数学专业论文 数学选择题的解题技巧.doc

目录摘要第零章前言一选择题的历史二选择题的类型三选择题的特点四解题策略五解题方法第一章直接求解法一综述二典型例题第二章筛选法一综述二典型例题第三章特例法一综述二典型例题第四章代入法一综述第五章数形结合法一综述二典型例题第六章估算法一综述二典型例题第七章分析法一综述二典型例题第八章小结后记摘要在我长期带家教以及去年去文汇中学实习期间与很多的学生接触过以后我发现很多学生的数学功底很好但是就是在考试的时候拿不到高分归根结底是没有掌握方法就拿最简单的选择题来讲很多人在这儿失分特别严重数学选择题是数学考试中常出现的题目类型它具有较强的综合性和选择性有利于考察学生的思维能力很多人只注重于套就是利用熟悉的题型想直接得出答案这只是满足于把答案选出来而数学只有对方法融会贯通以后才能提出新解法巧解法为了帮助学生掌握解题的金钥匙掌握解题的方法本文浅陋介绍数学考试中选择题常用基本解题方法代入法筛选法排除法简化法作记号法猜测法直接求解法取特殊值法数形结合法递推归纳法在每章的内容中先是对题型进行综合性的叙述再以两种典例的形式出现希望能在以后的教学或学习活动中做一个参考关键词解题技巧选择题特殊值法代入法第零章前言数学作为一门自然科学高考中对基础知识的考察历来千变万化尤其是在选择题中选择题作为高考数学三大基本题型之一占有很大的比例又处在试卷的开始位置因此选择题解决的快慢及正答率的高低对整场考试起着举足轻重的地位本篇论文通过列举多个典型的例子来说明了解决选择题的多种常用方法一选择题的历史年率先在堪萨斯州立大学使用选择题的形式最初目的之一是测试第一次世界大战时期应征新兵的能力这是选择题第一次作为考察学生能力的参考手段出现世纪五十年代左右的时候选择题被列为常规考试项目中二选择题的类型从题目的性质来分选择题可分为三种类型定量型要求从题目的条件出发通过相应的数学公式定理法则等来确定某些数学元素的数量的关系此类题目偏重于计算和验证定性型要求从题目的条件出发通过相应的数学定义定理某些性质或关系来判定某些数学元素是否具有某种性质或关系此种题目往往偏重于概念辨析推理论证与空间想象混合型定量与定型两个方面都有要求此类题目往往用到多方面的数学知识三选择题的特点概念性强数学中的每个术语符号乃至习惯用语往往都有明确具体的含义这个特点反映到选择题中表现出来的就是试题的概念性强试题的陈述和信息的传递都是以数学的学科规定与习惯为依据决不标新立异量化突出数量关系的研究是数学的一个重要的组成部分也是数学考试中一项主要的内容在数学选择题中定量型的试题所占的比重很大而且许多从形式上看为计算定量型选择题其实不是简单或机械的计算问题其中往往蕴含了对概念原理性质和法则的考查把这种考查与定量计算紧密地结合在一起形成了量化突出的试题特点充满思辨性这个特点源于数学的高度抽象性系统性和逻辑性作为数学选择题只凭简单计算或直观感知便能正确作答的试题不多几乎可以说并不存在绝大多数的选择题为了正确作答或多或少总是要求考生具备一定的观察分析和逻辑推断能力思辨性的要求充满题目的字里行间形数兼备数学的研究对象不仅是数还有图形而且对数和图形的讨论与研究不是孤立开来分割进行而是有分有合将它们辩证统一起来因此在数学选择题中便反映出形数兼备这一特点其表现是几何选择题中常常隐藏着代数问题而代数选择题中往往又寓有几何图形的问题因此数形结合与形数分离的解题方法是高考数学选择题的一种重要且有效的思想方法与解题方法解法多样化以其他学科比较一题多解的现象在数学中表现突出尤其是数学选择题由于它有备选项给试题的解答提供了丰富的有用信息有相当大的提示性为解题活动展现了广阔的天地大大地增加了解答的途径和方法常常潜藏着极其巧妙的解法有利于对考生思维深度的考查四解题策略注意审题知己知彼方能百战百胜把题目多读几遍弄清题目求什么已知什么求与知之间有什么关系然后确定题目类型确定解题方法比如