2022年高考数学真题试卷（北京卷）(教师版).docx

年高考数学真题试卷北京卷一选择题共小题每小题分共分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项北京已知全集集合则答案知识点补集及其运算解析解答根据题意可得故答案为分析直接根据补集的概念计算即可北京若复数满足则答案知识点复数代数形式的乘除运算复数求模解析解答由已知条件可知所以故答案为分析根据复数的代数运算以及模长公式进行计算即可北京若直线是圆的一条对称轴则答案知识点直线与圆的位置关系解析解答若直线是圆的对称轴则直线过圆心圆心坐标所以由解得故答案为分析由直线是圆的对称轴则直线过圆心求圆心代入直线方程即可求得的值北京已知函数则对任意实数有答案知识点函数的应用解析解答由可得所以故答案为分析根据函数的解析式求得的解析式从而可得选项北京已知函数则在上单调递增在上单调递增在上单调递减在上单调递增答案知识点二倍角的余弦公式余弦函数的单调性解析解答选项中此时单调递增选项中此时先递增后递减选项中此时单调递减选项中此时先递减后递增故答案为分析先根据余弦的二倍角公式化简再逐项分析选项即可北京设是公差不为的无穷等差数列则为递增数列是存在正整数当时的充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件答案知识点必要条件充分条件与充要条件的判断解析解答充分性证明若为递增数列则有对公差取正整数其中不大于的最大正整数则当时只要都有必要性证明若存在正整数当时因为所以对都成立因为且所以对都有即为递增数列所以为递增数列是存在正整数当时的充要条件故答案为分析先证明充分性若为递增数列则公差取正整数则当时只要都有再证明必要性若存在正整数当有因为结合已知条件得即为递增数列综上即可判断北京在北京冬奥会上国家速滑馆冰丝带使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系其中表示温度单位是表示压强单位是下列结论中正确的是当时二氧化碳处于液态当时二氧化碳处于气态当时二氧化碳处于超临界状态当时二氧化碳处于超临界状态答案知识点函数的图象对数的运算性质解析解答选项由图易知处于固态选项由图易知处于液态选项由图易知处于固态选项由图易知处于超临界状态故答案为分析根据选项所给的值分别计算结合的值以及图象逐个判断即可北京若则答案知识点二项式定理的应用解析解答当时当时两式相加得故答案为分析令和所得两式相加即可求解北京已知正三棱锥的六条棱长均为是及其内部的点构成的集合设集合则表示的区域的面积为答案知识点轨迹方程棱锥的结构特征解析解答过点作底面的射影点则由题意所以当上存在一点使得此时则动点在以为半径为圆心的圆内所以面积为故答案为分析过点作底面的射影点根据题意可计算当上存在一动点使得此时即可得动点的轨迹从而计算表示的区域的面积北京在中为所在平面内的动点且则的取值范围是答案知识点平面向量数量积坐标表示的应用解析解答以为坐标原点建立直角坐标系由题意易知设故答案为分析先根据已知条件建立直角坐标系设点利用坐标法即可解决问题二填空题共小题每小题分共分北京函数的定义域是答案知识点函数的定义域及其求法解析解答依题意解得分析根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可北京已知双曲线的渐近线方程为则答案知识点双曲线的简单性质解析解答双曲线的渐近线方程为故分析先写出双曲线的渐近线再根据已知条件即可得北京若函数的一个零点为则答案知识点两角和与差的正弦公式正弦函数的零点与最值解析解答解得故分析根据函数的零点为代入解析式即可求出的值从而得到函数的解析式利用两角差的正弦公式化简再将代入即可求得北京设函数若存在最小值则的一个取值为的最大值为答案答案不唯一知识点分段函数的应用解析解答由题意知函数的最值与函数的单调性相关故考虑为分界点研究函数的性质当时该段的值域为故整个函数没有最小值当时该段的值域为而的值域为故此时函数的值域为即存在最小值故第一个空可填写当时该段的值域为而的值域为若存在最小值则需满足于是可得当时该段的值域为而的值域为若存在最小值则需满足此时不等式无解综上的最大值为分析根据题意考虑为分界点研究函数的单调性和最值分四种情况讨论函数的值域结合函数存在最小值列关于的不等关系从而求解的取值范围北京已知数列的各项均为正数其前项和满足给出下列四个结论的第项小于为等比数列为递减数列中存在小于的项其中所有正确结论的序号是答案知识点数列的应用数列递推式解析解答可得又各项均为正可得令可得可解得故正确当时由得于是可得即若为等比数列则时即从第二项起为常数可检验则不成立故错误可得于是所以于是正确对于若所有项均大于等于取则于是与已知矛盾所以错误分析先令计算数列的首项和第二项即可判断根据的关系求得假设为等比数列经检验不成立判断错误由可得于是所以于是正确利用反证法推出矛盾即可判断三解答题共小题共分北京在中求若且的面积为求的周长答案根据正弦的二倍角公式可得可得所以由余弦