《高等数学》研究生入学考试大纲(

中国地质大学研究生院硕士研究生入学考试高等数学考试大纲包括高等数学线性代数初步两部分一试卷结构一内容比例高等数学约线性代数初步约二题型比例填空题与选择题约解答题包括证明题约二其他考试时间为分钟总分为分高等数学一函数极限连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性单调性周期性和奇偶性反函数复合函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题的函数关系的建立数列极限与函数极限的定义以及它们的性质函数的左右极限无穷小无穷大无穷小的比较极限的四则运算极限存在的两个准则单调有界准则和夹逼准则两个重要极限函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理和介值定理考试要求理解函数的概念会作函数符号运算并会建立简单应用问题中的函数关系式了解函数的奇偶性单调性周期性和有界性理解复合函数的概念了解反函数及隐函数的概念掌握基本初等函数的性质及图形理解极限的概念理解函数的左右极限概念及函数极限存在与左右极限之间的关系掌握极限的性质及四则运算法则理解极限存在的两个准则并会利用它们求极限掌握用两个重要极限求极限的方法理解无穷小无穷大以及无穷小的阶的概念会用等价无穷小求极限理解函数连续性的概念会判别函数间断点的类型了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理和介值定理并会应用这些性质二一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线及其方程基本初等函数的导数导数和微分的四则运算反函数复合函数隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数的概念某些简单函数的介导数一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒定理洛必达法则函数的极值及其求法函数增减性和函数图形凹凸性的判定函数图形的拐点及其求法渐近线描绘函数的图形函数最大值和最小值的求法及其简单应用弧微分曲率的概念及计算曲率半径方程近似解的二分法和切线法考试要求理解导数和微分的概念理解导数的几何意义并会求平面曲线的切线方程和法线方程了解导数的物理意义会用导数描述一些物理量理解函数的可导性与连续性之间的关系掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法掌握基本初等函数的导数公式了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性以及微分在近似计算中的应用了解高阶导数的概念掌握初等函数的求导方法会求分段函数的一阶二阶导数并会求一些简单的函数的阶导数会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶二阶导数会求反函数的导数理解罗尔定理和拉格朗日中值定理了解柯西中值定理和泰勒定理并会运用它们解决一些简单问题理解函数的极值概念掌握用导数判断的单调性和求函数极值的方法会求函数的最大值最小值及其简单应用会用导数判断函数图形的凹凸性会求函数图形的拐点会求水平铅直和斜渐近线会描绘函数的图形掌握用洛必达法则求未定式极限的方法了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径了解求方程近似解的二分法和切线法三一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和性质积分中值定理变上限定积分及其导数牛顿莱布尼兹公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数三角函数的有理式和简单无理函数的积分广义积分的概念及计算定积分的近似计算法定积分的应用考试要求理解原函数概念理解不定积分和定积分的概念理解定积分中值定理掌握不定积分的基本公式掌握不定积分和定积分的性质及换元积分法与分部积分法会求有理函数三角函数的有理式和简单无理函数的积分理解变上限定积分作为其上限的函数及其求导定理掌握牛顿莱布尼兹公式了解广义积分的概念并会计算广义积分了解定积分的近似计算法掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量平面图形的面积平面曲线的弧长旋转体的体积及侧面积平行截面面积为已知的立体体积变力作功引力压力和函数平均值等四向量代数和空间解析几何考试内容向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积的概念及运算向量的混合积两向量垂直和平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程及其求法平面与平面平面与直线直线与直线的平行垂直的条件和夹角占到平面和点到直线的距离球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求理解空间直角坐标系理解向量的概念及其表示掌握向量的运算线性运算数量积向量积混合积了解两个向量垂直平行的条件掌握单位向量方向数与方向余弦向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法掌握平面方程和直线方程及其求法会利用平面直线的相互关系平行垂直相交等解决有关问题理解曲面方程的概念了解常用二次曲线的方程及其图形会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程了解空间曲线的参数方程和一般方程了解空间曲线在坐标平面上的投影并会求其方程五多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续性有界闭区域上二元连续函数的性质最大值和最小值定理偏导数及全微分的概念与计算多元复合函数的求导法隐函数求导法高阶偏导数方向导数与梯度空间曲线的切线与法平面空间曲面的切平面与法线多元函数的极值和条件极值最大值和最小值二重积分的概念基本性质和计算二重积分的应用考试要求了解多元函数的概念了解二元函数的表示法与几何意义了解二元函数的极限与连续的直观意义了解多元函数偏导数与全微分的概念掌握求复合函数偏导数和全微分的方法会用隐函数的求导法则了解多元函数极值和条件极值的概念掌握多元函数极值存在的必要条件了解二元函数极值存在的充分条件会求二元函数的极值会用拉格朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值会求解一些简单的应用题了解二重积分的概念与基本性质掌握二重积分直角坐标极坐标的计算方法会用二重积分计算一些几何量与物理量面积体积质量重心转动惯量引力六无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数的收敛性正项级数收敛性的判别任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数莱布尼兹定理幂级数的概念收敛半径收敛区间和收敛域幂级数的和函数幂级数在收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求了解级数的收敛与发散收敛级数的和等概念掌握级数收敛的必要条件及收敛级数的基本性质掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件掌握正项级数的比较判别法和达朗贝尔比值判别法了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念掌握交错级数的莱布尼兹判别法掌握绝对收敛与条件收敛的判别方法会求幂级数的收敛半径和收敛域了解幂级数的收敛区间内的基本性质和函数的连续性逐项微分和逐项积分会求一些简单幂级数的和函数掌握与等幂级数展开式并会利用这些展开式将一些简单函数间接展成幂级数七常微分方程考试内容常微分方程的概念微分方程的解通解初始条件和特解变量可分离的方程齐次方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的一些简单应用考试要求了解微分方程及其解通解初始条件和特解等概念掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法会解齐次方程会用降阶法解下列方程理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程会求自由项为多项式指数函数正弦函数余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解会用微分方程解决一些简单的应用问题线性代数初步一行列式考试内容行列式的定义性质及计算考试要求了解行列式的定义性质掌握二阶三阶行列式的计算法会计算简单的阶行列式二矩阵考试内容矩阵的概念单位矩阵对角矩阵三角矩阵和对称矩阵以及它们的性质矩阵的线性运算矩阵的乘法矩阵的转置逆矩阵的概念矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换矩阵等价矩阵的秩初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法考试要求了解矩阵的概念了解单位矩阵对角矩阵对称矩阵和三角矩阵以及它们的性质掌握矩阵的线性运算乘法转置以及它们的运算规律理解逆矩阵的概念掌握逆矩阵的性质了解矩阵可逆的充分必要条件了解伴随矩阵的概念会用伴随矩阵求逆矩阵理解矩阵的秩的概念掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法三线性方程组考试内容向量的概念向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系线性方程组的克莱姆法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解行初等变换求解线性方程组的方法考试要求了解维向量的概念了解向量组线性相关线性无关的定义了解有关向量组线性相关线性无关的基本性质了解向量组的极大线性无关组与向量的秩的概念了解克莱姆法则理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念会用行初等变换求线性方程组的通解