2017年高考文数真题试卷（北京卷）(学生版).docx

2017年高考文数真题试卷（北京卷） 一、选择题 1.已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2或x＞2}，则∁UA=（　　） A. （﹣2，2）       
B. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）       
C. [﹣2，2]       
D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 2.若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　） A. （﹣∞，1）                   B. （﹣∞，﹣1）                   C. （1，+∞）                   D. （﹣1，+∞） 3.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）
A. 2                                          
B. 32                                          
C. 53                                          
D. 85 4.若x，y满足 {𝑥≤3𝑥+𝑦≥2𝑦≤𝑥 ，则x+2y的最大值为（　　） A. 1                                           
B. 3                                           
C. 5                                           
D. 9 5.已知函数f（x）=3x﹣（ 13 ）x ， 则f（x）（　　） A. 是偶函数，且在R上是增函数                              
B. 是奇函数，且在R上是增函数C. 是偶函数，且在R上是减函数                              
D. 是奇函数，且在R上是减函数 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）
A. 60                                         B. 30                                         C. 20                                         D. 10 7.设 𝑚 ， 𝑛 为非零向量，则“存在负数λ，使得 𝑚 =λ 𝑛 ”是 𝑚 • 𝑛 ＜0”的（　　） A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件         C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件 8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361 ， 而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080 ， 则下列各数中与 𝑀𝑁 最接近的是（　　） （参考数据：lg3≈0.48） A. 1033                                    
B. 1053                                    
C. 1073                                    
D. 1093 二、填空题 9.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= 13 ，则sinβ=________． 10.若双曲线x2﹣ 𝑦2𝑚 =1的离心率为 3 ，则实数m=________． 11.已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是________． 12.已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则 𝐴𝑂 • 𝐴𝑃 的最大值为________． 13.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________． 14.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （i）男学生人数多于女学生人数； （ii）女学生人数多于教师人数； （iii）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________． ②该小组人数的最小值为________． 三、解答题 15.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5 ． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1 ． 16.已知函数f（x）= 3 cos（2x﹣ 𝜋3 ）﹣2sinxcosx．（13分） （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求证：当x∈[﹣ 𝜋4 ， 𝜋4 ]时，f（x）≥﹣ 12 ． 17.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； （Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 18.如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD； （2）求证：平面BDE⊥平面PAC； （3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积． 19.已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为 32 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5． 20.已知函数f（x）=excosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0， 𝜋2 ]上的最大值和最小值．  答案解析部分 一、选择题 1.【答案】 C 【考点】补集及其运算 【解析】【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），全集U=R， ∴∁UA=[﹣2，2]， 故选：C 【分析】根据已知中集合A和U，结合补集的定义，可得答案． 2.【答案】 B 【考点】虚数单位i及其性质，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限， ∴ {𝑎+1<01−𝑎>0 ，解得a＜﹣1． 则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 故选：B． 【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得 {𝑎+1<01−𝑎>0 ，解得a范围． 3.【答案】 C 【考点】循环结构，程序框图 【解析】【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2， 当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S= 32 ， 当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S= 53 ， 当k=3时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为： 53 ， 故选：C． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 4.