函数题目一般用数形结合法将坐标图画出来然后进行解题答题顺序不一定按题号进行可先从自己熟悉的题目答起从有把握的题目入手使自己尽快进入到解题状态产生解题的激情和欲望再解答陌生或不太熟悉的题目若有时间再去拼那些把握不大或无从下手的题数学选择题大约有的题目都是直接法要注意对符号概念公式定理及性质等的理解和使用例如函数的性质数列的性质就是常见题目挖掘隐含条件注意易错易混点例如集合中的空集函数的定义域应用性问题的限制条件等方法多样不择手段考试时候不要拘泥于题目本身要看透题目考察你的实质然后对症下方法方能事半功倍控制时间一般不要超过分钟最好是分钟左右完成选择题争取又快又准为后面的解答题留下充裕的时间防止超时失分五解题方法选择题的解法有很多种所以仅仅有思路还是不够的解题思路在某种程度上来说属于理论上的定性要解具体的题目还得有科学合理简便的方法解题时应该不择手段地以达目的切忌小题大做而潜在失分应尽量减少低级失误看错算错写错抄错用错想错解答选择题要会算要会少算也要会不算有关选择题的解法的研究可谓是仁者见仁智者见智其中不乏真知灼见下面选择部分实用性较强的方法以供参考第一章直接求解法一综述什么是直接法直接法是数学选择题中最常用的方法直接从题设条件出发运用有关的概念性质公理定理公式法则等知识选用恰当的解题方法经过推理及合理简捷的运算得出结论再对照各个选项作出判断从中选出正确答案的方法叫直接法直接法的作用直接法虽然和解答题的基本思路和方法一致但由于选择题不要求书写解题过程所以在求解过程中在保证严谨准确的前提下适当加大跨度简缩步骤简化计算就是用直接法解选择题的要诀同时所用的解题方法是否简捷又会对解题能否做到准确迅速产生重要影响所以解题时一定要深入分析争取找到较简便的解法直接法是解答数学选择题使用最多的方法而提高用直接法解题能力的根本途径是熟练掌握三基和提高数学基本能力直接法适用的题型所有题型二典型例题例有三个命题垂直于同一个平面的两条直线平行过平面的一条斜线有且仅有一个平面与垂直异面直线不垂直那么过的任一个平面与都不垂直其中正确命题的个数为解析利用立几中有关垂直的判定与性质定理直接对上述三个命题作出判断得都是正确的故选例已知是椭圆的两焦点经点的的直线交椭圆于点若则等于解析由椭圆的定义可得两式相加后将代入得故选例年全国卷设为抛物线的焦点为该抛物线上三点若则等于解析焦点设则由得即而可转化为三点到准线的距离即故选例年重庆卷已知定义域为的函数在区间上为减函数且函数为偶函数则解析为偶函数图像关于轴对称而的图像是由向左平移个单位所得所以的图像关于对称因为在区间上为减函数所以故选第二章筛选法一综述什么是筛选法筛选法又称排除法指的是从题设出发通过推理或运算利用四选一的指令和各选项提供的信息逐步排除错误选项从而得出正确判断的方法筛选法的作用当题目题设条件未知量较多或关系较复杂不易从正面突破但根据一些性质易从反面判断某些答案是错误的时候可用筛选法排除不正确的选项得到正确答案筛选法思路是否定三个结论有些问题在仔细审视之后凭直觉可迅速作出筛选筛选法适用的题目筛选法适用于不易直接求解或定性型的选择题二典型例题例若为三角形中的最小内角则函数的值域是解析因为三角形中的最小内角故由此可得排除故选例原市话资费为每分钟元现调整为前分钟资费为元超过分钟的每分钟按元计算与调整前相比一次通话提价的百分率不会提高会高于但不会高于不会低于高于但低于解析取排除取排除故选例年全国高考题四面体的顶点和各棱中点共有个点在其中取部共面的点则不同的取法共有种种种种解析从个点中任取点有种取法再排除掉共面的取法共面的四点在四面体的某一个面内有种取法个面共有种每条棱上的三个点与其对棱的中点四点共面有种个中点构成个平行四边形故不共面的取法共有种故选例年全国高考题以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有种种种种解析正方体个顶点