2021年高考数学真题试卷（北京卷）(教师版).docx

2021年高考数学真题试卷（北京卷） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（共10题；共40分） 1.已知集合 𝐴={𝑥|−1<𝑥<1} ， 𝐵={𝑥|0≤𝑥≤2} ，则 𝐴∪𝐵= （    ） A. (−1,2)                                 
B. (−1,2]                                 
C. [0,1)                                 
D. [0,1] 【答案】 B 【考点】并集及其运算 【解析】【解答】解：根据并集的定义易得𝐴∪𝐵=𝑥|−1<𝑥≤2 ，  故答案为：B 【分析】根据并集的定义直接求解即可. 2.在复平面内，复数 𝑧 满足 (1−𝑖)𝑧=2 ，则 𝑧= （    ） A. 2+𝑖                                     B. 2−𝑖                                     C. 1−𝑖                                     D. 1+𝑖 【答案】 D 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：𝑧=21−𝑖=21+𝑖1−𝑖1+𝑖=1+𝑖 ，  故答案为：D 【分析】根据复数的运算法则直接求解即可. 3.已知 𝑓(𝑥) 是定义在上 [0,1] 的函数，那么“函数 𝑓(𝑥) 在 [0,1] 上单调递增”是“函数 𝑓(𝑥) 在 [0,1] 上的最大值为 𝑓(1) ”的（    ） A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件         C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0, 1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1), 所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”为“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分条件； ②【必要性】若函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0, 1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)， 所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的必要条件， 所以“函数f(x)在[0, 1]上单调递增”是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件. 故答案为：A 【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可. 4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（    ）
A. 3+32                                      
B. 4                                      
C. 3+3                                      
D. 2 【答案】 A 【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示：
 该四面体为直三棱锥，其中SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=1， 则SB=SC=BC=2 ，  则所求表面积为𝑆=3×12×1×1+12×2×2×sin60°=3+32 故答案为：A 【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可. 5.双曲线 𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1 过点 (2,3) ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（    ） A. 𝑥2−𝑦23=1                   
B. 𝑥23−𝑦2=1                   
C. 𝑥2−3𝑦23=1                   
D. 3𝑥23−𝑦2=1 【答案】 A 【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：由𝑒=𝑐𝑎=2得c=2a，则b2=c2-a2=3a2 则可设双曲线方程为：𝑥2𝑎2−𝑦23𝑎2=1 ，  将点 (2,3) 代入上式，得22𝑎2−323𝑎2=1 解得a2=1,b2=3 故所求方程为： 𝑥2−𝑦23=1 故答案为：A 【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可. 6.{𝑎𝑛} 和 {𝑏𝑛} 是两个等差数列，其中 𝑎𝑘𝑏𝑘(1≤𝑘≤5) 为常值， 𝑎1=288 ， 𝑎5=96 ， 𝑏1=192 ，则 𝑏3= （    ） A. 64                                       B. 128                                       C. 256                                       D. 512 【答案】 B 【考点】等差数列的性质 【解析】【解答】解：由题意得𝑎𝑘𝑏𝑘=𝑎1𝑏1=288192=32 ， 则𝑎5𝑏5=32 ， 则𝑏5=23𝑎5=64 ， 所以𝑏3=𝑏1+𝑏52=192+642=128. 故答案为：B 【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可. 7.函数 𝑓(𝑥)=cos𝑥−cos2𝑥 ，试判断函数的奇偶性及最大值（    ） A. 奇函数，最大值为2                                            
B. 偶函数，最大值为2C. 奇函数，最大值为 98                                          
