2016年高考文数真题试卷（北京卷）(学生版).docx

2016年高考文数真题试卷（北京卷） 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1.已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（　　） A. {x|2＜x＜5}                   B. {x|x＜4或x＞5}                   C. {x|2＜x＜3}                   D. {x|x＜2或x＞5} 2.复数1+2𝑖2−𝑖=  （　　） A. i                                        
B. 1+i                                        
C. ﹣i                                        
D. 1﹣i 3.执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）
A. 8                                          
B. 9                                          
C. 27                                          
D. 36 4.下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（　　） A. 𝑦=11−𝑥                           
B. y=cosx                           
C. y=ln（x+1）                           
D. y=2﹣x 5.圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（　　） A. 1                                        
B. 2                                        
C. 2                                        
D. 2 2 6.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　） A. 15                                        
B. 25                                        
C. 825                                        
D. 925 7.已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（　　） A. ﹣1                                          
B. 3                                          
C. 7                                          
D. 8 8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊． 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（　　） A. 2号学生进入30秒跳绳决赛                                 
B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛                                 
D. 9号学生进入30秒跳绳决赛 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9.已知向量 𝑎 =（1， 3 ）， 𝑏 =（ 3 ，1），则 𝑎 与 𝑏 夹角的大小为________． 10.函数f（x）= 𝑥𝑥−1 （x≥2）的最大值为________． 11.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
12.已知双曲线 𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ 5 ，0），则a=________，b=________． 13.在△ABC中，∠A= 2𝜋3 ，a= 3 c，则 𝑏𝑐 =________． 14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种． 三、解答题（共6小题，满分80分） 15.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1 ， a14=b4 ． （1）求{an}的通项公式； （2）设cn=an+bn ， 求数列{cn}的前n项和． 16.已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 17.某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？ （2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费． 18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC； （2）求证：平面PAB⊥平面PAC； （3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由． 19.已知椭圆C： 𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2 =1过点A（2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． 20.设函数f（x）=x3+ax2+bx+c． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围； （3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．  答案解析部分 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1.【答案】 C 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}， ∴A∩B={x|2＜x＜3}． 故选：C． 【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．；本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用． 2.【答案】 A 【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：
=
=
=i， 故选：A 【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．；本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题． 3.【答案】 B 【考点】程序框图 【解析】【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1， 当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2， 当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3， 当k=3时，不满足进行循环的条件， 故输出的S值为9， 故选：B；本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． 4.【答案】 D 【考点】函数单调性的判断与证明 【解析】【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴
增大； ∴函数
在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误； B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误； C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误； D.
； ∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确． 故选D． 【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．；考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算． 5.【答案】 C 【考点】点到直线的距离公式，圆的标准方程 【解析】【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0）， ∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为： d=
=
． 故选：C． 【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．；本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用． 6.【答案】 B 【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n=
=10，甲被选中包含的基本事件的个数m=
=4，∴甲被选中的概率p=
=
=
． 故选：B． 【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．；本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 7.【答案】 C 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上， 令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值， 可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7． 故选：C．
【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．；本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键． 8.【答案】 B 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人， 故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛， 又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人， 则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛， 剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛， 故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛， 故选：B 【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．；本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键． 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9.【答案】 𝜋6 【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】【解答】解：∵向量
=（1，
），
=（
，1）， ∴
与
夹角θ满足：cosθ=
=
=
， 又∵θ∈[0，π]， ∴θ=
，故答案为：
． 【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．；本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键． 10.【答案】 2 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【解答】解：
； ∴f（x）在[2，+∞）上单调递减； ∴x=2时，f（x）取最大值2． 故答案为：2． 【分析】分离常数便可得到
，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．；考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法． 11.【答案】 32 【考点】由三视图求面积、体积 【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=
×（1+2）×1=
， 棱柱的高为1， 故棱柱的体积V=
，故答案为：
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．；本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 12.【答案】 1；2 【考点】双曲线的标准方程 【解析】【解答】解：∵双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（
，0）， ∴
， 解得a=1，b=2． 故答案为：1，2． 【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（
，0），列出方程组，由此能出a，b．；本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用． 13.【答案】 1 【考点】正弦定理的应用 【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=
，a=
c， 由正弦定理可得：
，
=
，sinC=
，C=
，则B=
=
． 三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则
=1． 故答案为：1． 【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．；本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力． 14.【答案】 16 ；29 【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C， 如图，
则第一天售出但第二天未售出的商品有16种； ②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种， 当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种． 故答案为：①16；②29． 【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．；本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题． 三、解答题（共6小题，满分80分） 15.【答案】 （1）解：设{an}是公差为d的等差数列， {bn}是公比为q的等比数列， 由b2=3，b3=9，可得q= 𝑏3𝑏2 =3， bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1； 即有a1=b1=1，a14=b4=27， 则d= 𝑎14−𝑎113 =2， 则an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1 （2）解：cn=a