从中选取个点共有种不同取法减去不能构成四面体的六个表面和六个对角面的四个顶点即个故选第三章特例法一综述什么叫特例法选取满足题设条件的特殊值或特殊点特殊图形特殊位置关系特殊集合等对各个选项进行检验得出正确判断的方法叫特例法也即通过对特殊情况的研究判断一般规律的方法特例法的作用它往往是准确迅速解答选择题的行之有效的方法特例法常与筛选法联合使用当取一个特殊值所排除的选项少于个时可再取另外的特殊值继续筛选特例法适用的题目有些选择题涉及的数学问题具有一般性而提供的选择支往往互相矛盾即任意两个选择支不能同时成立这类选择题要严格推证比较困难此时不妨从一般性问题退到特殊性问题上来通过取适合条件的特殊值特殊图形特殊位置等进行分析往往能简缩思维过程降低难度而迅速得解二典型例题特殊值例一个等差数列的前项和为前项和为则它的前项和为解析结论中不含故本题结论的正确性与取值无关可对取特殊值如此时所以前项和为故选特殊函数例如果奇函数是上是增函数且最小值为那么在区间上是增函数且最小值为减函数且最小值是增函数且最大值为减函数且最大值是解析构造特殊函数虽然满足题设条件并易知在区间上是增函数且最大值为故选例定义在上的奇函数为减函数设给出下列不等式其中正确的不等式序号是解析取逐项检查可知正确故选特殊数列例已知等差数列满足则有解析取满足题意的特殊数列则故选特殊位置例过的焦点作直线交抛物线与两点若与的长分别是则解析考虑特殊位置时所以故选例向高为的水瓶中注水注满为止如果注水量与水深的函数关系的图象如右图所示那么水瓶的形状是解析取由图象可知此时注水量大于容器容积的故选特殊点例设函数则其反函数的图像是解析由函数可令得令得则特殊点及都应在反函数的图像上观察得又因反函数的定义域为故选特殊方程例设圆锥曲线的两个焦点分别是若曲线上存在点满足则离心率等于解析本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式故可用特殊方程来考察取双曲线方程为易得离心率故选特殊模型例如果实数满足等式那么的最大值是解析题中可写成联想数学模型过两点的直线的斜率公式可将问题看成圆上的点与坐标原点连线的斜率的最大值即得第四章代入法一综述什么是代入法代入法又称验证法是将各个选项所提供的答案根据题意确定一个顺序后逐一代入题设中检验从而得出正确判断的方法叫代入法代入法的作用将题目所提供的各选择支或特值逐一代入题干中进行验证从而确定正确的答案有时可通过初步分析判断某个或某几个选项正确的可能性较大再代入检验可节省时间代入法使用我的题型代入法常适用于选项中得数较少或题设复杂而结论简单的选择题如方程的解不等式的解集还有字母系数的取值范等二典型例题例计算机常用的十六进制是逢进的计数制采用数字和字母共个计数符号这些符号与十进制的数的对应关系如下表十六进制十进制例如用十六进制表示则解析根据十进制的算法我们可得的十进制结果为把四个选项全部化为十进制的形式然后逐一代入其中可得答案选例图象经过原点的一个函数是一解析根据题设条件把原点坐标逐一代入到四个选择支的函数关系式中验证可知本题正确答案是例年全国理设集合则解析本题适合代入验证由于两个集合相等根据集合元素的互异性确定的值其中然后即得答案例设是定义在正整数集上的函数且满足当成立时总可推出成立那么下列命题总成立的是若成立则当时均有成立若成立则当时均有成立若成立则当时均有成立若成立则当时均有成立解析由题目信息当成立时总可推出成立将答案逐个代入验证即得答案比如当时仅能推出时有成立第五章数形结合法一综述什么是数形结合法将所研究的问题利用函数的图象或方程的图形或其它有关图形以形示数转化为直观的几何图形问题借助图形作出正确判断的方法叫图形法它是形数结合思想的体现数形结合法的作用对于一些具有几何背景的数学问题如能构造出与之相应的图形进行分析往往能在数形结合以形助数中获得形象直观的解法数形结合法适用的题型数形结合法适用于那