浅议不等式的证明 数学专业毕业论文.doc

摘要在初等数学中证明不等式的常用方法有比较法综合法分析法反证法放缩法判别式法换元法数学归纳法等等但是所用的都是初等数学知识本文利用高等数学中的有关知识给出几种不等式的证明方法单调性辅助函数凹凸性中值定理最值极值定理泰勒公式定积分性质柯西施瓦茨关键词不等式高等数学中值定理泰勒公式柯西施瓦茨目录引言利用函数的单调性证明不等式利用函数的凹凸性证明不等式利用拉格朗日中值定理证明不等式利用函数的最值极值定理证明不等式利用泰勒公式证明不等式利用定积分的性质证明不等式利用柯西不等式证明不等式参考文献浅议不等式的证明引言用不等号连接起来的两个解析式所成的式子叫不等式证明不等式就是根据不等式的性质证明对于式中字母所容许的数值不等式恒成立不等式证明在中学里占有重要的地位是进一步学习数学的基础例如在讨论方程或方程组的解中研究函数的定义域值域单调性最值等问题中都要用到然而不等式证明又是中学里的一个重点难点其特点是方法灵活多样技巧性很强这使得它成为高考中的一个热门问题证明不等式的途径是对原不等式作代数变形在初等数学中常用的方法有比较法综合分析法反证法放缩法数学归纳法判别式法换元法等等然而现在高中课本中又增加了一些高等数学知识我们思考能否用高等数学中的有关知识来证明某些使用初等方法证明比较困难或暂时还无法证明的不等式使之过程更加简洁易懂答案是肯定的因此讨论高等数学知识在某些初等数学不等式中的应用是非常重要的同时初等数学中的许多问题往往蕴含着高等数学中的一些方法因而将高等数学中的某些原理方法应用于初等数学中的证明不仅可以开拓学生的视野而且可以使学生体会到用高等数学的原理方法解决初等数学问题时居高临下驾轻就熟的感觉进而了解高等数学与初等数学密不可分的关系本文着重阐述了用高等数学中的有关知识来证明某些初等不等式使之用初等方法证明比较困难或暂时还无法证明的不等式得到解决高等方法主要适用于中学里的函数不等式利用函数辅助函数的单调性证明不等式函数单调性证明定理若函数在区间内可导则在内递增递减的充要条件是不等式与函数有着密切的关系因此根据求证的不等式构造函数利用函数的单调性可巧证一些不等式此方法尤其适用于中学里的函数不等式的证明例证明当时证明设所以当时也即故辅助函数单调性证明辅助函数方法比较常用其主要思想是将不等式通过等价变形找到一个辅助函数通过求导确定函数在所给区间上的单调性即可证明出结论常用的方法是直接将不等号右端项移到不等号左端另不等号右端为零左端即为所求辅助函数例试证当时解设易知又可见当当时因此有当时又由及是单调增加的函数推知当时当时因此进一步有即得证当时例设证明分析要证只需证或证明一令因为所以在时单调增加因此当时有即有也即证明二令则有因此单调减少故当时有即利用函数的凹凸性证明不等式定义如果函数对于任意的两点都有或者则称函数在内是凸函数或者是凹函数上述定义性质还可推广为或者函数凹凸性的定义给出了函数之间的不等关系式利用函数的凹凸性可以巧证一些函数不等式特别是所给的式子为两项之和三项之和并且它们的通项有相似的表达式时可考虑用函数凹凸性的定义来证明不等式例已知求证证明设则为上的凸函数由凸函数的定义知所以例求证令故在或是凹的于是即即类似的如证明注函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数利用函数在所给区间的二阶导数确定函数的凹凸性函数为凹的则函数为凸的则利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理若函数在闭区间上连续在开区间内可导则在内至少存在一点使得即拉格朗日中值定理的形式为等式左端为函数在区间端点的函数值之差右端是区间的长度乘以它的意义在于建立了导数与函数之间的关系通过构造函数可以证明一些不等式例求证证明令则在上连续在内可导由拉格朗日中值定理知存在使得即因为所以从而原命题得证利用函数的最值极值定理证明不等式定义设为定义在上的函数若存在对一切有则称在上有最大小值并称为在上的最大小值定义若函数在点的某领域内对于一切有则称函数在点取得极大小值称点为极大小值点极大值极小值统称为极值定理设在的某领域内一阶可导在处二阶可导且若则在取得极大值若则在点取得极小值如果所设函数不是单调函数我们可以考虑利用函数的最值极值证明一些不等式其步骤是由不等式构造辅助函数找出函数的极值点最值点然后由最值极值证得不等式例设证明证明设求导并令得而故在处取得极小值比较在区间端点和驻点的函数值得知的最大值为最小值为故利用泰勒公式证明不等式定义若函数在上存在阶导数则有泰勒公式其中当该公式称为马克劳林公式即其中当不等式中含有幂函数时可以考虑用泰勒公式证明特别是求证的不等式中含有形如时可把用泰勒公式展开从而巧证不等式例证明证明设由一阶马克劳林公式有所以再由二阶马克劳林公式有所以从而其中注本题也可以利用函数的单调性来证明由此可见高等数学知识在不等式的证明中的应用是非常广泛灵活的例求证已知在上具有二阶可导函数且满足条件其中都是非负常数是内任意一点分析已知二阶可导应考虑用二阶泰勒展开式本题涉及证明应在特定点处将按泰勒公式展开证明对在处用泰勒公式展开得其中在式中令有在式中令有上述两式相减得于是又因当时有故因这里与有关可将其记为那么当令分别取和时对应的可分别用和表示注泰勒展开式的证明常用的是将函数在所给区间端点或一些特定点如区间的中点零点进行展开通过分析余项在点的性质而得出不等式另外若余项在所给区间上不变号也可将余项舍去而得到不等式利用定积分的性质证明不等式定理设与为定义在上的两个可积函数若则定积分法是利用积分学中的知识来证明不等式的一种方法它主要是利用积分学中的基本公式基本性质基本定理来证明不等式例已知求证证明取则所以所以所以从而原命题得证利用柯西不等式证明不等式定义若为任意的实数则有当且仅当时取等号这个公式称为柯西不等式例证明证明由柯西不等式得注本题也可以用初等方法证明例求证已知在区间上连续且证明即得注柯西施瓦茨不等式是一个常用的不等式在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明既方便又快捷参考文献华东师范大学数学系编数学分析第二版北京高等教育出版社何胜明刘永春利用函数的凹凸性证明不等式中学数学湖北第卷第期叶殷何克树用高等数学证明不等式的若干中方法西昌师范高等专科学校学报第卷第期刘绛玉郝香之陈佩宇不等式的证明方法石家庄职业技术学院学报第卷第期黄先开曹显兵等历届考研试题北京世界图书出版公司