经典证明——Ptolemy定理的无字证明

经典证明Ptolemy定理的无字证明Ptolemy定理是平面几何中非常漂亮的定理圆内接四边形的对边乘积之和等于对角线的乘积具体地说如果把一个圆内接四边形的四条边顺次记为abcd把两条对角线的长度记为e和f那么一定有acbdefPtolemy是一个非常重要的定理由它出发可以得出很多推论例如在圆内接矩形上应用Ptolemy定httpwwwmatrix67comblogarchives2324理可以立即得到勾股定理下面是另外两个可以用Ptolemy定理来解决的问题证明httpwwwmatrix67comblogarchives2324httpwwwmatrix67comblogarchives4018余弦定理以及构造两两间的距离都是整数的点集WilliamDerrick和JamesHirstein在最近的TheCollegeMathematicsJournal上给出了下面这个Ptolemy定理的无字证明你能看明白吗左图是一个圆内接四边形由于同弧所对的圆周角相等因而图中会产生四对相等的角我们用来标记由于圆内接四边形对角互补因此有180现在把阴影三角形放大到原来的f倍这个三角形的三边将会变为afbfef把红色三角形放大到原来的b倍于是三条边的长度将会变为babdbf注意到两个放大后的三角形都有一条长为bf的边同样地把蓝色三角形放大a倍三边长将变为abacaf它和放大版的阴影三角形都有一条长度为af边因此我们可以像右图那样把三个放大版的三角形拼到一起由于180因此右图中上面那三个点是共线的整个图形是一个四边形观察四边形四个内角的关系可以很快看出这个四边形是一个平行四边形因而它的上下两条对边应该相等于是有acbdefhttpwwwcuttheknotorgproofsPtolemyTheoremPWWshtml来源httpwwwcuttheknotorgproofsPtolemyTheoremPWWshtml