浅析行列式的计算技巧 数学与应用数学毕业论文.doc

本科学年论文(设计) 题目： 浅析行列式的计算技巧 学 院 统计与数理学院 专 业 数学与应用数学 班 级 学 号 姓 名 指导教师 山东财政学院教务处制 二Ｏ一Ｏ年六月         摘要：本文通过引用例题来对一些特殊行列式的求解技巧进行归纳分析，主要演示了化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，辅助行列式法，拉普拉斯定理的应用，范德蒙得行列式的应用以及方阵特征值和行列式的关系的应用等方法。 引言：在平常的学习及其考试中经常能遇见有关特殊行列式计算的题目，如果不能掌握正确的方法和思维方式，此类型的题将会是考生的一个障碍，本人希望通过对若干经典考题的解析，使得学生对行列式求解类型的题目有章可循。 下面是对一些特殊行列式求解技巧的浅析，前两种方法是相对基本的方法，应用的范围较广，后面几种方法针对性较强，要对行列式的特征进行准确的判断。 方法一　　化三角形法 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 例题：计算下列行列式的值：
[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。 解：
[问题推广] 例1中，显然是1,2，…，n-1,n这n个数在循环，那么如果是a0,a1,…,an-2,an-1这n个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”。[2] 从而推广到一般，求下列行列式：
解：令
首先注意，若u为n次单位根（即un=1），则有：

 EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
为范德蒙行列式  EMBED Equation.DSMT4 
 又例1中，循环的方向与该推广在方向上相反 所以例1与  EMBED Equation.DSMT4 
 相对应  EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
 方法二　降阶法 设 EMBED Equation.DSMT4 
为 EMBED Equation.DSMT4 
阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有  EMBED Equation.DSMT4 
 或　 EMBED Equation.DSMT4 
 其中 EMBED Equation.DSMT4 
为 EMBED Equation.DSMT4 
中的元素 EMBED Equation.DSMT4 
的代数余子式 按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。 例题：计算20阶行列式  EMBED Equation.DSMT4 
 [分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。 　　注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算： 解：  EMBED Equation.DSMT4 
 以上就是计算行列式最基本的两种方法，接下来介绍的一些方法，不管是哪种，都要与行列式的性质和基本方法结合起来。 下面是一常用的方法： 方法三 递推法 应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。 需要注意的是，用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。 例题：  EMBED Equation.DSMT4 
  EMBED Equation.DSMT4 
 （虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。） ［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。 证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：  EMBED Equation.DSMT4 
 这是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：  EMBED Equation.DSMT4 
 或　 EMBED Equation.DSMT4 
 现可反复用低阶代替高阶，有：  EMBED Equation.DSMT4 
 同样有：  EMBED Equation.DSMT4 
 因此当 EMBED Equation.DSMT4 
时 由（1）（2）式可解得： EMBED Equation.DSMT4 
 证毕。 方法四 数学归纳法 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了） 例题：.证明：  EMBED Equation.DSMT4 
 证：当 EMBED Equation.DSMT4 
时，有：  EMBED Equation.DSMT4 
 结论显然成立。 现假定结论对小于等于 EMBED Equation.DSMT4 
时成立。 即有：  EMBED Equation.DSMT4 
 将 EMBED Equation.DSMT4 
按第1列展开，得：  EMBED Equation.DSMT4 
 故当对 EMBED Equation.DSMT4 
时，等式也成立。 得证。 方法五.辅助行列式法 辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同。 解题程序： 1）在行列式D的各元素中加上一个相同的元素x，使新行列式 EMBED Equation.DSMT4 
除主对角线外，其余元素均为0； 2）计算 EMBED Equation.DSMT4 
的主对角线各元素的代数余子式 EMBED Equation.DSMT4 
; 3) EMBED Equation.DSMT4 
 例题：.求下列n阶行列式的值。  EMBED Equation.DSMT4 
 解：在 EMBED Equation.DSMT4 
的各元素上加上 EMBED Equation.DSMT4 
后，则有：  EMBED Equation.DSMT4 
 又 EMBED Equatio