数学与应用数学毕业论文-发散性思维在中学数学教学中的作用.doc

目 录 摘要………………………………………………………………………………2 Abstract………………………………………………………………………2 1 引言………………………………………………………………………………2 1.1 发散性思维的定义………………………………………………………3 1.2 发散性思维的特征………………………………………………………3 1.3 发散思维的几种形式……………………………………………………4 1.3.1 横向发散…………………………………………………………4 1.3.2 纵向发散…………………………………………………………4 1.3.3 逆向发散…………………………………………………………5 1.3.4 穷举式发散………………………………………………………5 2 发散思维在教学中的作用………………………………………………………6 2.1 在教学中不断强化思维发散的意识……………………………………5 2.1.1 发散性的提问……………………………………………………6 2.1.2 鼓励一题多解和一题多变………………………………………6 2.2 教学中培养学生思维发散动机及其能力………………………………6 2.3 在教学中充分创设思维发散的环境……………………………………7 3 几个利用发散性思维解决的典型例题的分析…………………………………7 3.1 数学发散能力的训练……………………………………………………8 3.2 数学想象能力的训练……………………………………………………9 3.3数学直觉能力的训练…………………………………………………11 3.4 数学猜测能力的训练…………………………………………………11 参考文献……………………………………………………………………………12 致 谢………………………………………………………………………………13 发散性思维在中学数学教学中的作用 数学与信息学院数学与应用数学专业 摘要：发散思维是从同一材料探求不同解答的思维过程，思维方向分散于从不同方面进行思考。在数学学习中，发散思维表现为依据定义、定理、 公式和已知条件，思维朝着各种可能的方向扩散前进。不局限于既定的模式，从不同的角度寻找解决问题的途径。 本文首先介绍了发散性思维的特征，讨论了发散性思维在初等数学教学中的作用，最后就怎样培养训练学生的发散性思维能力提出几点思考，并得出了相关结论。 关键字：发散性思维；发散思维意识；发散思维动机；初等数学教学 Divergent Thinking in Mathematics Teaching in the secondary role TIAN TaoInformation Institute of Mathematics and Applied Mathematics, Mathematics and the guidance of professional teachers in 2005: WU Ming-zhongAbstract: Divergent thinking is different from the same material to explore answers to the thought processes, ways of thinking are scattered in the direction of thinking from different aspects. In mathematics learning, divergent thinking is based on the performance of the definition, theorem, formula and known conditions, ways of thinking towards the direction of the proliferation of a variety of possible progress. Not limited to the established model, from different perspectives to find a solution to the problem.This article introduces the characteristics of divergent thinking, divergent thinking is discussed in the Elementary Mathematics Teaching, and finally training on how to train students in divergent thinking ability to offer a few thoughts to the matter and draw the relevant conclusions.Keywords: divergent thinking; awareness of divergent thinking; divergent thinking motives; Elementary Mathematics Teaching 1 引言 随着知识经济时代的到来和信息技术革命深人，创造被历史地推上了殿堂，饰演着越来越重要的角色，创新与创造能力已经成为国家强盛之源和社会发展之本。