2019年高考理数真题试卷（天津卷）(学生版).docx

2019年高考理数真题试卷（天津卷） 一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。（共8题；共40分） 1.设集合 𝐴={−1,1,2,3,5}, 𝐵={2,3,4}, 𝐶={𝑥∈𝑅|1⩽𝑥<3} ，则 (𝐴∩𝐶)∪𝐵= （   ） A. {2}                                B. {2，3}                                C. {-1，2，3}                                D. {1，2，3，4} 2.设变量 𝑥,𝑦 满足约束条件 {𝑥+𝑦−2≤0,𝑥−𝑦+2≥0,𝑥⩾−1,𝑦⩾−1, 则目标函数 𝑧=−4𝑥+𝑦 的最大值为（   ） A. 2                                           
B. 3                                           
C. 5                                           
D. 6 3.设 𝑥∈𝑅 ，则“ 𝑥2−5𝑥<0 ”是“ |𝑥−1|<1 ”的（   ） A. 充分而不必要条件           
B. 必要而不充分条件           
C. 充要条件           
D. 既不充分也不必要条件 4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 𝑆 的值为（   ）
A. 5                                          
B. 8                                          
C. 24                                          
D. 29 5.已知抛物线 𝑦2=4𝑥 的焦点为 𝐹 ，准线为 𝑙 ，若 𝑙 与双曲线 𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1 (𝑎>0,𝑏>0) 的两条渐近线分别交于点 𝐴 和点 𝐵 ，且 |𝐴𝐵|=4|𝑂𝐹| （ 𝑂 为原点），则双曲线的离心率为（   ）   A. 2                                        
B. 3                                        
C. 2                                        
D. 5 6.已知 𝑎=log52 ， 𝑏=log0.50.2 ， 𝑐=0.50.2 ，则 𝑎,𝑏,𝑐 的大小关系为（   ） A. 𝑎<𝑐<𝑏                           
B. 𝑎<𝑏<𝑐                           
C. 𝑏<𝑐<𝑎                           
D. 𝑐<𝑎<𝑏 7.已知函数 𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<𝜋) 是奇函数，将 𝑦=𝑓(𝑥) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 𝑔(𝑥) .若 𝑔(𝑥) 的最小正周期为 2π ，且 𝑔(𝜋4)=2 ，则 𝑓(3𝜋8)= （   ） A. −2                                       B. −2                                       C. 2                                       D. 2 8.已知 𝑎∈𝑅 ，设函数 𝑓(𝑥)={𝑥2−2𝑎𝑥+2𝑎,𝑥⩽1,𝑥−𝑎ln𝑥,𝑥>1, 若关于 𝑥 的不等式 𝑓(𝑥)⩾0 在 𝑅 上恒成立，则 𝑎 的取值范围为（   ） A. [0,1]                                    
B. [0,2]                                    
C. [0,𝑒]                                    
D. [1,𝑒] 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（共6题；共30分） 9.𝑖 是虚数单位，则 |5−𝑖1+𝑖| 的值为________. 10.(2𝑥−18𝑥3)8 是展开式中的常数项为________. 11.已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________. 12.设 𝑎∈𝑅 ，直线 𝑎𝑥−𝑦+2=0 和圆 {𝑥=2+2cos𝜃,𝑦=1+2sin𝜃 （ 𝜃 为参数）相切，则 𝑎 的值为________. 13.设 𝑥>0, 𝑦>0, 𝑥+2𝑦=5 ，则 (𝑥+1)(2𝑦+1)𝑥𝑦 的最小值为________. 14.在四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， 𝐴𝐷∥𝐵𝐶,𝐴𝐵=23,𝐴𝐷=5,∠=30∘ ，点 𝐸 在线段 𝐶𝐵 的延长线上，且 𝐴𝐸=𝐵𝐸 ，则 𝐵𝐷⋅𝐴𝐸= ________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.（共6题；共80分） 15.在 △𝐴𝐵𝐶 中，内角 𝐴,𝐵,𝐶 所对的边分别为 𝑎,𝑏,𝑐 .已知 𝑏+𝑐=2𝑎 ， 3𝑐sin𝐵=4𝑎sin𝐶 . （Ⅰ）求 cos𝐵 的值； （Ⅱ）求 sin(2𝐵+𝜋6) 的值. 16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 23 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用 𝑋 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 𝑋 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 𝑀 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 𝑀 发生的概率. 17.如图， 𝐴𝐸⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 ， 𝐶𝐹∥𝐴𝐸, 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 ， 𝐴𝐷⊥𝐴𝐵, 𝐴𝐵=𝐴𝐷=1, 𝐴𝐸=𝐵𝐶=2 .
