2017年高考理数真题试卷（北京卷）(学生版).docx

2017年高考理数真题试卷（北京卷） 一、选择题.（每小题5分） 1.若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（　　） A. {x|﹣2＜x＜﹣1}                 
B. {x|﹣2＜x＜3}                 
C. {x|﹣1＜x＜1}                 
D. {x|1＜x＜3} 2.若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　） A. （﹣∞，1）                   B. （﹣∞，﹣1）                   C. （1，+∞）                   D. （﹣1，+∞） 3.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）
A. 2                                          
B. 32                                          
C. 53                                          
D. 85 4.若x，y满足 {𝑥≤3𝑥+𝑦≥2𝑦≤𝑥 ，则x+2y的最大值为（　　） A. 1                                           
B. 3                                           
C. 5                                           
D. 9 5.已知函数f（x）=3x﹣（ 13 ）x ， 则f（x）（　　） A. 是奇函数，且在R上是增函数                              
B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数                              
D. 是偶函数，且在R上是减函数 6.设 𝑚 ， 𝑛 为非零向量，则“存在负数λ，使得 𝑚 =λ 𝑛 ”是 𝑚 • 𝑛 ＜0”的（　　） A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件         C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件 7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（　　）
A. 3 2                                     
B. 2 3                                     
C. 2 2                                     
D. 2 8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361 ， 而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080 ， 则下列各数中与 𝑀𝑁 最接近的是（　　） （参考数据：lg3≈0.48） A. 1033                                    
B. 1053                                    
C. 1073                                    
D. 1093 二、填空题（每小题5分） 9.若双曲线x2﹣ 𝑦2𝑚 =1的离心率为 3 ，则实数m=________． 10.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则 𝑎2𝑏2 =________． 11.在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为________． 12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= 13 ，则cos（α﹣β）=________． 13.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________． 14.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3． ①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1 ， Q2 ， Q3中最大的是________． ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1 ， p2 ， p3中最大的是________．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.在△ABC中，∠A=60°，c= 37 a．（13分） （1）求sinC的值； （2）若a=7，求△ABC的面积． 16.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= 6 ，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 17.为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； （2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）； （3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论） 18.已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， 12 ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分） （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点． 19.已知函数f（x）=excosx﹣x．（13分） （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0， 𝜋2 ]上的最大值和最小值． 20.设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n=1，2，3，…），其中max{x1 ， x2 ， …，xs}表示x1 ， x2 ， …，xs这s个数中最大的数．（13分） （1）若an=n，bn=2n﹣1，求c1 ， c2 ， c3的值，并证明{cn}是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时， 𝑐𝑛𝑛 ＞M；或者存在正整数m，使得cm ， cm+1 ， cm+2 ， …是等差数列．  答案解析部分 一、选择题.（每小题5分） 1.【答案】 A 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}， ∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1} 故选：A 【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案． 2.【答案】 B 【考点】虚数单位i及其性质，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限， ∴ {𝑎+1<01−𝑎>0 ，解得a＜﹣1． 则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 故选：B． 【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得 {𝑎+1<01−𝑎>0 ，解得a范围． 3.【答案】 C 【考点】循环结构，程序框图 【解析】【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2， 当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S= 32 ， 当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S= 53 ， 当k=3时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为： 53 ， 故选：C． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 4.【答案】 D 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划 【解析】【解答】解：x，y满足 {𝑥≤3𝑥+𝑦≥2𝑦≤𝑥 的可行域如图： 由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由 {𝑥=3𝑥=𝑦 ，可得A（3，3）， 目标函数的最大值为：3+2×3=9． 故选：D．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可． 5.【答案】 A 【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，奇偶性与单调性的综合 【解析】【解答】解：显然，函数的定义域为全体实数， f（x）=3x﹣（ 13 ）x=3x﹣3﹣x ， ∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x）， 即函数f（x）为奇函数， 又由函数y=3x为增函数，y=（ 13 ）x为减函数， 故函数f（x）=3x﹣（ 13 ）x为增函数， 故选：A． 【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（ 13 ）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案． 6.【答案】 A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，向量数乘的运算及其几何意义，平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】【解答】解： 𝑚 ， 𝑛 为非零向量，存在负数λ，使得 𝑚 =λ 𝑛 ，则向量 𝑚 ， 𝑛 共线且方向相反，可得 𝑚 • 𝑛 ＜0． 反之不成立，非零向量 𝑚 ， 𝑛 的夹角为钝角，满足 𝑚 • 𝑛 ＜0，而 𝑚 =λ 𝑛 不成立． ∴ 𝑚 ， 𝑛 为非零向量，则“存在负数λ，使得 𝑚 =λ 𝑛 ”是 𝑚 • 𝑛 ＜0”的充分不必要条件． 故选：A． 【分析】 𝑚 ， 𝑛 为非零向量，存在负数λ，使得 𝑚 =λ 𝑛 ，则向量 𝑚 ， 𝑛 共线且方向相反，可得 𝑚 • 𝑛 ＜0．反之不成立，非零向量 𝑚 ， 𝑛 的夹角为钝角，满足 𝑚 • 𝑛 ＜0，而 𝑚 =λ 𝑛 不成立．即可判断出结论． 7.【答案】 B 【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图 【解析】【解答】解：由三视图可得直观图， 再四棱锥P﹣ABCD中， 最长的棱为PA， 即PA= 𝑃𝐵2+𝑃𝐶2 = 22+(22)2 =2 3 ， 故选：B．
【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可． 8.【答案】 D 【考点】指数式与对数式的互化 【解析】【解答】解：由题意：M≈3361 ， N≈1080 ， 根据对数性质有：3=10lg3≈100.48 ， ∴M≈3361≈（100.48）361≈10173 ， ∴ 𝑀𝑁 ≈ 101731080 =1093 ， 故本题选：D． 【分析】根据对数的性质：T= 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑇 ，可得：3=10lg3≈100.48 ， 代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果． 二、填空题（每小题5分） 9.【答案】 2 【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线x2﹣ 𝑦2𝑚 =1（m＞0）的离心率为 3 ， 可得： 1+𝑚1=3 ， 解得m=2． 故答案为：2． 【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可． 10.【答案】 1 【考点】等差数列与等比数列的综合 【解析】【解答】解：等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8， 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q． 可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2； 8=﹣q3 ， 解得q=﹣2，∴b2=2． 可得 𝑎2𝑏2 =1． 故答案为：1． 【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果． 11.【答案】 1 【考点】点与圆的位置关系，简单曲线的极坐标方程，点的极坐标和直角坐标的互化 【解析】【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0， 再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；
如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为： |AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1， 故答案为：1． 【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值． 12.【答案】 ﹣ 79 【考点】两角和与差的余弦公式，同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称， ∴sinα=sinβ= 13 ，cosα=﹣cosβ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1= 29 ﹣1=﹣ 79 方法二：∵sinα= 13 ， 当α在第一象限时，cosα= 223 ， ∵α，β角的终边关于y轴对称， ∴β在第二象限时，sinβ=sinα= 13 ，cosβ=﹣cosα=﹣ 223 ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ 223 × 223 + 13 × 13 =﹣ 79 ：∵sinα= 13 ， 当α在第二象限时，cosα=﹣ 223 ， ∵α，β角的终边关于y轴对称， ∴β在第一象限时，sinβ=sinα= 13 ，cosβ=﹣cosα= 223 ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ 223 × 223 + 13