2017年高考理数真题试卷（天津卷）(学生版).docx

2017年高考理数真题试卷（天津卷） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（　　） A. {2}                        /B. {1，2，4}                        /C. {1，2，4，5}                        /D. {x∈R|﹣1≤x≤5} 2.设变量x，y满足约束条件 { 2𝑥+𝑦≥0 𝑥+2𝑦−2≥0 𝑥≤0 𝑦≤3 ，则目标函数z=x+y的最大值为（　　） A.  2 3                                            B. 1                                           C.  3 2                                            D. 3 3.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（　　） / A. 0                                           /B. 1                                           /C. 2                                           /D. 3 4.设θ∈R，则“|θ﹣ 𝜋 12 |＜ 𝜋 12 ”是“sinθ＜ 1 2 ”的（　　） A. 充分而不必要条件           /B. 必要而不充分条件           /C. 充要条件           /D. 既不充分也不必要条件 5.已知双曲线 𝑥 2 𝑎 2 ﹣ 𝑦 2 𝑏 2 =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 2 ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　） A.  𝑥 2 4 − 𝑦 2 4 =1                            /B.  𝑥 2 8 − 𝑦 2 8 =1                            /C.  𝑥 2 4 − 𝑦 2 8 =1                            /D.  𝑥 2 8 − 𝑦 2 4 =1 6.已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（　　） A. a＜b＜c                             B. c＜b＜a                             C. b＜a＜c                             D. b＜c＜a 7.设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（ 5𝜋 8 ）=2，f（ 11𝜋 8 ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　） A. ω= 2 3 ，φ= 𝜋 12         /B. ω= 2 3 ，φ=﹣ 11𝜋 12         /C. ω= 1 3 ，φ=﹣ 11𝜋 24         /D. ω= 1 3 ，φ= 7𝜋 24 8.已知函数f（x）= { 𝑥 2 −𝑥+3，𝑥≤1 𝑥+ 2 𝑥 ，𝑥>1 ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| 𝑥 2 +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　） A. [﹣ 47 16 ，2]                 B. [﹣ 47 16 ， 39 16 ]                 C. [﹣2 3 ，2]                 D. [﹣2 3 ， 39 16 ] 二、二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.已知a∈R，i为虚数单位，若 𝑎−𝑖 2+𝑖 为实数，则a的值为________． 10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________． 11.在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ 𝜋 6 ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________． 12.若a，b∈R，ab＞0，则 𝑎 4 +4 𝑏 4 +1 𝑎𝑏 的最小值为________． 13.在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 𝐵𝐷 =2 𝐷𝐶 ， 𝐴𝐸 =λ 𝐴𝐶 ﹣ 𝐴𝐵 （λ∈R），且 𝐴𝐷 ⋅ 𝐴𝐸 =﹣4，则λ的值为________． 14.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答） 三、三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= 3 5 ． （Ⅰ）求b和sinA的值； （Ⅱ）求sin（2A+ 𝜋 4 ）的值． 16.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ． （Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 17.如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2． / （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值； （Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 3 7 21 ，求线段AH的长． 18.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）． 19.设椭圆 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 1 2 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 1 2 ． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 6 2 ，求直线AP的方程． 20.设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0 ， g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0 ， 2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 𝑝 𝑞 ∈[1，x0）∪（x0 ， 2]，满足| 𝑝 𝑞 ﹣x0|≥ 1 𝐴 𝑞 4 ．  答案解析部分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 B 【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}， 又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}． 故选：B． 【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案． 2.