2018年高考理数真题试卷（北京卷）(教师版).docx

2018年高考理数真题试卷（北京卷） 一、选择题 1.已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A ∩ B=（   ） A. {0,1}                              
B. {-1,0,1}                              
C. {-2,0,1,2}                              
D. {-1,0,1,2} 【答案】 A 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解：A= {𝑥|−2<𝑥<2} ，B= {−2,0,1,2} 。 ∴ 𝐴∩𝐵={0,1} , 故答案为：A. 【分析】先解集合A中的绝对值不等式，再与B取交集。 2.在复平面内，复数 11−𝑖 的共轭复数对应的点位于（   ） A. 第一象限                           
B. 第二象限                           
C. 第三象限                           
D. 第四象限 【答案】 D 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解： 11−𝑖=1+𝑖(1−𝑖)(1+𝑖)=1+𝑖2=12+12𝑖 ，则共轭复数为 12−12𝑖 在第四象限， 故答案为：D 【分析】先化简复数 11−𝑖 ，再求它的共轭复数。 3.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（   ）
A. 12                                         
B. 56                                         
C. 76                                         
D. 712 【答案】 B 【考点】循环结构，程序框图 【解析】【解答】解：k=1.S=1. S=1+(-1)1 ⋅ 12 =1- 12 , k=2.S=1- 12 + 13 . k=3.S=1- 12 + 13 = 56 , 故答案为：B. 【分析】由程序框图，先算S，算到k=3为止。 4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于 122 ，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（   ） A. 32𝑓                                
B. 322𝑓                                
C. 1225𝑓                                
D. 1227𝑓 【答案】 D 【考点】等比数列，等比数列的通项公式 【解析】【解答】解：由题意可知，单音构成以f为首项，以 122 为公比的等比数列，则第八个为 𝑓⋅(122)8−1=𝑓⋅1227 ， 故答案为：D。 【分析】理解等比数列含义，得到单音构成等比数列，由通项公式，可得到第八项。 5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（   ）
A. 1                                           
B. 2                                           
C. 3                                           
D. 4 【答案】 C 【考点】直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】如图所示，PA ⊥ 面ABCD,
则Rt △ PAB、Rt △ PAD、Rt △ PBC， 又PD= 22 ,CD= 5 ,PC=3.不满足勾股定理， 则侧面共有3个。 故答案为：C 【分析】由三视图得到PA ⊥ 面ABCD，又由PA ⊥ 面PAB,可得到三个直角三角形，又 △ PCD不满足勾股定理，故只有3个. 6.设a,b均为单位向量，则“ |𝑎−3𝑏|=|3𝑎+𝑏| ”是“a ⊥𝑏 ”的（   ） A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件         C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件 【答案】 C 【考点】充要条件，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】解： |𝑎−3𝑏|=|3𝑎+𝑏|⇒𝑎2−6𝑎⋅𝑏+9𝑏2=9𝑎2+6𝑎⋅𝑏+𝑏2⇒8𝑎2+12𝑎⋅𝑏−8𝑏2=0 ， ⇒2𝑎2+3𝑎⋅𝑏−2𝑏2=0⇒3𝑎⋅𝑏=0 ， 又 𝑎⊥𝑏 ⇒𝑎⋅𝑏=0 ， ∴ |𝑎−3𝑏|=|3𝑎+𝑏| 。 故答案为：C。 【分析】先推到充分性，再推导必要性。 7.在平面直角坐标系中，记d为点 𝜌(cos𝜃,sin𝜃) 到直线x-my-2=0的距离，当 𝜃 ， m变化时，d的最大值为（   ） A. 1                                           
B. 2                                           
C. 3                                           
