2016年高考理数真题试卷（北京卷）(教师版).docx

2016年高考理数真题试卷（北京卷） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（　　） A. {0，1}                       
B. {0，1，2}                       
C. {﹣1，0，1}                       
D. {﹣1，0，1，2} 【答案】 C 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】集合 𝐴={𝑥|−2<𝑥<2} ，集合 𝐵={𝑥|−1   ,     0   ,     1   ,     2   ,3   } ，所以 𝐴∩𝐵={−1   ,     0   ,     1} 【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B． 2.若x,y满足 {2𝑥−𝑦≤0,𝑥+𝑦≤3,𝑥≥0, ，则2x+y的最大值为（  ） A. 0                                           
B. 3                                           
C. 4                                           
D. 5 【答案】 C 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为 (1   ,     2)   ，最大值为 2×1+2=4 .
【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围． 3.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（  ）
A. 1                                                    
B. 2                            
C. 3                                                 
D. 4 【答案】 B 【考点】程序框图 【解析】【解答】开始 𝑎=1 ， 𝑘=0 ；第一次循环 𝑎=−12 ， 𝑘=1 ；第二次循环 𝑎=−2 ， 𝑘=2 ，第三次循环 𝑎=1 ，条件判断为“是”跳出，此时 𝑘=2 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 4.设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（  ) A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件         C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件 【答案】 D 【考点】充要条件，向量的模 【解析】【解答】若 |𝑎|=|𝑏| 成立，则以 𝑎 ， 𝑏 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形， 𝑎+𝑏 ， 𝑎−𝑏 表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以 |𝑎+𝑏|=|𝑎−𝑏| 不一定成立，从而不是充分条件；反之， |𝑎+𝑏|=|𝑎−𝑏| 成立，则以 𝑎 ， 𝑏 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以 |𝑎|=|𝑏| 不一定成立，从而不是必要条件. 【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案 5.已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（　　） A. 1𝑥﹣ 1𝑦 ＞0              
B. sinx﹣siny＞0              
C. （ 12 ）x﹣（ 12 ）y＜0              
D. lnx+lny＞0 【答案】 C 【考点】不等关系与不等式 【解析】【解答】 𝐴 .考查的是反比例函数 𝑦=1𝑥 在 (0   ,     +∞) 单调递减，所以 1𝑥<1𝑦 即 1𝑥−1𝑦<0 所以 𝐴 错； 𝐵 .考查的是三角函数 𝑦=sin𝑥 在 (0   ,     +∞) 单调性，不是单调的，所以不一定有 sin𝑥>sin𝑦 ， 𝐵 错； 𝐶 .考查的是指数函数 𝑦=(12)𝑥 在 (0   ,     +∞) 单调递减，所以有 (12)𝑥<(12)𝑦 即 (12)𝑥−(12)𝑦<0 所以 𝐶 对； 𝐷.考查的是对数函数 𝑦=ln𝑥 的性质， ln𝑥+ln𝑦=ln𝑥𝑦 ，当 𝑥   >𝑦>0 时， 𝑥𝑦>0 不一定有 ln𝑥𝑦>0 ，所以 𝐷 错 【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：

，sinx与siny的大小关系不确定，
＜
，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论． 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(  )
A. 16                                                     
B. 13                                    
C. 12                                    
D. 1 【答案】 A 【考点】由三视图求面积、体积 【解析】【解答】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高 ℎ=1 ，底面积 𝑆=12×1×1=12 ，所以体积 𝑉=13𝑆ℎ=16 .
