos𝜃+cos𝜃) 其中 sin𝜃∈[14,1) 设 𝑓(𝜃)=sin𝜃⋅cos𝜃+cos𝜃 ⇒𝑓′(𝜃)=cos2𝜃−sin2𝜃−sin𝜃=−2sin2𝜃−sin𝜃+1 令 𝑓′(𝜃)=0⇒sin𝜃0=12 ， ∴ 𝜃0=𝜋6,cos𝜃0=32 当 sin𝜃∈[14,12)时，𝑓′(𝜃)>0∴𝑓(𝜃)↗ 当 sin𝜃∈[12，1)时，𝑓′(𝜃)<0∴𝑓(𝜃)↘ ∴当 𝜃=𝜋6 时，总产值y最大 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 【解析】【分析】由图形，根据三角函数值，求出面积由导数求出单调性即可 18.如图，在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，椭圆C过点 (3,12) ，焦点 𝐹1(−3,0),𝐹2(3,0) ，圆O的直径为 𝐹1𝐹2 .
（1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线 𝑙 与圆O相切于第一象限内的点P. ①若直线 𝑙 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线 𝑙 与椭圆C交于A、B两点.若 𝛥𝑂𝐴𝐵 的面积为 267 ，求直线 𝑙 的方程. 【答案】 （1）解：∵ 𝐶=3 ∴圆O: 𝑥2+𝑦2=3 ，点 (3,12) 在椭圆上， 3𝑎2+14𝑏2=1 又 𝑎2=𝑏2+𝑐2 ∴a=2,b=1,即 𝐶 ： 𝑥24+𝑦2=1 （2）解：①直线l概率 𝑘<0 ，设l:y=kx+m（ 𝑘<0 ，m＞0） {𝑦=𝑘𝑥+𝑚𝑥2+𝑦2=3⇒(𝑘2+1)𝑥2+2𝑘𝑚𝑥+𝑚2−3=0 ， △=0⇒𝑚2=3𝑘2+3 {𝑦=𝑘𝑥+𝑚𝑥2+4𝑦2=1⇒(4𝑘2+1)𝑥2+8𝑘𝑚𝑥+4𝑚2−4=0 ， △=0⇒𝑚2=4𝑘2+1 ∴ 𝑘=−2,𝑚=3 又 𝑥2−22𝑥=0⇒𝑥=2 ，又 (2)2+𝑦2=3⇒𝑦=1