3.2.1 基本不等式的证明 教案.doc

第三章　不等式 第3.2.1节　基本不等式的证明
教材在研究基本不等式时，首先给出代数的证明，然后再通过思考给出“图形的证明”，即几何证明．这里也充分展示了数形结合的基本思想，这有助于学生建立几何与代数“血脉相连”的基本观念．在基本不等式的代数证明中，教材提供了两种方法，即“分析法”与“综合法”，提高学生的推理能力．
课程目标 学科素养 A.理解基本不等式的内容及证明. B.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小. C.能初步运用基本不等式证明简单的不等式. 1.直观想象 理解基本不等式的内容及证明 2.逻辑推理 能初步运用基本不等式证明简单的不等式. 3.数学运算 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.
1. 理解基本不等式的内容及证明. 2. 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.
1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是________． 答案：v≤40 km/h 2．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq \f(β,3)的取值范围是________． 解析：由题设得0<2α<π，0≤eq \f(β,3)≤eq \f(π,6)， ∴－eq \f(π,6)≤－eq \f(β,3)≤0，∴－eq \f(π,6)<2α－eq \f(β,3)<π. 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π)) 3．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x2－x＋1与2x2＋x－1； (2)当a>0，b>0且a≠b时，aabb与abba. 解：(1)∵3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴3x2－x＋1>2x2＋x－1. (2)eq \f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝aa－beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))a－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b. ①当a>b，即a－b>0，eq \f(a,b)>1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b>1， ∴aabb>abba. ②当a1， ∴aabb>abba. 综上，当a>0，b>0且a≠b时，aabb>abba.
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．
借助多媒体引出重要不等式a2＋b2≥2ab 然后从代数的角度证明这个结论，即例1 典例剖析 题型一　常见推论的证明 例1　证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R). 证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. 引申探究 证明不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R). 证明　由例1，得a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab， 两边同除以4，即得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)，当且仅当a＝b时，取等号. 总结　作差法与不等式性质是证明中常用的方法. 　　　 变式训练：已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 证明　∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 问题：对于不等式
。将
降次为
,
降次为
,则由这个不等式可以得出什么结论？ 基本不等式：对任意正数
，
，有
当且仅当
时等号成立．（学生讨论回答证明方法） 证：



当且仅当
即
时，取“
”． 说明：1、 把
和
分别叫做正数
的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、（多媒体辅助）
的几何解释：如图以
为直径作圆， 在直径
上取一点
， 过
作弦
，则
，从而
，而半径
基本不等式
几何意义是：“半径不小于半弦”； 题型二　用基本不等式证明不等式 例2　已知x，y都是正数. 求证：(1)eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2； (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明　(1)∵x，y都是正数， ∴eq \f(x,y)>0，eq \f(y,x)>0， ∴eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2 eq \r(\f(y,x)·\f(x,y))＝2，即eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2， 当且仅当x＝y时，等号成立. (2)∵x，y都是正数， ∴x＋y≥2eq \r(xy)>0， x2＋y2≥2eq \r(x2y2)>0，x3＋y3≥2eq \r(x3y3)>0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3) ≥2eq \r