2021年北京卷数学高考真题

2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合
，
，则
（ ） A.
B.
C.
D.
2. 在复平面内，复数
满足
，则
（ ） A.
B.
C.
D.
3. 已知
是定义在上
的函数，那么“函数
在
上单调递增”是“函数
在
上的最大值为
”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A

B. 4 C.
D. 2 5. 双曲线
过点
，且离心率为
，则该双曲线的标准方程为（ ） A.
B.
C.
D.
6.
和
是两个等差数列，其中
为常值，
，
，
，则
（ ） A.
B.
C.
D.
7. 函数
，试判断函数
奇偶性及最大值（ ） A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2 C. 奇函数，最大值为
D. 偶函数，最大值为
8. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（
）来判断降雨程度．其中小雨（
），中雨（
），大雨（
），暴雨（
），小明用一个圆锥形容器接了24小时
雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 9. 已知圆
，直线
，当
变化时，
截得圆
弦长的最小值为2，则 EMBED Equation.DSMT4 
（ ） A.  EMBED Equation.DSMT4 
 B.  EMBED Equation.DSMT4 
 C.  EMBED Equation.DSMT4 
 D.  EMBED Equation.DSMT4 
 10. 数列 EMBED Equation.DSMT4 
是递增的整数数列，且 EMBED Equation.DSMT4 
， EMBED Equation.DSMT4 
，则 EMBED Equation.DSMT4 
的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题5小题，每小题5分，共25分． 11.  EMBED Equation.DSMT4 
展开式中常数项为__________． 12. 已知抛物线 EMBED Equation.DSMT4 
，焦点为 EMBED Equation.DSMT4 
，点 EMBED Equation.DSMT4 
为抛物线 EMBED Equation.DSMT4 
上的点，且 EMBED Equation.DSMT4 
，则 EMBED Equation.DSMT4 
的横坐标是_______；作 EMBED Equation.DSMT4 
轴于 EMBED Equation.DSMT4 
，则 EMBED Equation.DSMT4 
_______． 13.  EMBED Equation.DSMT4 
， EMBED Equation.DSMT4 
， EMBED Equation.DSMT4 
，则 EMBED Equation.DSMT4 
_______； EMBED Equation.DSMT4 
_______． 14. 若点 EMBED Equation.DSMT4 
与点 EMBED Equation.DSMT4 
关于 EMBED Equation.DSMT4 
轴对称，写出一个符合题意的 EMBED Equation.DSMT4 
___． 15. 已知函数 EMBED Equation.DSMT4 
，给出下列四个结论： ①若 EMBED Equation.DSMT4 
，则 EMBED Equation.DSMT4 
有两个零点； ② EMBED Equation.DSMT4 
，使得 EMBED Equation.DSMT4 
有一个零点； ③ EMBED Equation.DSMT4 
，使得 EMBED Equation.DSMT4 
有三个零点； ④ EMBED Equation.DSMT4 
，使得 EMBED Equation.DSMT4 
有三个零点． 以上正确结论得序号
_______． 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知
 EMBED Equation.DSMT4 
中， EMBED Equation.DSMT4 
， EMBED Equation.DSMT4 
． （1）求 EMBED Equation.DSMT4 
的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 EMBED Equation.DSMT4 
存在且唯一确定，并求出 EMBED Equation.DSMT4 
边上的中线的长度． ① EMBED Equation.DSMT4 
；②周长为 EMBED Equation.DSMT4 
；③面积为 EMBED Equation.DSMT4 
； 17. 已知正方体 EMBED Equation.DSMT4 
，点 EMBED Equation.DSMT4 
为 EMBED Equation.DSMT4 
中点，直线 EMBED Equation.DSMT4 
交平面 EMBED Equation.DSMT4 
于点 EMBED Equation.DSMT4 
．
（1）证明：点 EMBED Equation.DSMT4 
为 EMBED Equation.DSMT4 
的中点； （2）若点 EMBED Equation.DSMT4 
为棱 EMBED Equation.DSMT4