【答案】 D 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划 【解析】【解答】解：变量x，y满足约束条件 { 2𝑥+𝑦≥0 𝑥+2𝑦−2≥0 𝑥≤0 𝑦≤3 的可行域如图： 目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值， 由 { 𝑦=3 𝑥=0 可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3． 故选：D． / 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可． 3.【答案】 C 【考点】选择结构，循环结构，程序框图 【解析】【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N= 24 3 =8 ≤3不成立， 第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立， 第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N= 6 3 =2≤3成立， 输出N=2， 故选：C 【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可． 4.【答案】 A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，绝对值不等式的解法 【解析】【解答】解：|θ﹣ 𝜋 12 |＜ 𝜋 12 ⇔﹣ 𝜋 12 ＜θ﹣ 𝜋 12 ＜ 𝜋 12 ⇔0＜θ＜ 𝜋 6 ， sinθ＜ 1 2 ⇔﹣ 7𝜋 6 +2kπ＜θ＜ 𝜋 6 +2kπ，k∈Z， 则（0， 𝜋 6 ）⊂[﹣ 7𝜋 6 +2kπ， 𝜋 6 +2kπ]，k∈Z， 可得“|θ﹣ 𝜋 12 |＜ 𝜋 12 ”是“sinθ＜ 1 2 ”的充分不必要条件． 故选：A． 【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论． 5.【答案】 B 【考点】斜率的计算公式，两条直线平行的判定，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e= 𝑐 𝑎 = 2 ，c= 2 a， 则双曲线为等轴双曲线，即a=b， 双曲线的渐近线方程为y=± 𝑏 𝑎 x=±x， 则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= 4−0 0+𝑐 = 4 𝑐 ， 则 4 𝑐 =1，c=4，则a=b=2 2 ， ∴双曲线的标准方程： 𝑥 2 8 − 𝑦 2 8 =1 ； 故选B． 【分析】由双曲线的离心率为 2 ，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程． 6.【答案】 C 【考点】函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，函数奇偶性的判断，对数值大小的比较，对数函数的图象与性质 【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0， ∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0， ∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数， ∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1）， 则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2， 由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3）， ∴b＜a＜c， 故选C． 【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c 7.【答案】 A 【考点】三角函数的周期性及其求法，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得 𝑇 4 > 𝜋 2 ， 又f（ 5𝜋 8 ）=2，f（ 11𝜋 8 ）=0，得 𝑇 4 = 11𝜋 8 − 5𝜋 8 = 3𝜋 4 ， ∴T=3π，则 2𝜋 𝜔 =3𝜋 ，即 𝜔= 2 3 ． ∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（ 2 3 x+φ）， 由f（ 5𝜋 8 ）= 2𝑠𝑖𝑛( 2 3 × 5𝜋 8 +𝜑)=2 ，得sin（φ+ 5𝜋 12 ）=1． ∴φ+ 5𝜋 12 = 𝜋 2 +2𝑘𝜋 ，k∈Z． 取k=0，得φ= 𝜋 12 ＜π． ∴ 𝜔= 2 3 ，φ= 𝜋 12 ． 故选：A． 【分析】由题意求得 𝑇 4 ，再由周期公式求得ω，最后由若f（ 5𝜋 8 ）=2求得φ值． 8.【答案】 A 【考点】函数恒成立问题，分段函数的应用 【解析】【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥| 𝑥 2 +a|在R上恒成立， 即为﹣x2+x﹣3≤ 𝑥 2 +a≤x2﹣x+3， 即有﹣x2+ 1 2 x﹣3≤a≤x2﹣ 3 2 x+3， 由y=﹣x2+ 1 2 x﹣3的对称轴为x= 1 4 ＜1，可得x= 1 4 处取得最大值﹣ 47 16 ； 由y=x2﹣ 3 2 x+3的对称轴为x= 3 4 ＜1，可得x= 3 4 处取得最小值 39 16 ， 则﹣ 47 16 ≤a≤ 39 16 ① 当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥| 𝑥 2 +a|在R上恒成立， 即为﹣（x+ 2 𝑥 ）≤ 𝑥 2 +a≤x+ 2 𝑥 ， 即有﹣（ 3 2 x+ 2 𝑥 ）≤a≤ 𝑥 2 + 2 𝑥 ， 由y=﹣（ 3 2 x+ 2 𝑥 ）≤﹣2 3𝑥 2 ⋅ 2 𝑥 =﹣2 3 （当且仅当x= 2 3 ＞1）取得最大值﹣2 3 ； 由y= 1 2 x+ 2 𝑥 ≥2 1 2 𝑥⋅ 2 𝑥 =2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2． 则﹣2 3 ≤a≤2② 由①②可得，﹣ 47 16 ≤a≤2． 故选：A． 【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+ 1 2 x﹣3≤a≤x2﹣ 3 2 x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（ 3 2 x+ 2 𝑥 ）≤a≤ 𝑥 2 + 2 𝑥 ，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围． 二、二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.【答案】 ﹣2　 【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：a∈R，i为虚数单位， 𝑎−𝑖 2+𝑖 = (𝑎−𝑖)(2−𝑖) (2+𝑖)(2−𝑖) = 2𝑎−1−(2+𝑎)𝑖 4+1 = 2𝑎−1 5 ﹣ 2+𝑎 5 i 由 𝑎−𝑖 2+𝑖 为实数， 可得﹣ 2+𝑎 5 =0， 解得a=﹣2． 故答案为：﹣2． 【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 𝑎−𝑖 2+𝑖 ，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值． 10.【答案】 9𝜋 2 【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a， ∵这个正方体的表面积为18， ∴6a2=18， 则a2=3，即a= 3 ， ∵一个正方体的所有顶点在一个球面上， ∴正方体的体对角线等于球的直径， 即 3 a=2R， 即R= 3 2 ， 则球的体积V= 4 3 π•（ 3 2 ）3= 9𝜋 2 ； 故答案为： 9𝜋 2 ． 