《5.3-基本不等式的证明》.doc

§5.3 基本不等式的证明 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0
ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0
ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R+，ａ/ｂ≥1
ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1
ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元. 二、疑难知识导析 1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向. 2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点. 3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语. 4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾. 5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用.　　 三、经典例题导讲 [例1] 已知a>b(ab EMBED Equation.3 
),比较 EMBED Equation.3 
与 EMBED Equation.3 
的大小. 错解： EMBED Equation.3 
 a>b(ab EMBED Equation.3 
)， EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
< EMBED Equation.3 
. 错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大. 正解： EMBED Equation.3 
，又 EMBED Equation.3 
 a>b(ab EMBED Equation.3 
)， (1)当a、b同号时，即a>b>0或b0,b－a<0,  EMBED Equation.3 
, EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
< EMBED Equation.3 
. (2)当a、b异号时，则a>0,b<0,  EMBED Equation.3 
>0, EMBED Equation.3 
<0 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
> EMBED Equation.3 
. [例2] 当a、b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（　　） A. EMBED Equation.3 
　　　B. EMBED Equation.3 
　　　C. EMBED Equation.3 
　　　D. EMBED Equation.3 
 错解：所以选B. 错因是由于在 EMBED Equation.3 
、 EMBED Equation.3 
、 EMBED Equation.3 
中很容易确定 EMBED Equation.3 
最小，所以易误选B.而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可遗漏 EMBED Equation.3 
与前三者的大小比较. 正解：由均值不等式 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
及a2+b2 EMBED Equation.3 
2ab,可知选项A、B、C中， EMBED Equation.3 
最小，而 EMBED Equation.3 
＝ EMBED Equation.3 
，由当a EMBED Equation.3 
b时，a+b>2 EMBED Equation.3 
,两端同乘以 EMBED Equation.3 
，可得（a+b）· EMBED Equation.3 
＞2ab, EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
＜ EMBED Equation.3 
，因此选D. [例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+  EQ \F(1,a) )2+(b+  EQ \F(1,b) )2的最小值. 错解: (a+ EMBED Equation.3 
)2+(b+ EMBED Equation.3 
)2=a2+b2+ EMBED Equation.3 
+ EMBED Equation.3 
+4≥2ab+ EMBED Equation.3 
+4≥4 EMBED Equation.3 
+4=8, ∴(a+ EMBED Equation.3 
)2+(b+ EMBED Equation.3 
)2的最小值是8. 错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b= EMBED Equation.3 
,第二次等号成立的条件是ab= EMBED Equation.3 
，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值. 正解：原式= a2+b2+ EMBED Equation.3 
+ EMBED Equation.3 
+4=( a2+b2)+( EMBED Equation.3 
+ EMBED Equation.3 
)+4=[(a+b)2－2ab]+[( EMBED Equation.3 
+ EMBED Equation.3 
)2－ EMBED Equation.3 
]+4 = (1－2ab)(1+ EMBED Equation.3 
)+4， 由ab≤( EMBED Equation.3 
)2= EMBED Equ