些较为抽象的题目如函数集合向量平面几何以及立体几何等二典型例题例年全国高考卷函数是单调函数的充要条件是解析本小题考察二次函数函数单调性及充要条件的基础知识函数的图像的对称轴方程是由函数特性即知抛物线开向上对称轴右侧为单调增函数故是单调函数的充要条件是例若钝角三角形的三内角的度数成等差数列且最大边长与最小边长之比值为则的取值范围是解析数形结合因为钝角三角形三内角的度数成等差数列所以其中一个角为如图当三角形为直角三角形时所以当三角形为钝角三角形时有选例如果两点和在反比例函数的图象上那么解析如图画出的图像因为的横坐标都大于所以它们都在第一象限的分支上而其上的点的坐标特点是纵坐标随着横坐标的增大而减小所以图像在第一象限所以纵坐标的值都大于所以选第六章估算法一综述什么是估算法有些问题不易有时也没有必要进行精确的运算和判断则可以进行粗略估算估算法的作用估算是一种数学意识它以正确的算理为基础通过合理的观察比较猜想推理或验证从而作出正确的选择估算法适用的题型有些以计算题的面目出现且有较复杂的计算运算量较大时通常无须精确求出结果只求出答案的近似值或大致范围的题目二典型例题例如图多面体中已知平面是边长为的正方形与平面的距离为则该多面体的体积为解析本题计算方法很多但利用估值法更简单连结由于与面的距离为所以四棱椎的高为而故很明显故选例用这五个数字组成没有重复数字的三位数其中偶数有解析本题直接作答也不难但也可以用估值法求解由于中有两个偶数三个奇数所以从中组成的三位数中偶数一定比奇数少既偶数必少于故选例年四川卷用数字可以组成没有重复数字并且比大的五位偶数共有个个个个解析组成没有重复数字的五位偶数共有个其中大于的五位偶数的个数肯定小于个故排除在个偶数中显然大于的五位偶数比小于的五位偶数要多也就是说这两种偶数不可能一样多因而也应排除故选例在科学与艺术知识竞赛的预选赛中共有道题对于每一道题答对得分答错或不答扣分总得分不少于分者通过预选赛二中名学生通过了预选赛他们分别可能答对了或道题或道题或道题或道题解析假设答对了题则得分为不足分再进行调整假设答对了题则得分为不足分再进行调整假设答对了题得分为符合题意所以他们可能答对的题数为或道题故选第七章分析法一综述什么是分析法分析法又分为特征分析法和逻辑分析法特征分析法根据题目所提供的信息如数值特征结构特征位置特征等进行快速推理迅速作出判断的方法称为特征分析法逻辑分析法通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析达到否定谬误支选出正确支的方法称为逻辑分析法分析法的作用二典型例题特征分析法例如图小圆圈表示网络的结点结点之间的连线表示它们有网线相联连线标的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点向结点传送信息信息可以分开沿不同的路线同时传送则单位时间内传递的最大信息量为解析题设中数字所标最大通信量是限制条件每一支要以最小值来计算否则无法同时传送则总数为故选例设球的半径为是球面上北纬圈上的两点这两点在纬度圈上的劣弧的长是则这两点的球面距离是解析因纬线弧长球面距离直线距离排除故选逻辑分析法例设四点坐标依次是则四边形是正方形矩形菱形平行四边形解析若真则也真若真则也真若真则也真故皆假故选例设是满足的实数那么解析是一对矛盾命题故必有一真从而排除错误支又由可令代入知为真故选例的三边满足等式则此三角形必是以为斜边的直角三角形以为斜边的直角三角形等边三角形其它三角形解析在题设条件中的等式是关于与的对称式因此选项在为等价命题都被淘汰若选项正确则有即从而被淘汰故选第八章小结选择题是数学三大基本题型之一一组数学选择题只要备题充分的扬长避短运用好群体效应就能在较大的知识范围内实现对基础知识基本技能和基本的数学思想方法的全面考察能比较确切地测试考生对概念原理性质法则定理和公式的理解和掌握程度还能