数学与应用数学毕业论文：全概率公式的推广及应用.doc

哈 尔 滨 师 范 大 学 学士学位论文开题报告 论文题目 全概率公式的推广及应用 学生姓名 指导教师 年 级 2008级 专 业 数学与应用数学 2011年 12 月 说 明 本表需在指导教师和有关领导审查批准的情况下，要求学生认真填写。 说明课题的来源（自拟题目或指导教师承担的科研任务）、课题研究的目的和意义、课题在国内外研究现状和发展趋势。 若课题因故变动时，应向指导教师提出申请，提交题目变动论证报告。 课题来源： 由系论文指导文员会提供 课题研究的目的和意义： 目的：研究概率的目的是帮助人们更加了解概率的内容，了解概率在生活中的应用。用概率去估算问题的可能性，从而减少失败。为人们提供了方便。 意义：全概率公式是概率论中很重要的公式，在概率论的计算中起着很重要的作用．对全概率公式进行仔细地分析，用例子说明了它的用法及它所适用的概型；为了解决实际问题的需要。我们将全概率公式进行了推广，用例子说明了推广的全概率公式在实际应用中所适用的概型比全概率公式的更广． 国内外同类课题研究现状及发展趋势： 研究现状：概率论广泛的应用与生活中，例如正概率安全分析已经广泛的应用于核电中，它对核电厂的设计，运行的作用日益受到重视，然而PSA在研究堆中德应用却不像在核电厂中应用的那样广泛，世界各国对其要求也不同。调研了国内外PSA在研究堆中的应用情况，分析的应用的目标、范围和依据。PSA在研究堆中的应用常根据实际需要来决定分析的。 发展趋势：概率在生活中应用广泛，涉及到生活中的各个领域，预测地震，人们购买彩票。对于无法预测的事情，我们可以估算大概发生的可能性。概率论就是通过随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到本质的一门科学。生活中买彩票显示了小概率事件发生的概率之小，抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策减少错误与失败等等，显示了概率在人们生活中越来越重要的作用。 课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法： 主要内容：概率论中经常要从已知的简单事件的概率去求未知的复杂事件的概率，即将复杂事件分解为若干个简单事件，通过这些简单事件的概率来求复杂事件的概率。形成定理就是我们经常用到的全概率公式。 主要方法：本文通过诱导法，原因结果法，图形结合法三种方法展开对全概率公式的研究。 主要问题：在研究的过程中，往往在一些实验里会出现几种问题。一、将古典概型误认为独立重复试验。二、弄错基本事件的个数。三、一定在某个位置发生与一定发生的混淆。四、“等可能”与“非等可能”分辨不清引发错误。五、“有序”与“无序”的判断不准导致错误。除此之外，概率问题还有结果难以检验的特点。 解决方法：概率问题的解决主要是要和另外知识结合的，如古典概型中要结合排列组合知识，几何概型中要结合较多的平面几何知识等。要注意，概率问题比较抽象，要培养兴趣，提高解决问题的能力。 课题研究起止时间和进度安排： 1. 选定课题（2011.11.10—2011.11.11） 2. 收集资料,研究有关课题 (2011.12.1—2011.12.9) 3. 完成开题报告 (2011.12.10—2011.12.20) 4. 完成初稿 (2012.3.16—2012.3.30) 5．请指导教师指导完成论文 (2012.4.1—2012.4.30) 课题研究所需主要设备、仪器及药品： 外出调研主要单位，访问学者姓名： 指导教师审查意见： 指导教师 （签字） 　　　　年 月 教研室（研究室）评审意见： ____________教研室（研究室）主任 （签字） 　　　　年 月 院（系）审查意见： ____________院（系）主任 （签字） 　　　　年 月 学 士 学 位 论 文 题 目 全概率公式的推广及应用 学 生 指导教师 讲师 年 级 2008级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 数学科学学院 哈尔滨师范大学 2012年4月 目 录  TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc320690724" 摘要  PAGEREF _Toc320690724 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc320690725" 关键词  PAGEREF _Toc320690725 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc320690726" 1、 全概率公式的基本理论  PAGEREF _Toc320690726 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc320690727" 1.1完备事件组  PAGEREF _Toc320690727 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc320690728" 1.2全概率公式........................................................................................................................ PAGEREF _Toc320690728 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc320690726" 