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蒹葭已不在白露难成双
上传于：2024-07-15
2016年高考文数真题试卷（天津卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1.已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（ ）
A. {1，3} B. {1，2} C. {2，3} D. {1，2，3}
【答案】 A
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据题意，集合A={1，2，3}，而B={y|y=2x﹣1，x∈A}，
则B={1，3，5}，
则A∩B={1，3}，
故选：A．
【分析】根据题意，将集合B用列举法表示出来，可得B={1，3，5}，由交集的定义计算可得答案．；本题考查集合的运算，注意集合B的表示方法．
2.（2016•天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12 ，甲获胜的概率是 13 ，则甲不输的概率为（ ）
A. 56 B. 25 C. 16 D. 13
【答案】 A
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P= + = ．
故选：A．
【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．；本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．
3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D﹣AD1C，
棱CD1在左侧面的投影为BA1 ，
故选B．
【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．；本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题．
4.已知双曲线 𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2 =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 5 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（ ）
A. 𝑥24﹣y2=1 B. x2﹣ 𝑦24 =1 C. 3𝑥220−3𝑦25=1 D. 3𝑥25−3𝑦220=1
【答案】 A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ， ∴c= ，
∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，
∴ = ，
∴a=2b，
∵c2=a2+b2 ，
∴a=2，b=1，
∴双曲线的方程为 =1．
故选：A．
【分析】利用双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程．；本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．
5.设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设x＞0，y∈R，当x=0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，
而“x＞|y|”⇒“x＞y”，
故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，
故选：C．
【分析】直接根据必要性和充分判断即可．；本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣ 2 ），则a的取值范围是（ ）
A. （﹣∞， 12 ） B. （﹣∞， 12 ）∪（ 32 ，+∞） C. （ 12 ， 32 ） D. （ 32 ，+∞）
【答案】 C
【考点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
∵2|a﹣1|＞0，f（﹣ ）=f（ ），∴2|a﹣1|＜ =2 ．∴|a﹣1| ，解得 ．
故选：C．
【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜ 2 即可．；本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．
7.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 𝐴𝐹 • 𝐵𝐶 的值为（ ）
A. ﹣ 58 B. 18 C. 14 D. 118
【答案】 B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图，
∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，
∴ • = = = = = = = = ．
故选：B．
【分析】由题意画出图形，把 、 都用 表示，然后代入数量积公式得答案．；本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．
8.已知函数f（x）=sin2 𝜔𝑥2 + 12 sinωx﹣ 12 （ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A. （0， 18 ] B. （0， 14 ]∪[ 58 ，1） C. （0， 58 ] D. （0， 18 ]∪[ 14 ， 58 ]
【答案】 D
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：函数f（x）= + sinωx﹣ = + sinωx = ， 由f（x）=0，可得 =0，解得x= ∉（π，2π），∴ω∉ ∪ ∪ ∪…= ∪ ，
∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈ ∪ ．
故选：D．
【分析】函数f（x）= ，由f（x）=0，可得 =0，解得x= ∉（π，2π），因此ω∉ ∪ ∪ ∪…= ∪ ，即可得出．；本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分
9.i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为________．
【答案】 1
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由（1+i）z=2，得 ，
∴z的实部为1．
故答案为：1．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．；本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
10.已知函数f（x）=（2x+1）ex ， f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为________．
【答案】 3
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解：∵f（x）=（2x+1）ex ，
∴f′（x）=2ex+（2x+1）ex ，
∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．
故答案为：3．
【分析】先求导，再带值计算．；本题考查了导数的运算法则，属于基础题．
11.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为________．
【答案】 4
【考点】程序框图
【解析】【解答】解：第一次循环：S=8，n=2；
第二次循环：S=2，n=3；
第三次循环：S=4，n=4，
结束循环，输出S=4，
故答案为：4．
【分析】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出S的值．；本题主要考查程序框图，循环结构，注意循环的条件，属于基础题．
12.已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0， 5 ）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为 455 ，则圆C的方程为________．
【答案】 （x﹣2）2+y2=9
【考点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2（a＞0），由点M（0， ）在圆上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为 ，得 ，解得a=2，r=3．
∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=9．
故答案为：（x﹣2）2+y2=9．
【分析】由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．；本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
13.如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E ， BE=2AE=2，BD=ED ， 则线段CE的长为________.