【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可． 11.【答案】 2 【考点】直线与圆的位置关系，简单曲线的极坐标方程，极坐标系和平面直角坐标的区别 【解析】【解答】解：直线4ρcos（θ﹣ 𝜋 6 ）+1=0展开为：4ρ ( 3 2 𝑐𝑜𝑠𝜃+ 1 2 𝑠𝑖𝑛𝜃) +1=0，化为：2 3 x+2y+1=0． 圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1． ∴圆心C（0，1）到直线的距离d= 3 (2 3) 2 + 2 2 = 3 4 ＜1=R． ∴直线4ρcos（θ﹣ 𝜋 6 ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2． 故答案为：2． 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系． 12.【答案】 4 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：a，b∈R，ab＞0， ∴ 𝑎 4 +4 𝑏 4 +1 𝑎𝑏 ≥ 2 𝑎 4 ⋅4 𝑏 4 +1 𝑎𝑏 = 4 𝑎 2 𝑏 2 +1 𝑎𝑏 =4ab+ 1 𝑎𝑏 ≥2 4𝑎𝑏⋅ 1 𝑎𝑏 =4， 当且仅当 { 𝑎 4 =4 𝑏 4 4𝑎𝑏= 1 𝑎𝑏 ， 即 { 𝑎 2 =2 𝑏 2 𝑎 2 𝑏 2 = 1 4 ， 即a= 1 4 2 ，b= 1 4 8 或a=﹣ 1 4 2 ，b=﹣ 1 4 8 时取“=”； ∴上式的最小值为4． 故答案为：4． 【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么． 13.【答案】 3 11 【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量数乘的运算及其几何意义，数量积的坐标表达式，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：如图所示， / △ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2， 𝐵𝐷 =2 𝐷𝐶 ， ∴ 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 + 2 3 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 + 2 3 （ 𝐴𝐶 ﹣ 𝐴𝐵 ） = 1 3 𝐴𝐵 + 2 3 𝐴𝐶 ， 又 𝐴𝐸 =λ 𝐴𝐶 ﹣ 𝐴𝐵 （λ∈R）， ∴ 𝐴𝐷 ⋅ 𝐴𝐸 =（ 1 3 𝐴𝐵 + 2 3 𝐴𝐶 ）•（λ 𝐴𝐶 ﹣ 𝐴𝐵 ） =（ 1 3 λ﹣ 2 3 ） 𝐴𝐵 • 𝐴𝐶 ﹣ 1 3 𝐴𝐵 2 + 2 3 λ 𝐴𝐶 2 =（ 1 3 λ﹣ 2 3 ）×3×2×cos60°﹣ 1 3 ×32+ 2 3 λ×22=﹣4， ∴ 11 3 λ=1， 解得λ= 3 11 ． 故答案为： 3 11 ． 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 𝐴𝐵 、 𝐴𝐶 表示出 𝐴𝐷 ， 再根据平面向量的数量积 𝐴𝐷 ⋅ 𝐴𝐸 列出方程求出λ的值． 14.【答案】 1080 【考点】计数原理的应用，排列、组合的实际应用 【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可， 有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数； ②、四位数中只有一个偶数数字， 在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法， 将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序， 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个； 故答案为：1080． 【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案． 三、三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.【答案】 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b， 故由sinB= 3 5 ，可得cosB= 4 5 ． 由已知及余弦定理，有 𝑏 2 = 𝑎 2 + 𝑐 2 −2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=25+36−2×5×6× 4 5 =13， ∴b= 13 ． 由正弦定理 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐵 ，得sinA= 𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑏 = 3 13 13 ． ∴b= 13 ，sinA= 3 13 13 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA= 2 13 13 ，∴sin2A=2sinAcosA= 12 13 ， cos2A=1﹣2sin2A=﹣ 5 13 ． 故sin（2A+ 𝜋 4 ）= 𝑠𝑖𝑛2𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 +𝑐𝑜𝑠2𝐴𝑠𝑖𝑛 𝜋 4 = 12 13 × 2 2 − 5 13 × 2 2 = 7 2 26 ． 【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA； （Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案． 16.【答案】 解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3； 则P（X=0）=（1﹣ 1 2 ）×（1﹣ 1 3 ）（1﹣ 1 4 ）= 1 4 ， P（X=1）= 1 2 ×（1﹣ 1 3 ）×（1﹣ 1 4 ）+（1﹣ 1 2 ）× 1 3 ×（1﹣ 1 4 ）+（1﹣ 1 2 ）×（1﹣ 1 3 ）× 1 4 = 11 24 ， P（X=2）=（1﹣ 1 2 ）× 1 3 × 1 4 + 1 2 ×（1﹣ 1 3 ）× 1 4 + 1 2 × 1 3 ×（1﹣ 1 4 ）= 1 4 ， P（X=3）= 1 2 × 1 3 × 1 4 = 1 24 ； 所以，随机变量X的分布列为 X  0  1  2  3   P                1 4              11 24                1 4              1 24   随机变量X的数学期望为E（X）=0× 1 4 +1× 11 24 +2× 1 4 +3× 1 24 = 13 12 ； （Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为 P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0） =P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0） = 1 4 × 11 24 + 11 24 × 1 4 = 11 48 ； 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为