D. 4 【答案】 C 【考点】点到直线的距离公式 【解析】【解答】解：d= |cos𝜃−𝑚sin𝜃−2|1+𝑚2 = |1+𝑚2⋅cos(𝜃+𝜑)−2|1+𝑚2 ≤|1+𝑚2−2|1+𝑚2 = 1+21+𝑚2≤1+2=3 , 故答案为：C. 【分析】先由点到直线的距离公式得到d，再将 𝜃 看成自变量，去掉 𝜃 ，再将m看成自变量，求出最值。 8.设集合A= {(𝑥,𝑦)|𝑥−𝑦≥1,𝑎𝑥+𝑦>4,𝑥−𝑎𝑦≤2} ，则（   ） A. 对任意实数a， (2,1)∈𝐴                                    
B. 对任意实数a， (2,1)∉𝐴C. 当且仅当 𝑎<0 时， (2,1)∉𝐴                            D. 当且仅当a ≤32 时， (2,1)∉𝐴 【答案】 D 【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】【解答】解：当（2,1） ∈ A时，2-1 ≥ 1，合并第一个不等式，2a+1>4 ⇒ a> 32 , 2-a ≤ 2 ⇒ a ≥ 0,则此时a> 32 ，故A错，B错， 当（2,1） ∉ A时，则 𝑎≤32 ， 故答案为：D。 【分析】讨论（2,1） ∈ A，用排除法。 二、填空题 9.设 {𝑎𝑛} 是等差数列，且a1=3, a2+a5= 36，则 {𝑎𝑛} 的通项公式为________ 【答案】 𝑎𝑛=6𝑛−3,𝑛∈𝑁+ 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质 【解析】【解答】解： 𝑎1=3 ， 𝑎2+𝑎5=36⇒𝑎1+𝑎6=36⇒𝑎6=33 ， 设 {𝑎𝑛} 公差为d,则5d=33-3=30 ⇒ d=6, 即 𝑎𝑛=3+(𝑛−1)⋅6=6𝑛−3 , ∴ 𝑎𝑛=6𝑛−3,𝑛∈𝑁 +。 故答案为： 𝑎𝑛=6𝑛−3,𝑛∈𝑁+ 【分析】由数列性质，待定系数法得到d，再由数列通项公式求出 𝑎𝑛 。 10.在极坐标系中，直线 𝜌cos𝜃+𝜌sin𝜃 =a (𝑎>0) 与圆 𝜌 =2 cos𝜃 相切，则a=________ 【答案】 1+2 【考点】直线与圆的位置关系，极坐标系 【解析】【解答】解： 𝜌cos𝜃+𝜌sin𝜃=𝑎⇒𝑥+𝑦=𝑎 ， 𝜌=2cos𝜃⇒𝑥2+𝑦2−2𝑥=0⇒(𝑥−1)2+𝑦2=1 ， ∴ |1−𝑎|2=1⇒𝑎=1±2 ， 又a>0,∴a= 1+2 . 故答案为： 1+2 【分析】先将极坐标方程转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，求出a。 11.设函数f(x)= cos(𝜔𝑥−𝜋6)(𝜔>0) ，若 𝑓(𝑥)≤𝑓(𝜋4) 对任意的实数x都成立，则 𝜔 的最小值为________ 【答案】 23 【考点】余弦函数的奇偶性与对称性 【解析】【解答】解： 𝜔𝜋4−𝜋6=𝑘𝜋⇒𝜔=23+4𝑘,𝑘∈𝑍, 又 𝜔 >0,∴ 𝜔min=23 。 故答案为： 23 【分析】将 𝜋4 代入，由余弦的对称轴方程，求出 𝜔 ，又 𝜔 >0，则 𝜔min 可求出。 12.若x,y满足x+1 ≤𝑦≤2𝑥 ,则2y - x的最小值是________ 【答案】 3 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】解：目标函数Z=2y-x过点A时，Z有最小值，
又 {𝑦=2𝑥𝑦=𝑥+1⇒{𝑥=1𝑦=2 ， ∴ 𝑍min=4−1=3 。 故答案为：3 【分析】由线性约束条件画出可行域，目标函数过点A时，Z有最小值。 13.能说明“若f (𝑥)>𝑓(0) 对任意的x ∈(0,2] 都成立，则f (𝑥) 在 [0,2] 上是增函数”为假命题的一个函数是________ 【答案】 𝑓(𝑥)={1,𝑥=05−𝑥,0<𝑥≤2 【考点】命题的真假判断与应用，分段函数的应用 【解析】【解答】解： 𝑓(𝑥)={1,𝑥=05−𝑥,0<𝑥≤2 【分析】分段函数中，当x=0时， 𝑓(𝑥) 最小， 𝑥∈(0,2] ，函数 𝑓(𝑥) 递减。 14.已知椭圆 𝑀:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0) ,双曲线 𝑁:𝑥2𝑚2−𝑦2𝑛2=1 . 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________ 【答案】 3−1；2 【考点】椭圆的简单性质，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：图中A (𝑐2,32𝑐) ，设椭圆焦距为2c,
又 |𝐴𝐹2|=𝐶⋅|𝐴𝐹1|=3𝑐 。 ∴ 𝑐+3𝑐=2𝑎⇒𝑐𝑎=23+1=3−1 ， 又 𝑛𝑚=3⇒𝑛=3𝑚 ， ∴ 𝑚2+𝑛2=4𝑚2 ，即双曲线离心率为 2𝑚𝑚=2 故答案为： 3−1 ，2. 【分析】从椭圆的半焦距c出发，先分析正六边形，再由椭圆的定义得到a,c之间关系，求出椭圆离心率，再由A点坐标得到渐近线，得到m,n的关系，从而得到双曲线离心率。 三、解答题 15.在△ABC中，a=7,b=8,cosB=- 17 ， （Ⅰ）求∠A： （Ⅱ）求AC边上的高。 【答案】 解：（Ⅰ） △ ABC中， ∵ cosB=−17⇒sin𝐵=437 ， 由正弦定理得： 𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵⇒sin𝐴=32 , ∴ 𝐴=𝜋3 或 2𝜋3 ，又B> 𝜋2 ，所以 𝐴=𝜋3 。 （Ⅱ）设AB边上的高为h,则h=asinC.又 sinC=𝑠𝑖𝑛(𝐴+𝐵)=sin𝐴cos𝐵+sin𝐵cos𝐴=32⋅(−17)+12⋅437=3314 , 而h= 7×3314=332 。 【考点】解三角形，正弦定理的应用 【解析】【分析】（1）先由正弦定理，求出sinA，再由B角范围，进一步确定A；（2）由h=asinC发现反需求出sinC,又已知A,B由和角公式，则h可求出。 16.如图，在三菱柱ABC- 𝐴1𝐵1𝐶1 中， 𝐶𝐶1⊥ 平面ABC。 D,E,F,G分别为 𝐴𝐴1 ,AC, 𝐴1𝐶1 , 𝐵𝐵1 的中点