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案． 7.将函数 y=sin（2x﹣π3） 图像上的点P（ π4  ，t ）向左平移s（s﹥0） 个单位长度得到点P′.若 P′位于函数y=sin2x的图像上，则(  ) A. t= 12 ，s的最小值为 π6                                      
B. t= 32 ，s的最小值为 π6C. t= 12 ，s的最小值为 π3                                      
D. t= 32 ，s的最小值为 π3 【答案】 A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 【解析】【解答】点 𝑃(π4   ,     𝑡) 在函数 𝑦=sin(2𝑥−π3) 上，所以 𝑡=sin(2×π4−π3)=sin(π6)=12 ，然后𝑦=sin(2𝑥−π3) 向左平移 𝑠 个单位，即 𝑦=sin(2(𝑥+𝑠)−π3)=sin2𝑥 ，所以 𝑠=π6+𝑘π   ,     𝑘∈𝑍 ，所以 𝑠 的最小值为 π6 【分析】将x=
代入得：t=
，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值． 8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(   ) A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球                             B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多  C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球                            
D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】 B 【考点】进行简单的演绎推理 【解析】【解答】取两个球往盒子中放有 4 种情况： ①红+红，则乙盒中红球数加 1 个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加 1 个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加 1 个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加 1 个． 因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响． ①  和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样． 综上，选B 【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9.设a
R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=________。 【答案】 -1 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】 (1+i)(𝑎+i)=𝑎−1+(𝑎+1)i ∵其对应点在实轴上 ∴ 𝑎+1=0 ， 𝑎=−1 【分析】（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，则a+1=0，解得答案 10.在 (1−2𝑥)6 的展开式中， 𝑥2 的系数为________.（用数字作答） 【答案】 60 【考点】二项式定理的应用 【解析】【解答】由二项式定理得含 𝑥2 的项为 C62(−2𝑥)2=60𝑥2 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出． 11.在极坐标系中，直线 ρcosθ−3ρsinθ−1=0 与圆 ρ=2cosθ 交于A，B两点，则 |AB| =________. 【答案】 2 【考点】简单曲线的极坐标方程 【解析】【解答】将极坐标转化为直角坐标进行运算 𝑥=𝜌cos𝜃 ， 𝑦=𝜌sin𝜃         直线的直角坐标方程为 𝑥−3𝑦−1=0 ∵ 𝜌=2cos𝜃 ， 𝜌2(sin2𝜃+cos2𝜃)=2𝜌cos𝜃 ∴ 𝑥2+𝑦2=2𝑥         圆的直角坐标方程为 (𝑥−1)2+𝑦2=1         圆心 (1,0) 在直线上，因此 𝐴𝐵 为圆的直径， |𝐴𝐵|=2 【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C在直线上可得|AB|． 12.已知 {an} 为等差数列， Sn 为其前n项和，若 𝑎1=6 ， 𝑎3+𝑎5=0 ，则 S6 =________ 【答案】 6 【考点】等差数列的前n项和 【解析】【解答】∵ 𝑎3+𝑎5=2𝑎4 ∴ 𝑎4=0 ∵ 𝑎1=6 ， 𝑎4=𝑎1+3𝑑 ∴ 𝑑=−2 ∴ 𝑆6=6𝑎1+6×(6−1)2𝑑=6 【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6 ． 13.双曲线 𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1 (𝑎>0,𝑏>0) 的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=________. 【答案】 2 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】不妨令 𝐵 为双曲线的右焦点， 𝐴 在第一象限，则双曲线图象如图 ∵ 𝑂𝐴𝐵𝐶 为正方形， |𝑂𝐴|=2 ∴ 𝑐=|𝑂𝐵|=22 ， ∠𝐴𝑂𝐵=π4 ∵直线 𝑂𝐴 是渐近线，方程为 𝑦=𝑏𝑎𝑥 ，∴ 𝑏𝑎=tan∠𝐴𝑂𝐵=1 又∵ 𝑎2+𝑏2=𝑐2=8 ∴ 𝑎=2