【答案】 233
【考点】与圆有关的比例线段
【解析】【解答】解：如图，
过D作DH⊥AB于H，
∵BE=2AE=2，BD=ED，
∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，
∴DH2=AH•BH=2，则DH= ，在Rt△DHE中，则 ，
由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，
∴ ．故答案为： ．
【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE
14.已知函数f（x）=𝑥2+(4𝑎−3)𝑥+3𝑎,𝑥<0log𝑎(𝑥+1)+1,𝑥⩾0 （a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣ 𝑥3 恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________．
【答案】 [ 13 ， 23 ）
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：∵f（x）是R上的单调递减函数，
∴y=x2+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞．，0）上单调递减，y=loga（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减，
且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．
∴ ，解得 ≤a≤ ．作出y=|f（x）|和y=2﹣ 的函数草图如图所示：
∵|f（x）|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解，∴3a＜2，即a ．综上， ．故答案为[ ， ）．
【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．；本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，80分
15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B= 3 bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA= 13 ，求sinC的值．
【答案】 （1）解：∵asin2B= 3 bsinA，
∴2sinAsinBcosB= 3 sinBsinA，
∴cosB= 32 ，∴B= 𝜋6
（2）解：∵cosA= 13 ，∴sinA= 223 ，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= 223×32+12×13=26+16
【考点】解三角形
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．；本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．
16.某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：
配料 原料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．
【答案】 （1）解：x，y满足的条件关系式为： {4𝑥+5𝑦≤2008𝑥+5𝑦≤3603𝑥+10𝑦≤300𝑥≥0𝑦≥0 ．
作出平面区域如图所示：
（2）解：设利润为z万元，则z=2x+3y．
∴y=﹣ 23 x+ 𝑧3 ．
∴当直线y=﹣ 23 x+ 𝑧3 经过点B时，截距 𝑧3 最大，即z最大．
解方程组 {4𝑥+5𝑦≤2003𝑥+10𝑦≤300 得B（20，24）．
∴z的最大值为2×20+3×24=112．
答：当生产甲种肥料20吨，乙种肥料24吨时，利润最大，最大利润为112万元
【考点】简单线性规划的应用
【解析】【分析】（1）根据原料的吨数列出不等式组，作出平面区域；（2）令利润z=2x+3y，则y=﹣ ，结合可行域找出最优解的位置，列方程组解出最优解．；本题考查了简单的线性规划的应用，抽象概括能力和计算求解能力，属于中档题．
17.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABNCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE= 6 ，∠BAD=60°，G为BC的中点．
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：平面BED⊥平面AED；
（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．
【答案】 （1）证明：BD的中点为O，
连接OE，OG，在△BCD中，∵G是BC的中点，∴OG∥DC，且OG= 12 DC=1，又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF=0G，即四边形OGEF是平行四边形，∴FG∥OE，∵FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，∴FG∥平面BED； （2）证明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，
由余弦定理可得BD= 3 ，仅而∠ADB=90°，
即BD⊥AD，
又∵平面AED⊥平面ABCD，
BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
∴BD⊥平面AED，
∵BD⊂平面BED，
∴平面BED⊥平面AED
（3）解：∵EF∥AB，
∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，
过点A作AH⊥DH于点H，连接BH，
又平面BED∩平面AED=ED，
由（2）知AH⊥平面BED，
∴直线AB与平面BED所成的为∠ABH，
在△ADE，AD=1，DE=3，AE= 6 ，由余弦定理得cos∠ADE= 23 ，
∴sin∠ADE= 53 ，
∴AH=AD• 53 ，
在Rt△AHB中，sin∠ABH= 𝐴𝐻𝐴𝐵 = 56 ，
∴直线EF与平面BED所成角的正弦值 56
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据余弦定理求出BD= ，继而得到BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（3）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．
本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．
18.已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且 1𝑎1 ﹣ 1𝑎2 = 2𝑎3 ，S6=63．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N* ， bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）n bn2}的前2n项和．
【答案】 （1）解：设{an}的公比为q，则 1𝑎1 ﹣ 1𝑎1𝑞 = 1𝑎1𝑞2 ，即1﹣ 1𝑞 = 2𝑞2 ，
解得q=2或q=﹣1．
若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符和题意．∴q=2，
∴S6= 𝑎1(1−26)1−2 =63，∴a1=1．
∴an=2n﹣1
（2）解：∵bn是log2an和log2an+1的等差中项，
∴bn= 12