创造性思维与人的创造力密切相关，发散性思维是创造性思维的核心。吉尔福特曾指出：“要在学校教学方面启发学生的创造性思维，就必须从求同转向于求异的方式。”徐利治教授也曾提出：“一般说来，数学上的新思想、新概念和新方法往往来源于发散思维。所以按照心理学家的见解，数学家的创造能力的大小应和他们的发散思维能力成正比。”但是就如何在学科教学中培养学生的发散性思维而言，有关于此的探讨还不太多，本文就此做一些探讨。 1.1 发散性思维的定义 发散性思维又名辐射型思维，是指沿着各种不同的方面去思考，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的有用的信息，即对已知信息沿着不同的方向，不同的角度思考问题，不局限于既定的理解，从而提出新问题、探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式。对于培养学生的想象能力、创造性思维能力，提高学生观察问题、解决问题的能力有着重要意义。 1.2 发散性思维的特征 美国心理学家吉尔福特认为，发散性思维有三个特征：多端性、变通性和独特性。 (1)多端性也称流畅性，流畅的基本特征是数学思维通道畅通无阻，思维向多个方面发散。大脑对外界数学知识信息的分析、加工、重组的速度快，输出输入的量大，对同一个数学问题能提出多种设想，多个答案，即对一个问题多开端，从而产生许多联想，获得多种多样的结论。它的重点是“多”字，对同一个问题的思维方向多、角度多、途径多，从而得出多种可能解决的方案或产生新的结论，即答案多。如数学教学中的一空多填、一式多变、一题多问、一题多解、一题多答。 (2)变通性又称为灵活性，是指思维形式不受固定格式的限制，思维方向多，即可横向，又可纵向，还可逆向。换元的机制强，固定的到可变的、已知的到未知的、单一的到多个的、形式灵活善变，一题多变，代数、几何、三角、高等数学、初等数学的知识交融使用。变通性是应付和解决变化问题的关键，是发散思维的重要标志。教学中，注重思维方式的逆向引导，让学生摆脱定向思维的束缚，加强事物的内涵和外延的沟通联系，注意定义、公式的逆向推导与使用，使学生逐步养成双向思考问题的好习惯，善于从不同的立场、角度、层次探索问题，拓展思维。它反映了数学发散思维的数量特征。 (3)独特性，是指思维方式求异，新颖奇特，一题多想，千方百计寻求最有解法，创优机制强烈，思维结果有创新的特点就是摆脱人们的共识和传统观念的思维定势，从另外的角度提出完全不同、但有一定依据的全新观点。要改变完全输入式的教学方式，在讲授法中应结合讨论法、自学指导法，鼓励学生大胆开拓，积极思考，同中求异；在解决问题中应注意多种解法；在问题讨论中，应注意多种结论，不断拓展学生的思维方向和思维空间。进行发散思维独特性训练的主要方式有：新高度阐述。当学生学习了某一理论知识以后，教师引导学生回头，从新的理论高度重新思考已学过的旧知识，从而提出新的见解，并做出更深刻、更准确、更全面的表达。 1.3 发散思维的几种形式 数学发散思维的展开形式有：横向发散、纵向发散、逆向发散、穷举式发散等形式。 1.3.1 横向发散 所谓横向发散，就是由同一个来源的数学信息，与相关的各方面的数学知识点、知识线、知识块相联系，章节内部、各章之间，甚至数学各分科之间的相互联系。横向发散有利于促进学生对概念、公式、定理的横向拓广、纵向深入。 1.3.2 纵向发散 所谓纵向发散，就是由同一个来源的数学信息从不同方面、不同角度去纵深联想与推广，从特殊到一般达到深化知识的目的，有利于培养学生分析问题、解决问题的能力。 1.3.3 逆向发散 所谓逆向发散就是由同一个来源的数学信息根据它的特点从常有思维的反面或否定方面去思考和探索问题，顺推不行考虑逆推，直接解决不行考虑间接解决，探讨可能性发生困难时考虑不可能性，从对立统一中把握数学知识的内在联系，澄清对某些数学概念的模糊认识，更深刻、更透彻地理解新知识，有利于培养探索能力，开辟新的数学天地。 1.3.4 穷举式发散 所谓穷举式发散就是由同一个来源的数学信息从已知到未知寻求已知的各种充分条件，并列地展开各种可能出现的输出的合理联想，联想是由表及里、由浅入深、由此及彼、由简到繁，从已知发散到未知的途径和桥梁。由于数学信息具有各方面的相似性，而且，即使对一个方面而言，相似的信息也绝不止一个，所以，合理的联想就不止一种，当我们把握住问题的特点展开联想时，就是一种发散性的思维。 2 在教学活动中培养发散思维 2.1 在教学中不断强化思维发散的意识 意识是个体认识世界和改造世界的根本。没有意识，则人无以能为。在发散性思维的培养过程中，强化思维发散的意识同样重要。学生强烈的思维发散意识对于发散性思维能力的提高，正如一件物体放在斜坡的高处它将滑向低处一样，是一种重要的心向。在教学中，强化学生的思维发散意识可从以下方面入手。 2.1.1 发散性的提问 发散性的提问以“除此之外，还有哪些?”、“如果
