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1.5.1　不等式证明的基本方法学案.doc

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1.1.5　不等式证明的基本方法 1.5.1　比较法在理解比较法的基础上，会用作差、作商两种形式的比较法比较两个代数式的大小，会用比较法证明较简单的不等式. 自学导引 1.因为a>b⇔a－b>0，要证a>b，只需要证a－b>0，同样要证ab，只需证eq \f(a,b)>1；如果a、b都是负数，要证a>b，只需证eq \f(a,b)<1. 基础自测 1.下列关系中对任意a1 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(a2)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b2 解析　ab2>0，∴lga2>lgb2，故选B. 答案　B 2.已知a>0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P、Q的大小关系是(　　) A.P>Q B.P1时，a3＋1>a2＋1，∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，当0loga(a2＋1)，综合以上两种情况知P>Q，故选A. 答案　A 3.设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，且ab≠1，a≠－2.则P、Q的大小关系是________. 解析　P－Q＝a2b2＋5－2ab＋a2－4a ＝(ab－1)2＋(a－2)2>0，∴P>Q. 答案　P>Q 知识点1　两代数式大小的比较【例1】已知x0，x－y<0， ∴－2xy(x－y)>0， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y). ●反思感悟：实数大小的比较常用a>b⇔a－b>0或“eq \f(a,b)>1，且b>0⇒a>b”来解决，比较法的关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的符号判断. 1.设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小. 解　eq \f(aabb,abba)＝aa－b·bb－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq \s\up12(a－b). 当a>b>0时，eq \f(a,b)>1，a－b>0，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq \s\up12(a－b)>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，01，于是aabb>abba. 综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba. 知识点2　作差比较法证明不等式【例2】设a>0，b>0，求证eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)))eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a)))eq \f(1,2)≥aeq \f(1,2)＋beq \f(1,2). 证明　方法一：左边－右边＝eq \f(（\r(a)）3＋（\r(b)）3,\r(ab))－(eq \r(a)＋eq \r(b)) ＝eq \f(（\r(a)＋\r(b)）（a－\r(ab)＋b）－\r(ab)（\r(a)＋\r(b)）,\r(ab)) ＝eq \f(（\r(a)＋\r(b)）（a－2\r(ab)＋b）,\r(ab))＝eq \f(（\r(a)＋\r(b)）（\r(a)－\r(b)）2,\r(ab))≥0. ∴原不等式成立. 方法二：左边>0，右边>0. eq \f(左边,右边)＝eq \f(（\r(a)＋\r(b)）（a－\r(ab)＋b）,\r(ab)（\r(a)＋\r(b)）) ＝eq \f(a－\r(ab)＋b,\r(ab))≥eq \f(2\r(ab)－\r(ab),\r(ab))＝1， ∴原不等式成立. ●反思感悟：用比较法证不等式，一般要经历作差(或作商)、变形、判断三个步骤，变形的主要手段是通分、因式分解或配方，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩. INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\Application Data\\Microsoft\\Word\\STARTUP\\INIS\\变式迁移.tif" \* MERGEFORMAT 2.设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 证明　3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b). 因为a≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0. 即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 知识点3　作商比较法证明不等式【例3】已知a>b>c>0，求证：aabbcc>(abc)eq \f(1,3)(a＋b＋c). 证明　∵eq \f(aabbcc,（abc）\f(1,3)（a＋b＋c）)＝aeq \f(2a－b－c,3)beq \f(2b－a－c,3)ceq \f(2c－a－b,3)＝aeq \f(a－b,3)＋eq \f(a－c,3)· beq \f(b－a,3)＋eq \f(b－c,3)·ceq \f(c－a,3)＋eq \f(c－b,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq \f(a－b,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq \f(a－c,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq \f(b－c,3). ∵a>b>0，∴a－b>0，eq \f(a,b)>1，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq \f(a－b,3)>1. 同理可证eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq \f(a－c,3)>1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq \f(b－c,3)>1， ∴aabbcc>(abc)eq \f(1,3)(a＋b＋c). ●反思感悟：作商后通常利用不等式的性质、指数函数的性质、对数函数的性质来判断商式与1的大小. INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\Application Data\\Microsoft\\Word\\STARTUP\\INIS\\变式迁移.tif" \* MERGEFORMAT 3.设m＝eq \f(|a|＋|b|,|a＋b|)，n＝eq \f(|a－b|,||a|－|b||)，那么它们的大小关系是m________n. 解析　eq \f(m,n)＝eq \f(\f(|a|＋|b|,|a＋b|),\f(|a－b|,||a|－|b||))＝eq \f(（|a|＋|b|）||a|－|b||,|a＋b|·|a－b|) ＝eq \f(|a2－b2|,|a2－b2|)＝1，∴m＝n. 答案　＝课堂小结 1.比较法有两种形式，一是作差；二是作商.用作差证明不等式是最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质. 2.步骤是：作差(商)―→变形―→判断.变形的目的是为了判断.若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把差式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系. 3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用. 随堂演练 1.a、b都是正数，P＝eq \f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，Q＝eq \r(a＋b)，则P，Q的大小关系是(　　) A.P>Q B.Pa，下面比较b，c.b－c＝1＋x－eq \f(1,1－x)＝eq \f(1－x2－1,1－x)＝－eq \f(x2,1－x)<0， ∴C最大，故应选C. 答案　C 3.下列命题： ①当b>0时，a>b⇔eq \f(a,b)>1； ②当b>0时，a0，b>0时，eq \f(a,b)>1⇔a>b； ④当ab>0时，eq \f(a,b)>1⇔a>b，其中真命题有(　　) A.①②③ B.①②④ C.④ D.①②③④ 解析　①②③正确，④中若a<0时不成立，故选A. 答案　A 4.若－1eq \f(1,b)，又∵a2，b2都为正数， ∴最小的为eq \f(1,b). 答案　eq \f(1,b) INCLUDEPICTURE "C:\\Documents and Settings\\Administrator\\Application Data\\Microsoft\\Word\\STARTUP\\INIS\\课时作业.TIF" \* MERGEFORMAT 基础达标 1.若a，b为不等的正数，则(abk＋akb)－(ak＋1＋bk＋1) (k∈N*)的符号(　　) A.恒正 B.恒负 C.与k的奇偶性有关 D.与a，b大小无关解析　(abk＋akb)－ak＋1－bk＋1 ＝bk(a－b)＋ak(b－a)＝(a－b)(bk－ak) ∵a>0，b>0，若a>b，则ak>bk，∴(a－b)(bk－ak)<0；若aQ D.P0，Q>0，∴P≤Q. 答案　B 3.对x1>x2>0，0y1y2 B.x1x2＝y1y2 C.x1x2

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