数学学年论文毕业论文压缩映射原理及其应用.doc

压缩映射原理及其应用摘要本文较详细地论述了空间中的压缩映射原理以及它在关于一些问题的解的存在唯一性定理证明中的广泛应用关键词抽象函数不动点压缩映射抽象微分方程隐函数存在性理引言压缩映射原理的研究是算子方程的求解问题它不仅具有实义而且对泛函分析理论的发展起着重大作用我们首先介绍不动点和压缩映射的定义以及压缩映射原理并在此基础上进一步给出一个推广的压缩映射原理压缩映射原理不仅指出了算子方程的解的存在性和唯一性而且给出了近似求解的方法及误差估计因而是很有用的微分方程初值问题的解的存在唯一性定理及毕卡逐次逼近法就是它的特例在空间中这一问题将更为普遍数学分析中的隐函数存在定理也是压缩映射原理的一个特例一几个定义及压缩映射原理定义设为巴拿赫空间算子一般地是非线性的如果存在有界线性算子使得关系式对于满足的是一致成立的则称算子在点处是弗力许可微的并记称为算子在点处的弗力许导数为了给出关于算子的有限增量公式相当于中值定理我们引入关于抽象函数的积分的概念设是由实数域到巴拿赫空间的算子这种算子通常称为抽象函数现设的定义域是区间将分成个小区间分点为记此分划为及在每个小区间上任取一点作和式定义如果对任意的分划及的任意取法当时和式都收敛在中范数意义下于同一个元素则抽象函数在上黎蔓可积的称为在上的黎蔓积分记为性质设抽象函数黎蔓可积则抽象函数在上弗力许可薇且定义设为巴拿赫空间为由到的算子且非空如果满足则称为算子的不动点换句话说不动点是算子方程的解定义设集合如果存在常数使得对任意的均有不等式则称为集合上的压缩算子称为压缩系数定理压缩映射原理设算子映巴拿赫空间中的闭集为自己且为上的压缩算子压缩系数为则算子在内存在唯一的不动点若为中任意一点作序列则序列且并有误差估计证明由于故设利用算子的压缩性可依次得到现在估计利用式可得到即由此可知是柯西点列由的完备性知存在使得又因是闭集故现在证明是算子的不动点由算子在上的压缩性知其在上连续事实上如果则由式知于是在式中令即得再证的唯一性设若另有一不动点则由于故上式只能在时成立于是至于估计式的证明只需在式中令证毕压缩映射原理最常用的两种特殊情形是及中的闭球对于后者如下列推论所述推论设为闭球上的压缩算子压缩系数为且则在中有唯一不动点且序列收敛于收敛速度为式初始近似可在中任取证明只要证映为自己如果即则二推广的压缩映射原理设算子映集合为自己对任一自然数算子的次幂定义为当时令如果已经定义则令定理设算子映闭集为自己且对某一自然数算子为上的压缩算子则在中存在唯一的不动点逼近序列收敛于初始近似为任意证明当时即为定理现设考察算子根据定理在上有唯一的不动点因为算子与在上可交换故有此即表明也是的不动点但的不动点是唯一的故即也是的不动点下证唯一如果另有满足则但的不动点是唯一的故证毕三压缩映射原理的应用在微分方程积分方程以及其它各类方程的理论中解的存在性唯一性以及近似解的收敛性等都是很重要的问题为了证明一个微分方程积分方程或其它类型的方程存在解我们可以将它变成求某一映射的不动点现在以大家熟悉的一阶常微分方程为例来说明这一点求微分方程满足初始条件的解与求解积分方程等价为了求解积分方程我们可以根据所满足解析条件适当地取一个度量空间并在这个度量空间中作映射于是方程的解就转化为求使它满足也就是求出这样的它经映射作用后仍变为这种称为映射的不动点因此求解方程就变成求映射的不动点考察微分方程其中在整个平面内连续此外还设关于满足李普希茨条件则通过点微分方程有一条且只有一条积分曲线证明问题等价于求解下面的积分方程我们取使用表示在区间上的连续函数组成的空间在中定义算子映射则因由压缩映射原理存在唯一的连续函数使由此可以看出还是连续可微的于是便是微分方程通过的积分曲线但只定义在上重复利用压缩映射原理可以将它延拓到整个数轴上四巴拿赫空间中的微分方程对于微分方程初值问题的解的各种存在唯一定理利用压缩映射原理可以给出一种很简单的证明下面我们在巴拿赫空间中讨论这一问题这样做具有普遍性却并不增加证明的复杂性设为从实数域到某一巴拿赫空间的抽象函数我们要讨论的是非线性微分方程其中是关于两个变元的非线性算子实变量而是的元素的值域也在中的意义与通常理解的相同现在假设为已知所谓微分方程的初值问题是指求它满足及初始条件其中定理设当为固定且时在上连续而当及时有则在上初值问题存在唯一解且当时证明所讨论的问题等价于积分方程事实上设是初值问题的解则可将代入方程再从到积分考虑到条件即得式反之设满足方程注意到当时抽象函数连续这是因为又根据的连续及对的连续性当且时上式右端的两项均趋于零根据式即知表明是问题的解因此初值问题等价于求方程的解记在上连续在中取值的抽象函数的全体所构成的巴拿赫空间为其范数定义为考察在中的闭球则非线性算子映为自己这是因为其中用到了不等式及的定义同时是上的压缩算子这是因为由条件知其中由之定义于是利用压缩映射原理方程在球中存在唯一解定理得证这一定理的不足之处是初值问题的解仅确定在上而不是在上对于算子附加以较强条件时可以弥补这个缺陷定理设算子对每一固定的关于连续且满足李普希茨条件则初值问题在上存在唯一解我们给出两种证明它们都很简单而富有启发性第一种证明如上所述可等价地讨论积分方程在巴拿赫空间中考察积分算子我们有下列估计由此又有一般地我们有在上取最大值得到由于当时故对于充分大的是中的压缩算子于是定理得证第二种证明在巴拿赫空间中引入另一种范数显然我们证明积分算子是这种范数下的压缩算子事实上乘以因子再在上取得到故压缩系数为定理得证五一个特例隐函数存在定理定理设函数在带状域中处处连续且处处有关于的偏导数如果还存在常数和满足则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解证在完备空间中作算子映射使对任意的函数有按照定理条件是连续的故也连续即所以是到自身的映射现证是压缩算子任取根据微分中值定理存在满足由于所以令则有且因此是压缩映射由定理存在唯一的满足即这就是说定理证毕参考文献夏道行严绍宗吴卓人舒五昌实变函数论与泛函分析下郑维行王声望实变函数与泛函分析概要第二册关肇直张恭庆冯德兴线性泛函入门蒋尔雄高坤敏吴景琨线性代数定光桂巴拿赫空间引论柳重堪应用泛函分析国防工业出版社叶怀安泛函分析安徽教育出版社程其襄等实变函数与泛函分析基础高教出版社张鸣歧应用泛函分析引论北京理工大学出版社