小学数学奥林匹克竞赛裂项法(二)(含答案)-

裂项法（二） 前一节我们已经讲过，利用等式
，采用“裂项法”能很快求出
这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：
，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。 【典型例题】 例1.
分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。 下面我们用
，现在给
、
一些具体的值，看看有什么结果。 当
时，有
当
时，有
当
时，有
…… 当
时，有
当
时，有
上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如
，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。 因为
，……，
，
所以

例2.
因为
所以
同样可得

一般地，因为


这里 EMBED Equation.2 
是任意一个自然数。 利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。  EMBED Equation.2 
  EMBED Equation.2 
 例3. 计算： EMBED Equation.2 
 分析与解：  EMBED Equation.2 
 而 EMBED Equation.2 
 即 EMBED Equation.2 
 连续使用上面两个等式，便可求出结果来。  EMBED Equation.2 
  EMBED Equation.2