复数 知识点与题型归纳 学案.doc

复数知识点与题型归纳 一、知识点 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模： 向量eq \o(OZ,\s\up7(―→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2). 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi
复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
平面向量eq \o(OZ,\s\up7(―→)). 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f((a＋bi((c－di(,(c＋di((c－di()＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 4.常用结论 1．(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i. 2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． 3．
，
，
，
. 二、巩固练习 题型一.复数的有关概念 1．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 2．已知i为虚数单位，若复数z＝eq \f(a,1－2i)＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝(　　) A．－5 B．－1 C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(5,3) 3．若(1－mi)(m＋i)＜0，其中i为虚数单位，则m的值为(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 4．若复数z＝eq \f(a,1＋i)＋1为纯虚数，则实数a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 5．已知复数𝑧=2𝑖1+𝑖（i虚数单位），则z⋅𝑧=（　　） A．2 B．2 C．1 D．12 6．若𝑎−𝑖𝑖=b+2i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b的值（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 7．若复数z满足eq \f(z,1－i)＝i，其中i为虚数单位，则共轭复数
＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 8．设复数z满足1+𝑧1−𝑧=i，则|z|＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．2 9．若复数z满足
，则下列说法正确的是（　　） A．z的虚部为i B．z为实数 C．|z|=2 D．z+𝑧=2i 10．若复数Z的实部为1，且|Z|＝2，则复数Z的虚部是（　　） A．−3 B．±3 C．±3i D．3i 11．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝ . 题型二.复数的几何意义 1．(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 2．设i是虚数单位，𝑧的复数z的共轭复数，z＝1+2i，则复数z+i•𝑧在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．设a∈R，若复数 EMBED Equation.KSEE3 
在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2 5．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是𝑂𝐴→，𝑂𝐵→，则复数z1·z2对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在复平面内，O是坐标原点，向量𝑂𝐴→对应的复数是﹣2+i，若点A关于实轴 的对称点为点B，则向量𝑂𝐵→对应的复数的模为　 　． 7．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则eq \f(z1,z2)＝(　　) A．1＋i B.eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i C．1＋eq \f(4,5)i D．1＋eq \f(4,3)i 8．已知i为虚数单位，且复数z满足𝑧−2𝑖=11−𝑖，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（　　） A．132 B．262 C．102 D．52 9.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若𝑂𝐶→＝λ𝑂𝐴→＋μ𝑂𝐵→ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是 ． 10.若复数z满足|z－i|≤eq \r(2)(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为 ． 题型三.复数的指数幂运算 1．若复数z=2𝑖1+𝑖7（i为虚数单位），则复数𝑧在复平面上对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知a为实数，若复数 EMBED Equation.KSEE3 
为纯虚数，则𝑎+𝑖20201+𝑖的值为（　　） A．1 B．0 C．1+i D．1﹣i 3．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 4．设i是虚数单位，则复数z＝（1+𝑖1−𝑖）2013＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 5．已知复数z＝﹣1+i，则𝑧+2𝑧2+𝑧=（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 6．若Z＝1+i，则 EMBED Equation.KSEE3 
＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．2 当z=−1−𝑖2时，z100+z50+1的值等于　 　． 8．已知复数z＝eq \f(i＋i2＋i3＋…＋i2 018,1＋i)，则复数z在复平面内对应点的坐标为 ． 题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题 1．若复数z满足3z+𝑧=−4+2i，则z＝（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（　　） A．25 B．5 C．5 D．2+i 3．设复数z满足 EMBED Equation.KSEE3 
， EMBED Equation.KSEE3 
， EMBED Equation.KSEE3 
，则 EMBED Equation.KSEE3 
＝　 　． 4．已知z∈C，且 EMBED Equation.KSEE3 
，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（　　） A．22−1 B．22+1 C．2 D．22 5．设复数z1，z2满足 EMBED Equation.KSEE3 
， EMBED Equation.KSEE3 
，则 EMBED Equation.KSEE3 
的最大值为（　　） A．3+23 B．210 C．3+10 D．6 已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是　 　． 三、答案与解析 题型一.复数的有关概念 1.【解答】：(1)由题意得z＝eq \f(2i,1＋i)＝eq \f(2i1－i,1＋i1－i)＝1＋i，故选D. 2.【解答】：z＝eq \f(a,1－2i)＋i＝eq \f(a1＋2i,1－2i1＋2i)＋i＝eq \f(a,5)＋eq \f(2a＋5,5)i， 因为复数z＝eq \f(a,1－2i)＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以－eq \f(a,5)＝eq \f(2a＋5,5)，解得a＝－eq \f(5,3).故选D. 3.【解答】：因为(1－mi)(m＋i)＝2m＋(1－m2)i＜0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m＜0，,1－m2＝0，))解得m＝－1，故选A. 4.【解答】：因为复数z＝eq \f(a,1＋i)＋1＝eq \f(a1－i,1＋i1－i)＋1＝eq \f(a＋2,2)－eq \f(a,2)i，因为z为纯虚数，所以 EMBED Equation.KSEE3 
， 所以a＝－2.故选A. 5.【解答】：由题意知|𝑧|=|2𝑖||1+𝑖|=|2|2=2，利用性质𝑧⋅𝑧=|𝑧|2，得z⋅𝑧=2，故选：B． 6.【解答】：因为𝑎−𝑖𝑖=−ai﹣1＝b+2i，其中a、b∈R，i是虚数单位，所以a＝﹣2，b＝﹣1，所以a+b＝﹣3． 故选：A． 7.【解答】：由题意，得z＝i(1－i)＝1＋i，所以eq \x\to(z)＝1－i，故选B. 8.【解答】：因为复数z满足1+𝑧1−𝑧=i，所以1+z＝i﹣zi，所以z（1+i）＝i﹣1，所以z=𝑖−1𝑖+1=i，所以|z|＝1，故选：A． 9.【解答】：因为z（1﹣i）＝2i，所以z=2𝑖1−𝑖=2𝑖(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=−2+2𝑖2=−1+i， 则|z|=2；由于z的虚部是1，则A，B错，z+𝑧=−2，则D错．故选：C． 10.【解答】：复数Z的实部为1，设Z＝1+bi．|Z|＝2，可得1+𝑏2=2，解得b=±3．复数Z的虚部是±3． 故选：B． 11.【解答】：由题意得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，即2(5－12i)－3p＋2pi＋q＝0， 即(10－3p＋q)＋(－24＋2p)i＝0，所以 EMBED Equation.KSEE3 
，所以p＝12，q＝26，所以p＋q＝38. 题型二.复数的几何意义 1.【解答】：设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P，则P(0,1)，且|z－i|表示复平面内点Z与点P之间的距离，所以点Z(x，y)到点P(0,1)的距离为定值1，所以Z的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，故选C. 2.【解答】：因为z＝1+2i，所以z+i•𝑧=1+2i+i（1﹣2i）＝1+2i+i+2＝3+3i． 所以复数z+i•𝑧在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限．故选：A． 3.【解答】：因为x，y是实数，所以(1－i)x＝x－xi＝1＋yi，所以 EMBED Equation.KSEE3 
，解得 EMBED Equation.KSEE3 
，所以x＋yi在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限．故选D. 4.【解答