（Ⅰ）求证： 𝐵𝐹∥ 平面 𝐴𝐷𝐸 ； （Ⅱ）求直线 𝐶𝐸 与平面 𝐵𝐷𝐸 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 𝐸−𝐵𝐷−𝐹 的余弦值为 13 ，求线段 𝐶𝐹 的长. 18.设椭圆 𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0) 的左焦点为 𝐹 ，上顶点为 𝐵 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 55 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 𝑃 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 𝑀 为直线 𝑃𝐵 与 𝑥 轴的交点，点 𝑁 在 𝑦 轴的负半轴上.若 |𝑂𝑁|=|𝑂𝐹| （ 𝑂 为原点），且 𝑂𝑃⊥𝑀𝑁 ，求直线 𝑃𝐵 的斜率. 19.设 {𝑎𝑛} 是等差数列， {𝑏𝑛} 是等比数列.已知 𝑎1=4,𝑏1=6 ， 𝑏2=2𝑎2−2,𝑏3=2𝑎3+4 . （Ⅰ）求 {𝑎𝑛} 和 {𝑏𝑛} 的通项公式； （Ⅱ）设数列 {𝑐𝑛} 满足 𝑐1=1,𝑐𝑛={1, 2𝑘<𝑛<2𝑘+1,𝑏𝑘,𝑛=2𝑘, 其中 𝑘∈𝑁∗ . （i）求数列 {𝑎2𝑛(𝑐2𝑛−1)} 的通项公式； （ii）求 𝑖=12𝑛𝑎𝑖𝑐𝑖 (𝑛∈𝑁∗) . 20.设函数 𝑓(𝑥)=e𝑥cos𝑥, 𝑔(𝑥) 为 𝑓(𝑥) 的导函数. （Ⅰ）求 𝑓(𝑥) 的单调区间； （Ⅱ）当 𝑥∈[𝜋4,𝜋2] 时，证明 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)(𝜋2−𝑥)⩾0 ； （Ⅲ）设 𝑥𝑛 为函数 𝑢(𝑥)=𝑓(𝑥)−1 在区间 (2𝑚+𝜋4,2𝑚𝜋+𝜋2) 内的零点，其中 𝑛∈𝑁 ，证明 2𝑛𝜋+𝜋2−𝑥𝑛<𝑒−2𝑛𝜋sin𝑥0−cos𝑥0 .  答案解析部分 一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。 1.【答案】 D 【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】【解答】 𝐴∩𝐶={1,2} ， (𝐴∩𝐶)∪𝐵={1,2,3,4} 故答案为：D 【分析】利用集合交并运算性质即可得出答案。 2.【答案】 C 【考点】简单线性规划的应用 【解析】【解答】作出不等式对应的平面区域，由 𝑧=−4𝑥+𝑦 得 𝑦=4𝑥+𝑧 ，平移直线 𝑦=4𝑥+𝑧 ，可知当直线 𝑦=4𝑥+𝑧 经过直线 𝑥−𝑦+2=0 与 𝑥=−1 的交点时，直线 𝑦=4𝑥+𝑧 的截距最大，此时 𝑧 最大 由 {𝑥−𝑦+2=0𝑥=−1 解得 {𝑥=−1𝑦=1
此时直线 𝑥−𝑦+2=0 与 𝑥=−1 的交点为 (-1,1) 此时 𝑧 的最大值为 𝑧=−4×(−1)+1=5 故答案为：C 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可得出 𝑧 的最大值。 3.【答案】 B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】由 |𝑥−1|<1 得， 0<𝑥<2 由 𝑥2−5𝑥<0 得 0<𝑥<5 由“小范围”推出“大范围”得出 0<𝑥<2 可推出 0<𝑥<5 故“ 0<𝑥<5 ”是“ |𝑥−1|<1 ”的必要而不充分条件。 故答案为：B 【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。 4.【答案】 B 【考点】程序框图 【解析】【解答】该程序框图共运行3次：第1次， 𝑖=1 ，1非偶数， 𝑆=0+1=1 ， 𝑖=2<4 ；第2次， 𝑖=2 ，2是偶数， 𝑗=𝑖2=1 ， 𝑆=1+2⋅21=5 ， 𝑖=3<4 ； 𝑖=3 ，3非偶数， 𝑆=5+3=8 ， 𝑖=2≥4 成立，结束循环，故输出 𝑆=8 。 故答案为：B 【分析】本题考查当型循环结构的程序框图，由算法的功能判断 𝑖 值的变化规律以及对应的赋值语句即可得出答案。 