平面镶嵌知识点聚焦.doc

平面镶嵌知识点聚焦 随着新课程改革的深入，中考试题也随着不断革新，在近年的中考试题中，出现了和平面镶嵌有关的问题，为了帮助大家学好平面镶嵌的问题，下面把平面镶嵌的知识要点进行简要归纳． 知识点1、镶嵌的认识 1.镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做多边形覆盖(或平面镶嵌). 2.实现镶嵌的条件:用多边形拼地板,即能拼成一个既不留下一丝空白,又不互相重叠的平面图形的条件是:围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于
. 平面密铺的含义:⑴平面图形的形状、大小完全相同;⑵拼接后彼此之间不留空隙，不能重叠;⑶若在每个拼接点处几个平面图形的内角和构成
,则这些平面图形就能密铺. 知识点2:实现平面镶嵌的常用方法 探究一:用一种正多边形镶嵌 设所用正多边形的边数为n,且在一个顶点处有k个正n边形. 根据上述限定条件有方程
整理,得kn-2k-2n=0,即
n,k皆为正整数, 当k=3时,
当k=4时,
当k=6时,
进而限用一种正n边形的镶嵌有三种情况: 正多边形的边数 一个顶点处正多边形的个数 3 6 4 4 6 3 探究二:用多种正多边形镶嵌 以正三角形和正四边形为例,设正三角形有x个,正四边形有y个, 根据限定条件有方程
整理,得2x+3y=12, 得整数解
即:用3个正三角形和2个正方形可以镶嵌. 类似可讨论出:用4个正三角形和1个正六边形可以镶嵌;用2个正三角形和2个正六边形可以镶嵌;用2个正五边形和1个正十边形可以镶嵌,等等. 探究三：任意多边形的平面镶嵌 取一些形状、大小相同的多边形也可以作平面镶嵌，此时要相等的边重合，且同一个顶点处的各个内角之和为3600。用任意多边形作平面镶嵌，符合条件的有任意三角形或任意四边形。 知识点例析 例1.如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n的值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 分析:平面镶嵌的必备条件:图形拼合后同一顶点的若干个角的和恰好等于 EMBED Equation.3 
,一个顶点周围两个正方形的角的和是 EMBED Equation.3 
,那么一个顶点周围的n个正三角形的角的和为 EMBED Equation.3 
,而正三角形的每个内角等于 EMBED Equation.3 
,所以需要3个正三角形即可，所以选A. 例2.在美丽的岳阳南湖广场中心地带整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面，在下面的地板砖：①正方形 ②正五边形 ③正六边形 ④正八边形中能够铺满地面的地板砖的种数有（ ） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 分析:本题卡考查正多边形镶嵌的条件.要达到平铺地面的目的,所选用的正多边形必须满足n×正多边形的内角= EMBED Equation.3 
(其中n为正整数).正方形内角 EMBED Equation.3 
, EMBED Equation.3 
,符合要求,所以正方形可选用.正六边形内角 EMBED Equation.3 
, EMBED Equation.3 
,符合要求,所以正六边形可选用.故选B. 例3.下列正多边形的组合中,能够铺满地面(即平面镶嵌)的是( ) A.正三角形和正四边形 B.正四边形和正五边形 C.正五边形和正六边形 D.正六边形和正八边形 分析:正三角形的内角度数为 EMBED Equation.3 
,正四边形的内角度数为 EMBED Equation.3 
,而 EMBED Equation.3 
,所以正三角形和正四边形能够铺满地面. 正四边形的内角度数为 EMBED Equation.3 
,正五边形的内角度数为 EMBED Equation.3 
,它们组合得不到 EMBED Equation.3 
,所以正四边形和正五边形不能够铺满地面. 正五边形的内角度数为 EMBED Equation.3 
,正六边形的内角度数为 EMBED Equation.3 
,它们组合得不到 EMBED Equation.3 
,所以正五边形和正六边形不能够铺满地面. 正轮流边形的内角度数为 EMBED Equation.3 
,正八边形的内角度数为 EMBED Equation.3 
,它们组合得不到 EMBED Equation.3 
,所以正六边形和正八边形不能够铺满地面.综上所述,应选A. 例4.小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下图中画出铺设示意图