定理得所以周长为知识点解三角形正弦定理的应用余弦定理的应用解析分析根据正弦的二倍角公式化简求值即可根据三角形面积公式求得再由余弦定理求得即可得周长北京如图在三棱柱中侧面为正方形平面平面分别为的中点求证平面再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知求直线与平面所成角的正弦值条件条件注如果选择条件和条件分别解答按第一个解答计分答案设点为中点由于为中点为中点所以为中位线又为中点是正方形的中位线所以面面又面平面选择条件面面面面面面又又由面面故两两垂直以为原点为轴正方向为轴正方向为轴正方向建立坐标系则的法向量与面所成角的正弦等于与所半余弦的绝对值即故所求正弦为知识点直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定用空间向量求直线与平面的夹角解析分析记中点为由已知条件可得推出面面从而推出平面选择条件由面面推出再根据推出面得到两两垂直以为原点建立如图空间直角坐标系利用空间向量求解线面夹角正弦值即可北京在校运动会上只有甲乙丙三名同学参加铅球比赛比赛成绩达到以上含的同学将获得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主收集了甲乙丙以往的比赛成绩并整理得到如下数据单位甲乙丙假设用频率估计概率且甲乙丙的比赛成绩相互独立估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率设是甲乙丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数估计的数学期望在校运动会铅球比赛中甲乙丙谁获得冠军的概率估计值最大结论不要求证明答案由题意得设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件比赛成绩达到以上获优秀奖甲的比赛成绩达到以上的有四个所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为所有可能取值为甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件则丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件则甲的平均数乙的平均数丙的平均数甲的方差乙的方差丙的方差在校运动会铅球比赛中乙获得冠军的概率估计值最大知识点极差方差与标准差古典概型及其概率计算公式离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差解析分析根据古典概型概率公式计算即可由题意的可能取值为先分别求得甲乙丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率再分别求取取值的相应概率由此得分布列和数学期望根据甲乙丙的比赛成绩的平均值和方差即可判断北京已知椭圆的一个顶点为焦距为求椭圆的方程过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点直线分别与轴交于点当时求的值答案由已知设直线联立由得由共线得由得即即解得知识点椭圆的标准方程直线与圆锥曲线的关系解析分析根据已知条件可得即结合求得即可得椭圆方程设直线联立方程组由韦达定理可得由共线共线可得点坐标再根据可求得的值北京已知函数求曲线在点处的切线方程设讨论函数在上的单调性证明对任意的有答案则又故所求切线方程为又故对成立在上单调递增证明不妨设由拉格朗日中值定理可得其中即其中即由在上单调递增故证毕知识点利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程不等式的证明解析分析对函数求导得分别计算根据直线的点斜式方程即可求切线方程由知利用放缩法可得即可判断的单调性不妨设由拉格朗日中值定理可得即由的结论得即即可证明北京已知为有穷整数数列给定正整数若对任意的在中存在使得则称为连续可表数列判断是否为连续可表数列是否为连续可表数列说明理由若为连续可表数列求证的最小值为若为连续可表数列求证答案若则对于任意所以是连续可表数列由不存在任意连续若干项之和相加为所以不是连续可表数列若设为则至多种矛盾满足若则至多可表个数与题意矛盾若至多可表个数而所以其中有负的从而可表及那个负数恰个这表明中仅一个负的没有且这个们的在中绝对值最小同时中没有两数相同设那个负数为则所有数之和再考虑排序仅一种方式与相序若不在两端则形式若则种方式矛盾问理故在一端不妨为形式右则种矛盾同理不行则种矛盾从而由由表法唯一知不相邻故只能或这种情形对矛后对也矛盾综上知识点数列的应用数列与不等式的综合解析分析根据可表数列的定义即可判断反证法假设则最多能表示个数字与为连续可表数列矛盾故若则至多可表个数至多可表个数而所以至少要有个正整数连续可表个正整数即至少个正整数和一个负数才能满足题意故