5.【答案】 D 【考点】圆锥曲线的综合 【解析】【解答】抛物线 𝑦2=4𝑥 的准线 𝑙 ： 𝑥=−1 ∵ 抛物线 𝑦2=4𝑥 的准线为F， ∴ |𝑂𝐹|=1 ∵抛物线 𝑦2=4𝑥 的准线与双曲线 𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0) 的两条渐近线分别交于A，B两点，且 |𝐴𝐵|=4|𝑂𝐹| =4 ， ∴ 𝐴(−1，2) ， 𝐵(−1，−2) ， 将A点坐标代入双曲线渐近线方程得 𝑏𝑎=2 ， ∴ 𝑏2=4𝑎2 ， ∴ 4𝑎2=𝑐2−𝑎2 ， 即 5𝑎2=𝑐2 ， ∴ 𝑒=𝑐𝑎=5 . 故答案为：D. 【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标， |𝐴𝐵|=4|𝑂𝐹| 得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合 𝑎,𝑏,𝑐 的关系式得出出 𝑎,𝑐 的关系，即可求得离心率。 6.【答案】 A 【考点】指数函数单调性的应用，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】 𝑐=0.50.2<1 且 𝑐=0.50.2>0.51=12 ， 𝑎=log52<log55=12 ， 𝑏=log0.50.2>log0.50.5=1 故 𝑏>𝑐>𝑎 故答案为：A 【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定 𝑎,𝑏,𝑐 的大小关系即可。 7.【答案】 C 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 【解析】【解答】由函数 𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<𝜋) 是奇函数，得 𝑓(0)=0 ，即 sin𝜙=0 得 𝜙=0 由 𝑦=𝑓(𝑥) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 𝑔(𝑥) .若 𝑔(𝑥) 的最小正周期为 2π ， 得 𝑓(𝑥) 的最小正周期为 𝜋 ， 𝜔=2𝜋𝑇=2𝜋𝜋=2 ∴ 𝑓(𝑥)=𝐴sin2𝑥 故 𝑔(𝑥)=𝐴sin𝑥 由 𝑔(𝜋4)=2 得 𝐴sin𝜋4=2 即 𝐴=2 故 𝑓(3𝜋8)=2sin2×3𝜋8=2 故答案为：C 【分析】由奇函数得 𝑓(0)=0 ，即 sin𝜙=0 得 𝜙=0 ,由 𝑦=𝑓(𝑥) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 𝑔(𝑥) 的最小正周期为 2π ， 得 𝑓(𝑥) 的最小正周期为 𝜋 ，求出ω，进而得出 𝑓(𝑥)=𝐴sin2𝑥 ， 𝑔(𝑥)=𝐴sin𝑥 ，再代入 𝑔(𝜋4)=2 求出A的值，进而得出 𝑓(3𝜋8) 。 8.【答案】 C 【考点】函数恒成立问题 【解析】【解答】∵ 𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+2𝑎 的对称轴为 𝑥=𝑎 又∵ 𝑓(𝑥)=𝑥-𝑎ln𝑥 ∴ 𝑓'(𝑥)=1-ax=𝑥−𝑎𝑥 ∵ 𝑓(𝑥)≥0 在R上恒成立 ∴ 𝑓(𝑥)min≥0 ∴当 𝑎≤1 时， {𝑎2−2𝑎2+2𝑎≥01≥0 得 -𝑎2+2𝑎≥0 解得 0≤𝑎≤1 ； 当 𝑎>1 时， {1−2𝑎+2𝑎≥0𝑎−𝑎ln𝑎≥0 得 𝑎(1−ln𝑎)≥0 解得 1<𝑎≤𝑒 。 综上所述， 0≤𝑎≤𝑒 故答案为：C 【分析】分段讨论 𝑎≤1 和 𝑎>1 时，求最小值的问题，关于 𝑥 的不等式 𝑓(𝑥)≥0 在 𝑅 上恒成立，解不等式即可得出 𝑎 的取值范围。 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.【答案】 13 【考点】复数求模 【解析】【解答】 |5−𝑖1+𝑖| =|(5-𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)| =|2-3𝑖| =22+(-3)2=