【答案】 D 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划 【解析】【解答】解：x，y满足 {𝑥≤3𝑥+𝑦≥2𝑦≤𝑥 的可行域如图： 由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由 {𝑥=3𝑥=𝑦 ，可得A（3，3）， 目标函数的最大值为：3+2×3=9． 故选：D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可． 5.【答案】 B 【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，奇偶性与单调性的综合 【解析】【解答】解：显然函数的定义域为R, f（x）=3x﹣（ 13 ）x=3x﹣3﹣x ， ∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x）， 即函数f（x）为奇函数， 又由函数y=3x为增函数，y=（ 13 ）x为减函数， 故函数f（x）=3x﹣（ 13 ）x为增函数， 故选：B． 【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（ 13 ）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案． 6.【答案】 D 【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥， 该三棱锥的体积= 13×12×5×3×4 =10． 故选：D．
【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示． 7.【答案】 A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，向量数乘的运算及其几何意义，平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】【解答】解： 𝑚 ， 𝑛 为非零向量，存在负数λ，使得 𝑚 =λ 𝑛 ，则向量 𝑚 ， 𝑛 共线且方向相反，可得 𝑚 • 𝑛 ＜0． 反之不成立，非零向量 𝑚 ， 𝑛 的夹角为钝角，满足 𝑚 • 𝑛 ＜0，而 𝑚 =λ 𝑛 不成立． ∴ 𝑚 ， 𝑛 为非零向量，则“存在负数λ，使得 𝑚 =λ 𝑛 ”是 𝑚 • 𝑛 ＜0”的充分不必要条件． 故选：A． 【分析】 𝑚 ， 𝑛 为非零向量，存在负数λ，使得 𝑚 =λ 𝑛 ，则向量 𝑚 ， 𝑛 共线且方向相反，可得 𝑚 • 𝑛 ＜0．反之不成立，非零向量 𝑚 ， 𝑛 的夹角为钝角，满足 𝑚 • 𝑛 ＜0，而 𝑚 =λ 𝑛 不成立．即可判断出结论． 8.【答案】 D 【考点】指数式与对数式的互化 【解析】【解答】解：由题意：M≈3361 ， N≈1080 ， 根据对数性质有：3=10lg3≈100.48 ， ∴M≈3361≈（100.48）361≈10173 ， ∴ 𝑀𝑁 ≈ 101731080 =1093 ， 故本题选：D． 【分析】根据对数的性质：T= 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑇 ，可得：3=10lg3≈100.48 ， 代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果． 二、填空题 9.【答案】 13 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称， ∴α+β=π+2kπ，k∈Z， ∵sinα= 13 ， ∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα= 13 ． 故答案为： 13 ． 【分析】推导出α+β=π+2kπ，k∈Z，从而sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα，由此能求出结果． 10.【答案】 2 【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线x2﹣ 𝑦2𝑚 =1（m＞0）的离心率为 3 ， 可得： 1+𝑚1=3 ， 解得m=2． 故答案为：2． 【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可． 11.【答案】 [ 12 ，1] 【考点】二次函数的性质 【解析】【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]， 则令f（x）=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x= 12 ，开口向上， 所以函数的最小值为：f（ 12 ）= 14+14 = 12 ． 最大值为：f（1）=2﹣2+1=1． 则x2+y2的取值范围是：[ 12 ，1]． 故答案为：[ 12 ，1]． 【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可． 12.【答案】 6 【考点】平面向量数量积的运算，余弦函数的定义域和值域，任意角三角函数的定义 【解析】【解答】解：设P（cosα，sinα）. 𝐴𝑂 =（2，0）， 𝐴𝑃 =（cosα+2，sinα）． 则 𝐴𝑂 • 𝐴𝑃 =2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号． 故答案为：6． 【分析】设P（cosα，sinα）．可得 𝐴𝑂 =（2，0）， 𝐴𝑃 =（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出． 13.【答案】 ﹣1，﹣2，﹣3 【考点】命题的否定，命题的真假判断与应用 【解析】【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题， 则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题， 可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣3 【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一 14.【答案】 6 ；12 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人， 若教师人数为4， 则 {𝑥>𝑦𝑦>42×4>𝑥 ，即4＜y＜x＜8， 即x的最大值为7，y的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6． ②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z， 则 {𝑥>𝑦𝑦>𝑧2𝑧>𝑥 ，即z＜y＜x＜2z 即z最小为3才能满足条件， 此时x最小为5，y最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，12 【分析】①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则 {𝑥>𝑦𝑦>42×4>𝑥 ，进而可得答案； ②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则 {𝑥>𝑦𝑦>𝑧2𝑧>𝑥 ，进而可得答案； 三、解答题 15.【答案】 解：（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2， 所以{an}的通项公式：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9， 等比数列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）． ∴q2=3， {b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1． b1+b3+b5+…+b2n﹣1= 1(1−𝑞2𝑛)1−𝑞2 = 3𝑛−12 ． 【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合 【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{an}的通项公式； （Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即