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上传于：2024-07-19
2016年高考文数真题试卷（全国甲卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1.已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（ ）
A. {﹣2，﹣1，0，1，2，3} B. {﹣2，﹣1，0，1，2} C. {1，2，3} D. {1，2}
【答案】 D
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，
∴A∩B={1，2}．
故选：D．
【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．；本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2.设复数z满足z+i=3﹣i，则 𝑧 =（ ）
A. ﹣1+2i B. 1﹣2i C. 3+2i D. 3﹣2i
【答案】 C
【考点】复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，
∴z=3﹣2i，
∴ =3+2i，
故选：C
【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．；本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．
3.函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）
A. y=2sin（2x﹣ 𝜋6 ） B. y=2sin（2x﹣ 𝜋3 ） C. y=2sin（x+ 𝜋6 ） D. y=2sin（x+ 𝜋3 ）
【答案】 A
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，= ，故T=π，ω=2，
故y=2sin（2x+φ），将（ ，2）代入可得：2sin（ +φ）=2，则φ=﹣ 满足要求，故y=2sin（2x﹣ ），
故选：A．
【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．；本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定各个参数的值是解答的关键．
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）
A. 12π B. 323 π C. 8π D. 4π
【答案】 A
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为 =2 ，即为球的直径，所以半径为 ，所以球的表面积为 =12π．
故选：A．
【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．；本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．
5.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y= 𝑘𝑥 （k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）
A. 12 B. 1 C. 32 D. 2
【答案】 D
【考点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），曲线y= 𝑘𝑥 （k＞0）与C交于点P在第一象限，
由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，
代入C得：P点纵坐标为2，
故k=2，
故选：D
【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．；本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．
6.圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A. ﹣ 43 B. ﹣ 34 C. 3 D. 2
【答案】 A
【考点】点到直线的距离公式，圆的一般方程
【解析】【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d= =1，解得：a= ，
故选：A．
【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．；本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
7.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A. 20π B. 24π C. 28π D. 32π
【答案】 C
【考点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2 ，∴在轴截面中圆锥的母线长是 =4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：C．
【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2 ，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．；本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．
8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A. 710 B. 58 C. 38 D. 310
【答案】 B
【考点】几何概型
【解析】【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，
∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，
∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 = ．
故选：B．
【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．；本题考查概率的计算，考查古典概型，考查学生的计算能力，比较基础．
9.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）
A. 7 B. 12 C. 17 D. 34
【答案】 C
【考点】程序框图
【解析】【解答】解：∵输入的x=2，n=2，
当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；
故输出的S值为17，
故选：C
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．；本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
10.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
A. y=x B. y=lgx C. y=2x D. y= 1𝑥
【答案】 D
【考点】对数函数的定义域，对数函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），
函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；
函数y=2x的定义域为R，值域为R（0，+∞），不满足要求；
函数y= 1𝑥 的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；
故选：D
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．；本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．
11.函数f（x）=cos2x+6cos（ 𝜋2 ﹣x）的最大值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】 B
【考点】三角函数的最值
【解析】【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（ 𝜋2 ﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，
令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣ ）2+ ，由 ∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+ 𝜋2 ，k∈Z时，函数取得最大值5．
故选：B．
【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．；本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．
12.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点为（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xm ， ym），则𝑖=1𝑚 xi=（ ）
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
【答案】 B
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），
故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，
故函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点也关于直线x=1对称，
故 𝑖=1𝑚 xi= 𝜋2 ×2=m，
故选：B
【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13.已知向量 𝑎 =（m，4）， 𝑏 =（3，﹣2），且 𝑎 ∥ 𝑏 ，则m=________．
【答案】 -6
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ，
可得12=﹣2m，解得m=﹣6．
故答案为：﹣6．
【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．；本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．
14.若x，y满足约束条件 {𝑥−𝑦+1≥0𝑥+𝑦−3≥0𝑥−3≤0 ，则z=x﹣2y的最小值为________．
【答案】 -5
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得A（3，4）．化目标函数z=x﹣2y为y= x﹣ z，由图可知，当直线y= x﹣ z过A（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4=﹣5．
故答案为：﹣5．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．；本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= 45 ，cosC= 513 ，a=1，则b=________．
【答案】 2113
【考点】解三角形
【解析】【解答】解：由cosA= ，cosC= ，可得 sinA= = = ，sinC= = = ，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，由正弦定理可得b= = = ．故答案为： ．
【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b= ，代入计算即可得到所求值．；本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．
16.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________和________．
【答案】 1
；3
【考点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1和3．
故答案为：1和3．
【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．；考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
【答案】 （1）解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a3+a4=4，a5+a7=6．
∴ {2𝑎1+5𝑑=42𝑎1+10𝑑=6 ，
解得： {𝑎1=1𝑑=25 ，
∴an= 25𝑛+35 ；
（2）解：∵bn=[an]，
∴b1=b2=b3=1，
b4=b5=2，
b6=b7=b8=3，
b9=b10=4．
故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案（2）根据bn=[an]，列出数列{bn}的前10项，相加可得答案．；本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．
18.某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（2）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；
（3）求续保人本年度的平均保费估计值．
【答案】 （1）解：记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50=110，该险种的200名续保，
P（A）的估计值为： 110200 = 1120
（2）解：记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30=60，P（B）的估计值为： 60200 = 310
（3）解：续保人本年度的平均保费估计值为 𝑥=0.85𝑎×60+𝑎×50+1.25𝑎×30+1.5𝑎×30+1.75𝑎×20+2𝑎×10200 =1.1925a
【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】【分析】（1）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计值；
（2）求出B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P（B）的估计值；
（3）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．
本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．
19.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（1）证明：AC⊥HD′；
（2）若AB=5，AC=6，AE= 54 ，OD′=2 2 ，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．
【答案】 （1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，
∴EF∥AC，且EF⊥BD，
又D′H⊥EF，
D′H∩DH=H，
∴EF⊥平面DD′H，
∵HD′⊂平面D′HD，
∴EF⊥HD′，
∵EF∥AC，
∴AC⊥HD′；
（2）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，
∵AE= 54 ，AD=AB=5，
∴DE=5﹣ 54 = 154 ，
∵EF∥AC，
∴ 𝐷𝐸𝐴𝐷=𝐸𝐻𝐴𝑂=𝐷𝐻𝑂𝐷=1545=34 ，
∴EH= 94 ，EF=2EH= 92 ，DH=3，OH=4﹣3=1，
∵HD′=DH=3，OD′=2 2 ，
∴满足HD′2=OD′2+OH2 ，
则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，
即OD′⊥底面ABCD，
即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．
底面五边形的面积S=12𝐴𝐶·𝑂𝐵+𝐸𝐹+𝐴𝐶·𝑂𝐻2 =12×6×4+92+6×12 =12+214=694 ，则五棱锥D′﹣ABCFE体积V= 13 S•OD′= 13 × 694 ×2 2 =2322
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】（1）根据直线平