2017年高考文数真题试卷（天津卷）(教师版).docx

2017年高考文数真题试卷（天津卷） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（共8题；共16分） 1.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（　　） A. {2}                        B. {1，2，4}                        C. {1，2，4，6}                        D. {1，2，3，4，6} 【答案】 B 【考点】并集及其运算，交集及其运算 【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}， ∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}． 故选：B． 【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C． 2.设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（　　） A. 充分而不必要条件           
B. 必要而不充分条件           
C. 充要条件           
D. 既不充分也不必要条件 【答案】 B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，绝对值不等式的解法 【解析】【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2， 由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1， 得0≤x≤2． 则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件， 故选：B 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 3.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（　　） A. 45                                          B. 35                                          C. 25                                          D. 15 【答案】 C 【考点】古典概型及其概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫， 从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔， 基本事件总数n= 𝐶52 =10， 取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= 𝐶11𝐶41 =4， ∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p= 𝑚𝑛 = 410=25 ． 故选：C． 【分析】先求出基本事件总数n= 𝐶52 =10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= 𝐶11𝐶41 =4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率． 4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（　　）
A. 0                                           
B. 1                                           
C. 2                                           
D. 3 【答案】 C 【考点】选择结构，循环结构，程序框图 【解析】【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立， 第二次N=18，18能被3整除，N= 183 =6，N=6≤3不成立， 第三次N=6，能被3整除，N═ 63 =2≤3成立， 输出N=2， 故选：C 【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可． 5.已知双曲线 𝑥2𝑎2 ﹣ 𝑦2𝑏2 =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（　　） A. 𝑥24−𝑦212=1                     B. 𝑥212−𝑦24=1                     C. 𝑥23−𝑦2=1                     D. 𝑥2−𝑦23=1 【答案】 D 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线 𝑥2𝑎2 ﹣ 𝑦2𝑏2 =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点）， 可得c=2， 𝑏𝑎=3 ，即 𝑏2𝑎2=3 ， 𝑐2−𝑎2𝑎2=3 ， 解得a=1，b= 3 ，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为： 𝑥2−𝑦23=1 ． 故选：D． 【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后得到双曲线的方程． 6.已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（ 𝑙𝑜𝑔215 ），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（　　） A. a＜b＜c                             B. b＜a＜c                             C. c＜b＜a                             D. c＜a＜b 【答案】 C 【考点】奇偶性与单调性的综合，指数函数的图象与性质，对数值大小的比较 【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数， ∴a=﹣f（ 𝑙𝑜𝑔215 ）=f（log25）， b=f（log24.1）， c=f（20.8）， 又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25， ∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25）， 即c＜b＜a． 故选：C． 【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小． 7.设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（ 5𝜋8 ）=2，f（ 11𝜋8 ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　） A. ω= 23 ，φ= 𝜋12       
B. ω= 23 ，φ=﹣ 11𝜋12       
C. ω= 13 ，φ=﹣ 11𝜋24       
D. ω= 13 ，φ= 7𝜋24 【答案】 A 【考点】三角函数的周期性及其求法，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得 𝑇4>𝜋2 ， 又f（ 5𝜋8 ）=2，f（ 11𝜋8 ）=0，得 𝑇4=11𝜋8−5𝜋8=3𝜋4 ， ∴T=3π，则 2𝜋𝜔=3𝜋 ，即 𝜔=23 ． ∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（ 23 x+φ）， 由f（ 5𝜋8 ）= 2𝑠𝑖𝑛(23×5𝜋8+𝜑)=2 ，得sin（φ+ 5𝜋12 ）=1． ∴φ+ 5𝜋12 = 𝜋2+2𝑘𝜋 ，k∈Z． 取k=0，得φ= 𝜋12 ＜π． ∴ 𝜔=23 ，φ= 𝜋12 ． 故选：A． 【分析】由题意求得 𝑇4 ，再由周期公式求得ω，最后由若f（ 5𝜋8 ）=2求得φ值． 8.已知函数f（x）= {|𝑥|+2，𝑥<1𝑥+2𝑥，𝑥≥1. ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| 𝑥2 +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　） A. [﹣2，2]                       
B. [−23，2]                       
C. [−2，23]                       
D. [−23，23] 【答案】 A 【考点】绝对值不等式的解法，分段函数的应用，函数最值的应用 【解析】【解答】解：根据题意，函数f（x）= {|𝑥|+2，𝑥<1𝑥+2𝑥，𝑥≥1. 的图象如图：
令g（x）=| 𝑥2 +a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0）， 在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数， 若不等式f（x）≥| 𝑥2 +a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在 g（x）上的上方或相交， 则必有f（0）≥g（0）， 即2≥|a|， 解可得﹣2≤a≤2， 故选：A． 【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=| 𝑥2 +a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥| 𝑥2 +a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相切的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a的取值范围，即可得答案． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（共6题；共6分） 9.已知a∈R，i为虚数单位，若 𝑎−𝑖2+𝑖 为实数，则a的值为________． 【答案】 -2 【考点】复数的基本概念，复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：a∈R，i为虚数单位， 𝑎−𝑖2+𝑖 = (𝑎−𝑖)(2−𝑖)(2+𝑖)(2−𝑖) = 2𝑎−1−(2+𝑎)𝑖4+1 = 2𝑎−15 ﹣ 2+𝑎5 i 由 𝑎−𝑖2+𝑖 为实数， 可得﹣ 2+𝑎5 =0， 解得a=﹣2． 故答案为：﹣2． 【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 𝑎−𝑖2+𝑖 ，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值． 10.已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为________． 【答案】 1 【考点】导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程，两条直线的交点坐标 【解析】【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣ 1𝑥 ，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1， 切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1）， l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1． 故答案为：1． 【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距． 11.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________． 【答案】 9𝜋2 【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a， ∵这个正方体的表面积为18， ∴6a2=18， 则a2=3，即a= 3 ， ∵一个正方体的所有顶点在一个球面上， ∴正方体的体对角线等于球的直径， 即 3 a=2R， 即R= 32 ， 则球的体积V= 43 π•（ 32 ）3= 9𝜋2 ； 故答案为： 9𝜋2 ． 【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可． 12.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方 程为________． 【答案】 （x+1）2+ (𝑦−3)2 =1 【考点】圆的标准方程，抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A， ∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA= 𝑂𝐹𝑡𝑎𝑛∠𝐹𝐴𝑂 = 133 =1，∴OA= 3 ，∴A（0， 3 ），如图所示：
∴C（﹣1， 3 ），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为 (𝑥+1)2+(𝑦−3)2=1 ， 故答案为：（x+1）2+ (𝑦−3)2 =1． 【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA= 𝑂𝐹𝑡𝑎𝑛∠𝐹𝐴𝑂 =1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程． 13.若a，b∈R，ab＞0，则 𝑎4+4𝑏4+1𝑎𝑏 的最小值为________． 【答案】 4 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：a，b∈R，ab＞0， ∴ 𝑎4+4𝑏4+1𝑎𝑏 ≥ 2𝑎4⋅4𝑏4+1𝑎𝑏 = 4𝑎2𝑏2+1𝑎𝑏 =4ab+ 1𝑎𝑏 ≥2 4𝑎𝑏⋅1𝑎𝑏 =4， 当且仅当 {𝑎4=4𝑏44𝑎𝑏=1𝑎𝑏 ， 即