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上传于：2024-07-19
2019年高考文数真题试卷（全国Ⅱ卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。（共12题；共60分）
1.已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=（ ）
A. （-1，+∞） B. （ -∞，2） C. （ -1，2） D. 𝜙
2.设z=i（2+i），则 𝑧 =（ ）
A. 1+2i B. -1+2i C. 1-2i D. -1-2i
3.已知向量𝑎→=（2，3），𝑏→=（3，2），则|𝑎→-𝑏→|=（ ）
A. 2 B. 2 C. 5 2 D. 50
4.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）
A. 23 B. 35 C. 25 D. 15
5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。
乙：丙的成绩比我和甲的都高。
丙：我的成绩比乙高。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙
6.设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= 𝑒𝑥 -1，则当x<0时，f（x）=（ ）
A. 𝑒−𝑥 -1 B. 𝑒−𝑥 +1 C. - 𝑒−𝑥 -1 D. - 𝑒−𝑥 +1
7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）
A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面
8.若 𝑥1=𝜋4 ， 𝑥2=3𝜋4 是函数f（x）= sinωx（ω>0） 两个相邻的极值点，则ω（ ）
A. 2 B. 32 C. 1 D. 12
9.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 𝑥23𝑝+𝑦2𝑝=1 的一个焦点，则p=（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
10.曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为 （ ）
A. x-y-π-1=0 B. 2x-y-2π-1=0 C. 2x+y-2π+1=0 D. x+y-π+1=0
11.已知α∈(0, 𝜋2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）
A. 15 B. 55 C. 33 D. 255
12.设F为双曲线C： 𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0) 的右焦点， 𝑂 为坐标原点，以 𝑂𝐹 为直径的圆与圆 𝑥2+𝑦2=𝑎2 交于P，Q两点.若 |𝑃𝑄|=|𝑂𝐹| ，则C的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共20分）
13.若变量x，y满足约束条件 {2𝑥+3𝑦−6≥0𝑥+𝑦−3≤0𝑦−2≤0 ，则，z=3x-y的最大值是________。
14.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.
15.△ABC的内角 𝐴 ， 𝐵 ， 𝐶 的对边分别为 𝑎 ， 𝑏 ， 𝑐 ，知 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵=0 ，则 𝐵 =________
16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）
17.如图，长方体 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 的底面 𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形，点 𝐸 在棱 𝐴𝐴1 上， 𝐵𝐸⊥𝐸𝐶1 。
（1）证明： 𝐵𝐸⊥平面𝐸𝐵1𝐶1 ；
（2）若 𝐴𝐸=𝐴1𝐸 ， 𝐴𝐵=3 ，求四棱锥 𝐸−𝐵𝐵1𝐶1𝐶 的体积。
18.已知 {𝑎𝑛} 是各项均为正数的等比数列， 𝑎1=2 ， 𝑎3=2𝑎2+16 。
（1）求 {𝑎𝑛} 的通项公式；
（2）设 𝑏𝑛=𝑙𝑜𝑔2𝑎𝑛 ，求数列{ 𝑏𝑛 }的前n项和。
19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表。
y的分组
[-0.20，0)
[0，0.20)
[0.20，0.40)
[0.40，0.60)
[0.60，0.80)
企业数
2
24
53
14
7
附： 74≈8.602
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
20.已知 𝐹1,𝐹2 是椭圆C： 𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1 (𝑎>𝑏>0) 的两个焦点， 𝑃 为 𝐶 上的点， 𝑂 为坐标原点。
（1）若 △𝑃𝑂𝐹2 为等边三角形，求 𝐶 的离心率；
（2）如果存在点P，使得 𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2 ，且 △𝐹1𝑃𝐹2 的面积等于16，求 𝑏 的值和a的取值范围。
21.已知函数 𝑓(𝑥)=(𝑥−1)𝑙𝑛𝑥−𝑥−1 ，证明：
（1）𝑓(𝑥) 存在唯一的极值点；
（2）𝑓(𝑥)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
四、选考题 ：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。（共2题；共20分）
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点 𝑀(𝜌0,𝜃0)(𝜌0>0) 在曲线 𝐶:𝜌=4𝑠𝑖𝑛𝜃 上，直线l过点 𝐴(4,0) 且与 𝑂𝑀 垂直，垂足为P.
（1）当 𝜃0=𝜋3 时，求 𝜌0 及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23.[选修4-5：不等式选讲]已知 𝑓(𝑥)=|𝑥−𝑎|𝑥+|𝑥−2|(𝑥−𝑎).
（1）当 𝑎=1 时，求不等式 𝑓(𝑥)<0 的解集；
（2）若 𝑥∈(−∞,1） 时， 𝑓(𝑥)<0 ，求 𝑎 的取值范围.
答案解析部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.【答案】 C
【考点】交集及其运算
【解析】【解答】解; AB={x|−1<𝑥<2} ,
故答案为：C
【分析】由集合交集的定义结合不等式的知识即可得出结果。
2.【答案】 D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】首先求出 Z=i(2+i)=−1+2i, 则 −Z=−1−2i ，
故答案为：D
【分析】根据题意整理原式，再结合共轭复数的定义求出即可。
3.【答案】 A
【考点】向量的模
【解析】【解答】∵ 𝑎→ - 𝑏→ =(-1,1), ∴ |𝑎→−𝑏→|=(−1)2+12=2 ,
故答案为：A
【分析】首先求出两个向量之差的坐标，进而可求出 𝑎→ - 𝑏→ 的模的大小即可。
4.【答案】 B
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】每次取出兔子的事件之间相互独立，则根据伯努利概率公式 P32=C32(35)2(25)=35 ，
故答案为：B
【分析】每次事件之间相互独立满足伯努利概率公式代入数值求出结果即可。
5.【答案】 A
【考点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解:由题意，可把三人的预测简写如下: 甲：甲>乙. 乙：丙>乙且丙>甲. 丙；丙>乙. ∵只有一个人预测正确, ∴分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确. 如果乙预测正确,则丙预测正确，不符合题意。 如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确， 则有丙>乙，乙>甲, ∵乙预测不正确,而丙>乙正确, ∴只有丙>甲不正确， ∵甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾.不符合题意. .只有甲预测正确,乙、丙预测不正确, 甲>乙，乙>丙. 故答案为：A
【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确 ,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有-种情况就是甲预测正确乙、丙错误,从而得出结果.
6.【答案】 D
【考点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由奇函数的定义f(-x)=-f(x),当x<0时，-x>0,即可得出f(-x)= e−x−1 =-f(x), ∴f(x)=- e−x+1 ，
故答案为：D
【分析】利用奇函数的定义整理化简即可得出结论。
7.【答案】 B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A选项中α面内的无数条直线不一定是两条相交直线C选项中平行于同一条直线的两个平面也可以相交D选项垂直于同一个平面的两个平面也可以相交。
故答案为：B
【分析】利用两个平面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面则两个平面平行，逐一判断选项即可得出正确答案。
8.【答案】 A
【考点】三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】∵x1= 𝜋4 ，x2= 3𝜋4 ，是函数f(x)= sin𝜔𝑥 ( 𝜔 >0)两个相邻的极值点，∴函数的半个周期为 T2=3𝜋4−π4=π2 , ∴ T=π=2πω,ω=2 .
故答案为：A