猜想证明与拓广

课题学习猜想证明与拓广设计思路猜想证明与拓广是义务教育课程标准实验教科书数学课题学习的内容课堂围绕着中心课题图形倍增通过一系列具体问题逐渐展开其主要意图是引导学生通过自主探索活动综合运用已学的知识体验处理问题的策略和方法从而使自身解决问题的能力得到提升教学目标1通过创设问题情境让学生经历猜想证明拓广的过程增强问题意识和自主探索意识获得探索和发现的体验2在探究过程中感受由特殊到一般数形结合的思想方法体会知识之间的内在联系理解证明的必要性3在合作交流中扩展思路发展学生的推理能力教学重点经历猜想证明拓广的数学化的过程教学难点在问题解决过程中综合运用所学知识一世界三大几何难题平面几何作图限制只能用直尺圆规而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形但有些图形如正七边形正九边形就做不出来有些问题看起来好像很简单但真正做出来却很困难这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题化圆为方2三等分任意角对于某些角如三等分并不难但是否所有角都可以三等分呢例如若能三等分则可以做出的角那么正边形及正九边形也都可以做出来了注圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的3倍立方倍立方求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍这些问题困扰数学家一千多年都不得其解而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的年笛卡儿创建解析几何以后许多几何问题都可以转化为代数问题来研究年旺策尔给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明年林得曼也证明了的超越性即不为任何整数系数多次式的根化圆为方的不可能性也得以确立二猜想证明与拓广任意给定一个正方形是否存在另一个正方形它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的倍你准备怎么去做你是怎么做的你有哪些解决方法你提出新的问题吗解设给定的正方形边长为则其面积是若周长倍增即边长变为2a则面积应为4a2若面积倍增即面积变为2a2则其边长应为a无论从哪个角度考虑都说明不存在这样的正方形任意给定一个矩形是否存在另一个矩形它的周长和面积是已知矩形周长和面积的倍解如果矩形的长和宽分别为和那么其周长和面积分别为和所求矩形的周长和面积应分别为12和4接下来该怎么做你有何想法有两种思路可供选择先从周长是12出发看面积是否是4或先从面积是4出发看周长是否是12从周长是出发看面积是否是如果设所求矩形的长为那么它宽为其面积为根据题意得即如果这个方程有解则说明这样的矩形存在解这个方程得结论如果矩形的长和宽分别为2和1那么存在另一个矩形它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍从面积是出发看周长是否是解如果设所求矩形的长为那么宽为其周长为根据题意得即显然这个方程有解由此说明这样的矩形存在解这个方程得结论如果矩形的长和宽分别为和那么存在另一个矩形它的周长和面积是已知矩形周长和面积的倍如果已知矩形的长和宽分别为和是否还有相同的结论如果已知矩形的长和宽分别为和和和呢更一般地当已知矩形的长和宽分别为和时是否仍然有相同的结论分析如果矩形的长和宽分别为和那么其周长和面积分别为和所求矩形的周长和面积应分别为和从周长是出发看面积是否是解如果设所求矩形的长为那么它宽为其面积为根据题意得即结论任意给定一个矩形必然存在另一个矩形它的周长和面积是已知矩形周长和面积的倍在探索结论任意给定一个矩形必然存在另一个矩形它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍的过程中我们经历了猜想由特殊到一般的尝试证明拓广的全过程从而得到了一般性的结论任意给定一个矩形是否一定存在另一个矩形它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半认为这个结论是正确的理由是既然任意给定一个矩形必然存在另一个矩形它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时加倍那么原矩形自然满足新矩形的减半要求即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半如果矩形的长和宽分别仍为2和1那么是否存在一个矩形它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半如果已知矩形的长和宽分别为3和1是否还有相同的结论如果已知矩形的长和宽分别为4和15和1n和1呢解如果矩形的长和宽分别为2和1那么其周长和面积分别为6和2所求矩形的周长和面积应分别为3和1设所求矩形的长为x那么它宽为15x其面积为x15x根据题意得x15x1如果这个方程有解则说明这样的矩形存在由b24ac324227结论如果矩形的长和宽分别为2和1那么不存在另一个矩形它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半解当如果矩形的长和宽分别为3和14和15和1时设所求矩形的长为x根据题意所得的方程均有没有实数根解则说明这样的矩形不存在结论如果矩形的长和宽分别为2和13和14和15和1时都不存在另一个矩形它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半我们已经知道如果矩形的长和宽分别为和和和和时都不存在另一个矩形它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半这个结论是否具有一般性4如果这个结论不具有一般性那么当矩形的长和宽满足什么条件时才存在一个新的矩形它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半你能再找出这样的一个例子吗解如果矩形的长和宽分别为和那么其周长和面积分别为和所求矩形的周长和面积应分别为和设所求矩形的长为那么它宽为其面积为根据题意得即由知道这个方程有实数根结论如果矩形的长和宽分别为6和1时存在另一个矩形它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半解如果矩形的长和宽分别为和那么其周长和面积分别为和所求矩形的周长和面积应分别为和设所求矩形的长为那么它宽为其面积为根据题意得即由知道只有当时这个方程才有实数根结论如果矩形的长和宽满足m2n26mn时才存在另一个矩形它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半