2、 全概率公式的推广及其应用  PAGEREF _Toc320690726 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc320690729" 2.1全概率公式的推广  PAGEREF _Toc320690729 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc320690730" 2.1.1全概率公式的推广定理1及其应用  PAGEREF _Toc320690730 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc320690731" 2.1.2全概率公式的推广定理2及其应用  PAGEREF _Toc320690731 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc320690733" 2.1.3全概率公式的推广定理3及其应用  PAGEREF _Toc320690733 \h 4 2.1.4全概率公式的推广定理4及其应用......................................................................5 2.2 HYPERLINK \l "_Toc320690734" 全概率公式的应用  PAGEREF _Toc320690734 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc320690735" 2.2.1全概率公式在摸球模型中的应用  PAGEREF _Toc320690735 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc320690736" 2.2.2全概率公式在实际比赛中的应用  PAGEREF _Toc320690736 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc320690737" 2.2.3全概率公式在医疗诊断中的应用  PAGEREF _Toc320690737 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc320690740" 3 总结  PAGEREF _Toc320690740 \h 16  HYPERLINK \l "_Toc320690742" 参考文献  PAGEREF _Toc320690742 \h 17  HYPERLINK \l "_Toc320690743" 外文摘要  PAGEREF _Toc320690743 \h 18  全概率公式的推广及应用 摘要：全概率公式是概率论中很重要的公式，在概率论的计算机中起着很重要的作用。对全概率公式进行仔细地分析，用例子说明了它的用法及它所适用的概型；为了解决实际问题的需要。我们将全概率公式进行了推广，用例子说明了推广的全概率公式在实际应用中所适用的概型比全概率公式的更广。准确运用全概率公式以及它的推广形式，重要弄清楚事件间相互影响的次序，恰当地设出完备事件组。此外，本文结合实例说明了全概率公式的推广定理在产品检查、医疗诊断以及统计决策等中的应用。 关键词： 全概率公式 完备事件组 推广 应用 目前，社会在飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察以往的信息及现状从而做出综合判断，决策概率分析这门学科越来越显示其重要性。 概率论对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显著特征。利用数学方法，充分利用好全概率公式及其推广形式，定量地对医学问题进行相关分析，使其结论更具有可信度，更有利于促进对病人的对症实施。利用好全概率公式可以用来解决投资、保险、工程等一系列列不确定的问题中。全概率公式及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下又发事件的概率，有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。灵活使用全概率公式会给我们解题带来很大方便，而这些推广形式将进一步拓展全概率公式的适用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具。 1、全概率公式的基本理论 1.1 完备事件组 在了解全概率公式之前，我们先来看一下完备事件组的概念。 如果
个事件
。满足下列两个条件： （1）
。两两互不相容； （2）
那么，我们称这个
个事件
。构成样本空间
的一个划分，也称构成一个 完备事件组。 为了下面推广全概率公式的需要，我们首先介绍一下“全概率公式”。 1.2 全概率公式 设
个事件构成样本空间的一个划分，
是一个事件。当
时则有：
在很多实际问题中，由于随机事件的复杂性，很难直接求得，但却很容易找 到
的一个完备事件组
，且一般
和
会在题目中告诉你， 或可以通过计算得到，那么就能用全概率公式求出
。全概率公式在 实际生活中有广泛的应用，从下面几个例子中可以加深对它的了解。 全概率公式的推广及其应用 2.1全概率公式的推广 当一个复杂事件的发生与一列互不相容事件有关，而这列事件自身并不构成样 本空间，添加某些事件后才构成样本空间的分割，而这些事件对复杂事件的发生没 有影响时，可将全概率公式以下推广。 2.1.1 全概率公式推广定理1及其应用 设
是一列事件，添加
后，或其自身构成样本空间
的 一个分割，
则对任一事件
, 当
有
。 证明：