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上传于：2024-06-14
本章复习课
1.掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形.
2.熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法.
3.理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会利用绝对值三角不等式证明有关不等式和求函数的最值.
4.会解四种类型的绝对值不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≤m，|x－c|＋|x－b|≥m.
5.会用平均值不等式求一些特定函数的最值.
6.理解不等式证明的五种方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，会用它用证明比较简单的不等式.
知识结构
知识梳理
1.实数的运算性质与大小顺序的关系：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a0)或ax2＋bx＋c≤0 (a>0)，ax2＋bx＋c≥0 (a>0)的解集实质上是函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0)的函数值f(x)≥0对应的自变量x的取值范围，方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根实质上是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程的根也是方程对应的一元二次不等式解集的端点值.
4.基本不等式
(1)定理1：若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab (当且仅当a＝b时取“＝”).
(2)定理2：若a，b∈R＋，则eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(当且仅当a＝b时取“＝”).
(3)引理：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)可以当作重要结论直接应用.
(4)定理3：若a，b，c∈R＋，则eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc)(当且仅当a＝b＝c时取“＝”).
(5)推论：若a1，a2，…，an∈R＋，则eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq \r(n,a1a2…an).当且仅当a1＝a2＝…＝an时，取“＝”.
(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考察是否满足“一正，二定，三相等”的要求.
5.绝对值不等式的解法：解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式.去绝对值符号常见的方法有：
(1)根据绝对值的定义；(2)平方法；(3)分区间讨论.
6.绝对值三角不等式：
(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离.
(2)|a＋b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，ab≥0时等号成立).
(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c| (a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0等号成立).
(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0).
(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).
7.不等式证明的基本方法
(1)比较法：作差法与作商法.
(2)综合法：强调将问题进行合理变形转换，使之能运用定义、公理、定理、性质推证命题.
(3)分析法：强调书写步骤的合理性，注意逻辑上的充分性，步步可逆不是指等价，当然等价也行.
(4)反证法：反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：①直接证明困难；②需要分成很多类进行讨论；③“唯一性”、“存在性”的命题；④结论中含有“至少”、“至多”及否定性词语的命题.
(5)放缩法：放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用基本不等式放缩.例如eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)，eq \f(1,k2)<eq \f(1,k（k－1）)，eq \f(1,k2)>eq \f(1,k（k＋1）)，eq \f(1,\r(k))<eq \f(2,\r(k)＋\r(k－1))(以上k>2且k∈N*).
典例剖析
知识点1 基本不等式的应用
【例1】求函数y＝x2(1－5x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(1,5)))的最值.
解 y＝eq \f(5,2)x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－2x))＝eq \f(5,2)·x·x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－2x))，
∵0≤x≤eq \f(1,5)，∴eq \f(2,5)－2x≥0.
∴y≤eq \f(5,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－2x)),3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(4,675).
当且仅当x＝eq \f(2,5)－2x，
即x＝eq \f(2,15)时，y取得最大值且ymax＝eq \f(4,675).
知识点2 证明不等式(利用函数的单调性)
【例2】已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，
求证：eq \f(a,a＋m)＋eq \f(b,b＋m)>eq \f(c,c＋m).
证明 设函数f(x)＝eq \f(x,x＋m)＝1－eq \f(m,x＋m) (x>0，m>0).
易知f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
∵f(a)＋f(b)＝eq \f(a,a＋m)＋eq \f(b,b＋m)
>eq \f(a,a＋b＋m)＋eq \f(b,a＋b＋m)＝eq \f(a＋b,a＋b＋m)＝f(a＋b).
又a＋b>c，∴f(a＋b)>f(c)＝eq \f(c,c＋m)，
∴eq \f(a,a＋m)＋eq \f(b,b＋m)>eq \f(c,c＋m).
知识点3 应用绝对值三角不等式证明不等式
【例3】已知f(x)＝x2＋ax＋b (a，b∈R)的定义域为[－1，1].
(1)记|f(x)|的最大值为M，求证：M≥eq \f(1,2)；
(2)当M＝eq \f(1,2)时，求f(x)的表达式.
(1)证明 由题意M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，M≥|f(－1)|.
∴4M≥2|f(0)|＋|f(1)|＋|f(－1)|
＝2|b|＋|1＋a＋b|＋|1－a＋b|
≥|1＋a＋b＋1－a＋b－2b|＝2，∴M≥eq \f(1,2).
(2)解 当M＝eq \f(1,2)时，|f(0)|＝|b|≤eq \f(1,2)，
∴－eq \f(1,2)≤b≤eq \f(1,2).
同理有－eq \f(1,2)≤1＋a＋b≤eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)≤1－a＋b≤eq \f(1,2).
两式相加－1≤2＋2b≤1，∴－eq \f(3,2)≤b≤－eq \f(1,2).
又－eq \f(1,2)≤b≤eq \f(1,2)，∴b＝－eq \f(1,2).
当b＝－eq \f(1,2)时，由－eq \f(1,2)≤1＋a＋b≤eq \f(1,2)⇒－1≤a≤0；
由－eq \f(1,2)≤1－a＋b≤eq \f(1,2)⇒0≤a≤1，即a＝0.
∴f(x)＝x2－eq \f(1,2).
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基础达标
1.若a，b，x，y∈R，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y>a＋b,（x－a）（y－b）>0))是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>a,y>b))成立的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由(x－a)(y－b)>0知，x－a与y－b同号，
由x＋y>a＋b得(x－a)＋(y－b)>0，
即(x－a)，(y－b)同正，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>a，,y>b.))如果eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>a，,y>b.))易知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y>a＋b，,（x－a）（y－b）>0.))
答案 C
2.若a3＋b3＝2，则( )
A.a＋b<2 B.a＋b≤2
C.a＋b>2 D.a＋b≥2
解析 ∵a3＋b3＝2，
∴(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2，
(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝2.
(a＋b)3＝3(a＋b)ab＋2≤3(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)＋2.
∴(a＋b)3≤8，∴a＋b≤2.
答案 B
3.设a＞0，b＞0，下列不等式中不正确的是( )
A.a2＋b2≥2ab B.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
C.eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)≥a＋b D.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≤eq \f(1,a＋b)
解析 eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)－eq \f(1,a＋b)＝eq \f(a＋b,ab)－eq \f(1,a＋b)＝eq \f(（a＋b）2－ab,ab（a＋b）)＝eq \f(a2＋ab＋b2,ab（a＋b）)＞0，故选D.
答案 D
4.A＝1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(n))与eq \r(n)(n∈N＋)的大小关系是________.
解析 A＝1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(n))≥eq \f(1,\r(n))＋eq \f(1,\r(n))＋…＋eq \f(1,\r(n))＝eq \f(n,\r(n))＝eq \r(n)，∴A≥eq \r(n).
答案 A≥eq \r(n)
5.若a＝eq \r(1－b2)，则a＋b的最小值是________.
解析 设b＝sin θ，－eq \f(π,2)≤θ≤eq \f(π,2)，
则a＝cos θ，a＋b＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).
∵－eq \f(π,4