D. 偶函数，最大值为 98 【答案】 D 【考点】偶函数，二次函数在闭区间上的最值 【解析】【解答】解：∵f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x)   ∴f(x)为偶函数 又f(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1 令t=cosx，则y=-2t2+t+1，t∈[-1,1]， 则当𝑡=−12×−2=14时，y取得最大值𝑦𝑚𝑎𝑥=−2×142+14+1=98. 故答案为：D 【分析】根据偶函数的定义，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可. 8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ mm ）来判断降雨程度．其中小雨（ <10mm ），中雨（ 10mm−25mm ），大雨（ 25mm−50mm ），暴雨（ 50mm−100mm ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A. 小雨                                     B. 中雨                                     C. 大雨                                     D. 暴雨 【答案】 B 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【解析】【解答】解：如图所示，
 由题意得𝑟100=150300 ， 则r=50 则雨水的体积为𝑉=13πr2h=13π×502×150 ，  则降雨的厚度（高度）为𝐻=𝑉π×1002=13π×502×150π×1002=12.5𝑚𝑚 故答案为：B 【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可. 9.已知圆 𝐶:𝑥2+𝑦2=4 ，直线 𝑙:𝑦=𝑘𝑥+𝑚 ，当 𝑘 变化时， 𝑙 截得圆 𝐶 弦长的最小值为2，则 𝑚= （    ） A. ±2                                     
B. ±2                                     
C. ±3                                     
D. ±5 【答案】 C 【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d， 则𝑑2=𝑟2−𝑛22=4−𝑛24 ，  则当n取最小值2时，d取得最大值为3 ，  则𝑑=𝑚1+𝑘2≤3 当k=0时，d取得最大值为3 ，  则|𝑚|=3 解得𝑚=±3 故答案为：C 【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可. 10.数列 {𝑎𝑛} 是递增的整数数列，且 𝑎1≥3 ， 𝑎1+𝑎2+⋅⋅⋅+𝑎𝑛=100 ，则 𝑛 的最大值为（    ） A. 9                                         
B. 10                                         
C. 11                                         
D. 12 【答案】 C 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和 【解析】【解答】解：∵ 数列 {𝑎𝑛} 是递增的整数数列 ， ∴n要取最大，d尽可能为小的整数， 故可假设d=1 ∵a1=3，d=1 ∴an=n+2 ∴𝑆𝑛=3+𝑛+2𝑛2=𝑛2+5𝑛2 则S11=88<100，S12=102>100， 故n的最大值为11. 故答案为：C 【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可. 二、填空题5小题，每小题5分，共25分．（共5题；共25分） 11.(𝑥3−1𝑥)4 展开式中常数项为________． 【答案】 -4 【考点】二项式定理，二项式系数的性质，二项式定理的应用 【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为𝑇𝑘+1=𝐶4𝑘𝑥34−𝑘−1𝑥𝑘=𝐶4𝑘−1𝑘𝑥12−4𝑘 令12-4k=0，得k=3 故常数项为𝑇4=𝑇3+1=𝐶43−13=−4 故答案为：-4 【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可. 12.已知抛物线 𝐶:𝑦2=4𝑥 ，焦点为 𝐹 ，点 𝑀 为抛物线 𝐶 上的点，且 |𝐹𝑀|=6 ，则 𝑀 的横坐标是________；作 𝑀𝑁⊥𝑥 轴于 𝑁 ，则 𝑆△𝐹𝑀𝑁= ________． 【答案】 5；45 【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用 【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）, 则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则𝑦0=25 ，  不妨取点M为5,25 则点N为5,0 则|FN|=5-1=4 则𝑆△𝐹𝑀𝑁=12×𝐹𝑁×𝑀𝑁=12×4×25=45 故答案为：5，45 【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可. 13.若点 𝑃(cos𝜃,sin𝜃) 与点 𝑄(cos(𝜃+𝜋6),sin(𝜃+𝜋6)) 关于 𝑦 轴对称，写出一个符合题意的 𝜃= ________． 【答案】 5𝜋12 （满足 𝜃=5𝜋12+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍 即可） 【考点】诱导公式 【解析】【解答】解：由题意得sin𝜃=sin𝜃+π6cos𝜃=−cos𝜃+π6 ， 对比诱导公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得𝜃+π6=π−θ+2kπ ，  解得𝜃=5π12+kπ,k∈Z 当k=0时，𝜃=5π12 故答案为：5π12 【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可. 14.已知函数 𝑓(𝑥)=|lg𝑥|−𝑘𝑥−2 ，给出下列四个结论： ①若 𝑘=0 ，则 𝑓(𝑥) 有两个零点； ② ∃𝑘<0 ，使得 𝑓(𝑥) 有一个零点； ③ ∃𝑘<0 ，使得 𝑓(𝑥) 有