【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可 14.设函数 {𝑥3−3𝑥,𝑥≤𝑎，−2𝑥,𝑥>𝑎。 ①若a=0，则f(x)的最大值为________； ②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________。 【答案】 2；𝑎<−1 【考点】分段函数的应用 【解析】【解答】由 (𝑥3−3𝑥)′=3𝑥2−3=0 ，得 𝑥=±1 ，如下图，是 𝑓(𝑥) 的两个函数在没有限制条件 时的图象． ① 𝑓(𝑥)max=𝑓(−1)=2 ； ②当 𝑎≥−1 时， 𝑓(𝑥) 有最大值 𝑓(−1)=2 ； 当 𝑎<−1 时， −2𝑥 在 𝑥>𝑎 时无最大值，且 −2𝑎>(𝑥3−3𝑥)max ． 所以， 𝑎<−1 ．
【分析】①将a=0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x=﹣1时，f（x）的最大值为2； ②若f（x）无最大值，则
，或
，解得答案． 三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15.在 𝛥 ABC中， 𝑎3+𝑐3=𝑏3+2𝑎𝑐 （1）求 ∠𝐵  的大小 （2）求 2 cos𝐴+cos𝐶  的最大值 【答案】 （1）解：∵ 𝑎2+𝑐2=𝑏2+2𝑎𝑐 ∴ 𝑎2+𝑐2−𝑏2=2𝑎𝑐 ∴ cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=2𝑎𝑐2𝑎𝑐=22 ∴ ∠𝐵=π4 （2）解：∵ 𝐴+𝐵+𝐶=π ∴ 𝐴+𝐶=34π ∴ 2cos𝐴+cos𝐶 =2cos𝐴+(−22cos𝐴)+22sin𝐴 =22cos𝐴+22sin𝐴 =sin(𝐴+π4) ∵ 𝐴+𝐶=34π ∴ 𝐴 ∈ (0,34π) ∴ 𝐴+π4 ∈ (π4,π) ∴ sin(𝐴+π4)   最大值为1 上式最大值为1 【考点】解三角形的实际应用 【解析】【分析】（1）根据已知和余弦定理，可得cosB=
，进而得到答案；（2）由（I）得：C=
﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得
cosA+cosC的最大值． 16.A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A班 6    6.5    7     7.5      8 B班 6    7      8     9      10    11    12 C班 3    4.5     6    7.5      9    10.5   12     13.5 （1）试估计C班的学生人数； （2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 𝜇1  ，表格中数据的平均数记为 𝜇0  ，试判断 𝜇0   和 𝜇1 的大小，（结论不要求证明） 【答案】 （1）解： 820×100=40 ，C班学生40人 （2）解：在A班中取到每个人的概率相同均为 15 设 𝐴 班中取到第 𝑖 个人事件为 𝐴𝑖 , 𝑖=1,2,3,4,5 C班中取到第 𝑗 个人事件为 𝐶𝑗 , 𝑗=1,2,3,4,5,6,7,8 𝐴 班中取到 𝐴𝑖>𝐶𝑗 的概率为 𝑃𝑖 所求事件为 𝐷 则 𝑃(𝐷)=15𝑃1+15𝑃2+15𝑃3+15𝑃4+15𝑃5 =15×28+15×38+15×38+15×38+15×48 =38 （3）解： 𝜇1<𝜇0 三组平均数分别为 7 , 9 , 8.25 , 总均值 𝜇0=8.2 但 𝜇1 中多加的三个数据 7 , 9 , 8.25 , 平均值为 8.08 ，比 𝜇0 小， 故拉低了平均值 【考点】用样本的频率分布估计总体分布，古典概型及其概率计算公式 【解析】【分析】（1）由已知先计算出抽样比，进而可估计C班的学生人数；（2）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）根据平均数的定义，可判断出μ0＞μ1 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD ⊥  平面ABCD，PA ⊥ PD   ,PA=PD,AB ⊥ AD,AB=1,AD=2,AC=CD= 5  ,
（1）求证：PD ⊥ 平面PAB;  （2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求 𝐴𝑀𝐴𝑃  的值；若不存在，说明理由。 【答案】 （1）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， 且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD， ∴AB⊥平面PAD， ∵PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD， 又PD⊥PA，且PA∩AB=A， ∴PD⊥平面PAB； （2）解：如图：
取 𝐴𝐷 中点为 𝑂 ，连结 𝐶𝑂 ， 𝑃𝑂∵ 𝐶𝐷=𝐴𝐶=5∴ 𝐶𝑂 ⊥ 𝐴𝐷∵ 𝑃𝐴=𝑃𝐷∴ 𝑃𝑂 ⊥ 𝐴𝐷以 𝑂 为原点，如图建系易知P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则 𝑃𝐵=(1，1，−1) ， 𝑃𝐷=(0，−1，−1) ， 𝑃𝐶=(2，0，−1) ， 𝐶𝐷=(−2，−1，0)设 𝑛 为面 𝑃𝐷𝐶 的法向量，令 𝑛=(𝑥0，𝑦0,1){𝑛⋅𝑃𝐷=0𝑛⋅𝑃𝐶=0⇒𝑛=(12，−1,1) ，则 𝑃𝐵 与面 𝑃𝐶𝐷 夹角 𝜃 有sin𝜃=|cos<𝑛,𝑃𝐵>|=|𝑛⋅𝑃𝐵|𝑛||𝑃𝐵||=|12−1−114+1+1×3|=33（3）解：假设存在 𝑀 点使得 𝐵𝑀∥ 面 𝑃𝐶𝐷 设 𝐴𝑀𝐴𝑃=𝜆 ， 𝑀(0,𝑦',𝑧') 由（2）知 𝐴(0,1,0)  ， 𝑃(0,0,1) ， 𝐴𝑃=(0,−1,1) ， 𝐵(1,1,0) ， 𝐴𝑀=(0,𝑦'−1,𝑧') 有 𝐴𝑀=𝜆𝐴𝑃⇒𝑀(0,1−𝜆,𝜆) ∴ 𝐵𝑀=(−1,−𝜆,𝜆) ∵ 𝐵𝑀∥ 面 𝑃𝐶𝐷 ， 𝑛  为 𝑃𝐶𝐷 的法向量 ∴ 𝐵𝑀⋅𝑛=0 即 −12+𝜆+𝜆=0 ∴ 𝜆=14 ∴综上，存在 𝑀 点