在一定程度上有效考察逻辑思维能力运算能力空间想象能力以及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力可见选择题的成功率对于全卷的成功来说多重要选择题解法多种多样但直接法仍为主要方法在实际解题时常常需要具体问题具体分析灵活地综合使用多种方法才能达到准确迅速求解的目的要做到这一点还必须在熟练掌握三基的基础上加强解题训练在解题实践中不断体验和总结经验逐步提高解题能力要利用最优化思想处理选择题如果对每一道选择题都能采用简捷的方法来解则可以节省很可观的时间用于后面解答题的求解所以要对选择题的解法不断进行总结努力掌握灵多样的解法提高解题能力这样才能在高考中取得好成绩后记年月我开始了我的毕业论文工作时至今日论文基本完成从最初的茫然到慢慢的进入状态再到对思路逐渐的清晰整个写作过程难以用语言来表达历经了几个月的奋战紧张而又充实的毕业设计终于落下了帷幕回想这段日子的经历和感受我感慨万千在这次毕业设计的过程中我拥有了无数难忘的回忆和收获月初在与导师的交流讨论中我的题目定了下来是数学选择题的解题技巧当选题报告开题报告定下来的时候我当时便立刻着手资料的收集工作中当时面对浩瀚的书海真是有些茫然不知如何下手我将这一困难告诉了导师在导师细心的指导下终于使我对自己现在的工作方向和方法有了掌握在搜集资料的过程中我认真准备了一个笔记本我在学校图书馆收集资料还在网上查找各类相关资料将这些宝贵的资料全部记在笔记本上尽量使我的资料完整精确数量多这有利于论文的撰写然后我将收集到的资料仔细整理分类及时拿给导师进行沟通月初资料已经查找完毕了我开始着手论文的写作在写作过程中遇到困难我就及时和导师联系并和同学互相交流请教专业课老师在大家的帮助下困难一个一个被解决掉论文也慢慢成型月底论文的文字叙述已经完成月开始进行相关图形的绘制工作和文章的扩充修改工作在格式排版的初期由于没有设计经验觉得无从下手面对大量的文章内容却不知道应该选哪个经过导师的指导我的设计渐渐有了头绪通过查阅资料逐渐确立案例方向以至最终敲定了应用案例当我终于完成了所有打字绘图排版校对的任务后整个人都很累但同时看着电脑荧屏上的毕业设计稿件我的心里是甜的我觉得这一切都值了这次毕业论文的制作过程是我的一次再学习再提高的过程在论文中我充分地运用了大学期间所学到的知识我不会忘记这难忘的几个月的时间毕业论文的制作给了我难忘的回忆在我徜徉书海查找资料的日子里面对无数书本的罗列最难忘的是每次找到资料时的激动和兴奋亲手设计例题的时间里记忆最深的是每一步小小思路实现时那幸福的心情为了论文我曾经赶稿到深夜但看着亲手打出的一字一句心里满满的只有喜悦而毫无疲惫这段旅程看似荆棘密布实则蕴藏着无尽的宝藏我从资料的收集中掌握了很多以前并不知道或者并不能清晰描述的知识理论对当今定积分的应用范围发展现状以及发展方向有了一个系统的较为明确的了解这不仅仅是知识理念的扩充更重要的是资料收集能力的提升我相信这对我将来的工作会有很大的帮助脚踏实地认真严谨实事求是的学习态度不怕困难坚持不懈吃苦耐劳的精神是我在这次论文撰写过程中的最大收益我想这是一次意志的磨练是对我实际能力的一次提升也会对我未来的学习和工作打下一个坚实的地基在此要感谢我的导师和专业老师是你们的悉心指导和关怀使我能顺利地完成毕业论文在我的学业和论文的研究工作中无不倾注着老师们辛勤的汗水和心血老师的严谨治学态度渊博的知识无私的奉献精神使我深受启迪从尊敬的导师身上我不仅学到了扎实宽广的专业知识也学到了做人的道理在此我要向我的导师致以最衷心的感谢和深深的敬意致谢在论文完成之际我要特别感谢我的指导老师孙业国老师的热情关怀和悉心指导在我撰写论文的过程中老师倾注了大量的心血和汗水无论是在论文的选题构思和资料的收集方面还是在论文的研究方法及成文定稿方面我都得到了老师细心细致的教诲和无私的帮助在此我要表示我真诚的感谢和深深的谢意