，那会怎么样?”为特点，通过这样深层的剖析，旨在使学生思维呈立体扩散，而不拘泥于一点。它不但可以涉及到横向比较，也可以做出纵向概括。例如：“这个问题除用方程求解外，还可用什么方法?”、“请看下面这道题目，你能想到几种解法?”、“如果把这个问题的结论由此例式改为乘积式，你将会怎么想?”等等，多使用这样的提问，学生的思维不至于僵化，他们会在解决问题的过程中多角度地思考问题，从而形成思维发散的习惯。 2.1.2 鼓励一题多解和一题多变 数学往往以题海而著称，我们要摒除“题海战术”的陋习。但我们必须清醒地认识到数学习题的独特地位，它不但可使学生巩固知识，形成技能，而且如果在选题时或解题时注重一题多解和一题多变，则可以很好地强化学生的思维发散意识。 在讲勾股定理的证明时，既可以使用面积割补法，也可以放到平面直角坐标系中解决，还可以通过相似法来解决。而使用割补法，又有不同的割补思路，可以拼成长方形，也可以拼成正方形，还可以拼成其它图形。在演习一元二次方程问题时，可以让学生使用不同的方法，让他们在对不同方法特点的掌握上做出最 佳选择，使他们对不同的解题方法掌握得更加巩固。更重要的是，培养他们思维的灵活性，强化学生的思维发散意识。 同样，也可以使用一题多变来强化学生的思维发散意识。通过变换命题的题设与结论来使问题或由陈旧变得新颖，或由顺向改为逆向，或由单一改为综合。例如，在学习圆的垂径定理内容时，通过题设和结论的变换，不但能够导出课本中列出的有关推论，还会得出许多题目的考点与考察形式。 2.2 教学中培养学生思维发散动机及其能力 动机是激发、维持和调节个体活动的原动力。对于培养个体的发散性思维能力，形成个体思维发散的动机也应成为重要的部分。这可以从以下两方面入手： (1)通过数学史的教育，形成思维发散的激情 数学是自然科学中的基础学科，有“皇后”之称。从数学的起源、发展到完善，无数位数学家为之奉献了自己毕生的精力，他们开创性的工作将永为世人纪念。在数学的发展史中，如果能撷取数学家的利用思维发散解决问题的故事来教育学生，那么在这些数学前辈亲身经历的鼓舞和激励下，学生会在已形成的思维发散意识的基础上，在解决问题的过程中，追求思维发散，利用思维发散，他们思维发散的动机也将得以形成。 数学家们运用创造性思维解决问题的故事是不胜枚举的。宋朝时期的刘徽为了计算圆周率的数值而发明了“割圆术”，即用圆内接正多边形的周长来代替计算圆的周长。这种思维正是思维发散的表现。我国数学家苏步青小时候遇到这么一个问题：“甲乙两个人从相距100米的A、B两地相向而行，A的速度是每秒4米，B的速度是每秒6米，在他们开始出发时，A的身边有一条狗，同时以每秒l0米的速度奔向B，在到达B后，再立即奔向A，就这样往返奔跑于A和B之间，直到两人相遇，问当两人相遇时，这条狗跑过的路程是多少”。苏老避开小狗跑的路线不确定这一干扰因素，而抓住小狗的速度恒定这一隐蔽因素，顺利地解决了问题，他的思维也正是创造性思维的体现。这些数学家的故事，将会激起学生的创造动机，点燃他们思维发散的火花。 (2)教师的创造教育观和创造性教学 在数学课堂教学中，教师作为教学活动的主导者，他的创造教育观念及行为对学生形成思维发散动机有潜移默化的影响。因此，教师必须首先确立的创造教育观，告诉学生“人人皆创造之人，天天皆创造之时，处处皆创造之地”(陶行知，1943)。让他们以思维发散为突破口，拓展思维空间，挖掘思维潜力，从自己开始，从现在开始，从每一节课和每一个内容人手，展开自己想象的翅膀，让自己的思维最大限度地辐射。通过教师的这种积极的创造教育观的影响，使学生的动机建立在现实的可行的基础之上。 其次，为了进一步培养学生的思维发散动机，诱发他们的思维发散行为，教师要采取创造性的教学，通过自己的教学语言、板书和教学程序等来体现思维发散的魅力。并达到巩固知识、激发创造动机的双重目的。 2.3 在教学中充分创设思维发散的环境 创设一种宽松的、积极的让学生敢于思维发散的环境非常重要。人本主义心理学家罗杰斯提出有利于创造性发展的两个心理条件：“心理安全”和“心理自由”。这就要求教师一方面通过宏观教学采用评价手段，创设有利于学生思维发散的氛围，另一方面调控学生群体内部的气氛，使之有利于思维发散。具体有以下几种方式： (1)运用评价手段，创设利于学生思维发散的氛围 评价是教学活动中的一个重要部分。而实际上，在发展学生创造性思维，特别是培养学生发散性思维的过程中，课堂教学评价更能发挥出它的能动性。采用鼓励性的评价是最基本的原则。学生回答问题时，可能没有遵循教师的思路，或者甚至有点风马牛不相及，但学生的这些回答至少表明了他们的思维在积极地活动，甚至闪现了他们思维的新奇性与发散性。例如，在讲平行线的概念时，教师往往举出生活中常见的铁轨以增强学生们的感性认识，但这时一个学生却站起来说，“铁轨有时候是弯曲的。”这个教师并没有立即反驳，而是加以肯定，“这位同学的想法是很正确的，但我们现在例子中的铁轨指的是直的一段，如果弯曲的话，那能叫做平行线吗?”引导学生思考，从而加深了学生对平行线概念的理解。这种处理方法就很好地保护了学生思维发散的积极性，有助于形成利于学生思维发散的环境。教师在课堂上一定要因势利导，从鼓励性评价人手，积极创设轻松的氛围，促进学生思维发散。 (2)融洽学生之间的关系及调控同龄团体行为，形成学生敢于思维发散的环境 日本广岛大学教授片德雄等研究发现，课堂上的情绪气氛有两大类：一类为“支持型气氛”，其特征是集体成员相互信任、体谅，无须担心集体的压力和他人的目光；另一类是“防卫型气氛”，其特征是集体成员互不信任，心理处于不安状态。支持型的学习气氛有助于学生形成良好的学习习惯和学习态度，并使学习动机的动力功能得到最大限