高等数学笔记系统 @符号

前言笔记规则表示定义收敛发散所感所悟平时要适当练习不然复习周鸭梨很大平时的练习注意应写在一个本子上比较方便管理如果老师作业多则写在纸上用活页文件夹装订考试技巧考试做完题最重要的是再把题读一遍确保没有读错题的读题时用气声不要陷入惯性思维不能发现错误第一章函数与极限初等函数由五类基本初等函数经过有限次加减乘除及复合运算并能用一个式子表达的函数定理个人成果设是初等函数则在的公共定义域内也是初等函数其中称为定界系数注意显然该函数存在断点最值函数三角函数定理指数函数极限原则隐蔽的函数关系第二章导数与微分第三章微分中值定理与导数应用第四章不定积分三角函数微积分性质过于复杂不必背诵一般采用分步积分法记忆法则st开头求导皆为正积分皆为负c开头反之In同求导算第五章定积分三角积分说明三角积分1原理循环区间内积分为0三角积分2原理奇偶函数之积三角积分3原理积化和差后利用三角积分1证明三角积分4原理与三角积分3相似积化和差后利用三角积分1证明三角积分5原理利用分部积分法求出递推关系第六章定积分的应用极坐标扇形面积旋转体体积曲线弧长类型公式记忆图形参数方程直角坐标1极坐标第七章微分方程微分方程基本概念微分方程未知函数及其导数的关系式微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数微分方程的解能使微分方程恒成立的函数微分方程的通解含有与微分方程阶数相同个数的任意常数的解微分方程的特解确定了通解中的常数后的解可分离变量微分方程可分离变量的微分方程形式隐式通解解法分离函数变量两端积分解出y齐次方程齐次方程能化成的微分方程解法代入即可一阶线性微分方程一阶非齐次线性方程形式若则为一阶齐次线性方程解法一阶齐次线性方程分离变量两端积分化简一阶非齐次线性方程常数变易法注意第一个指数积分有负号可降价的高阶微分方程高阶微分方程二阶及以上的微分方程解法型连续积分n次即可型将看作遂降级为一阶微分方程型将看作自变量为因变量为一阶导数与因变量之积化为一阶微分方程求出的关系后再将作因变量求解高阶线性微分方程二阶齐次线性方程形式定理齐次非齐次解的关系齐通奇特奇特两个奇特须线性无关非齐通齐通非齐特齐通非齐通非齐特非奇特奇特非齐特奇特非齐特非齐特应用由3个线性无关的非齐特可求出非齐通线性组合定理如果函数与是二阶齐次线性微分方程的解那么也是该方程的解其中为任意常数即n阶齐次方程只须获得n个特解线性无关即可求出其通解和函数定理若非齐次线性方程右端为两函数之和即而分别为方程与的特解那么是原方程的特解常系数齐次微分方程二阶常系数齐次线性微分方程解法解的形式代入得第一步特征方程第二步求解特征方程第三步是两个不相等实根是两个相等实根是两个共轭复根常系数非齐次微分方程二阶常系数非齐次微分方程求解方法求出齐次方程的通解即非齐次方程的特解即可求特解方法型令将代入微分方程使其左端与右端同次数系数相同解出解的所有常系数其中按照是否为特征根方程的解决定值时0时1时2型令将代入微分方程使其左端与右端同次数系数相同解出解的所有常系数根据不是是特征方程的单根依次取01第八章空间几何向量及其线性运算向量概念有方向有大小的量单位向量模1的向量零向量模0的向量向量夹角记作向量平行向量共线定理存在唯一实数使四象八卦方向角与方向余弦方向角非零向量与3条坐标轴夹角称为向量的方向角方向余弦方向角的余弦向量的投影向量在平面的投影是其投影向量的模长是一个数而非向量在平面u上的投影记作或性质1性质2性质3数量积向量积混合积数量积点积内积满足交换律分配率数与向量的结合律向量积叉积外积结果为向量方向垂直于原向量所在平面与原向量按顺序满足右手规则满足变号交换律分配率数与向量的结合律混合积表示平行六面体体积可以用于判定3向量或4点共面曲面及其方程旋转曲面旋转曲面一条平面曲线绕该平面上的一条特定直线旋转一周所形成的曲面旋转轴以上特定直线柱面柱面平行直线l沿特定轨迹C移动所形成的轨迹准线以上C母线以上l二次曲面二次曲面曲面方程为三元二次方程球面椭球面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面椭圆锥面椭圆抛物面双曲抛物面经验z正为球面否则有常数y正为单叶y负为双叶无常数有二次项为圆锥有一次项为抛物面y正为椭圆y负为双曲空间曲线及其方程空间曲线一般方程空间曲线参数方程螺线空间曲线在坐标面上的投影以在z轴投影为例将曲线方程消去变量z后与z0联立即可平面与直线方程说明为直线l的方向向量形式方程备注空间平面一般式点法式三点式截距式点线式上式为过直线平面束下式为过定点代入求出即得平面空间直线一般式对称式mnp可以为0无数学分母意义xyz系数必为1两点式参数式当s为方向向量时t为点到的距离夹角定理应用二面角余弦线面角正弦线线角余弦影长定理d表示在直s上的投影应用平行面距离异面直线距离射长定理FYHd表示在S垂直的平面上的投影线面关系直线一般式转化为对称式直线一般式的两个平面的法向量叉乘即得直线的方向向量啦注意前后两项都是为正对角线中间一个是为正对角线直线平面的平行垂直平面与平面直线与直线平行对应系数成比例且常数项不成比例否则重合垂直直线与平面平行且直线上存在一点不再平面内垂直对应系数成比例直线夹角面面夹角线面夹角点到直线距离点线面到面距离判断两面平行与重合平行重合求异面直线的距离射长定理的应用判断二直线三向量或四点共面二直线方向向量为然后在二直线上各任取一点构成联系向量三向量直接作代入四点任取一点作原点构造成三向量即可进一步方法判断混合积是否为0是则共面否则则异面说明本方法是求异面直线的距离的特殊形式点在面上的投影要点点和其投影所成向量平行于法向量投影在平面上线在面上投影要点构建过线平面簇构造平面垂直于原平面二面联立得直线求垂直于已知二向量的向量叉乘即可平行面距离公式第九章多元函数微分法第一节多元函数基本概念聚点边界内的点边界上的点多元函数有极限以任何方式趋近于指定点极限均为A多元函数有连续性有极限且极限等于函数值间断点不连续的点性质1有界性与最大值最小值定理有界闭区间D上的多元连续函数必在D上有界且取得最值性质2介值定理有界闭区间D上的多元连续函数必取得介于最大最小值之间的任何值性质3一致连续性定理有界闭区间D上的多元连续函数必在D上一致连续一致连续与普通连续的区别不懂求极限遇到求极限时令代入求极限若求出定值且不为则极限存在为该值否则极限不存在第二节偏导数偏导数固定y对x的导数记作高阶偏导数求导顺序与表达式关系分母从左往右求导顺序从前到后定理如果函数的混合偏导数在某区域D内连续则D内求导结果与求导顺序无关第三节全微分全微分成立要求偏导连续可微连续可导注意连续与可导没有关系定理2充分条件如果函数偏导数均在某点连续则改点可微第四节多元复合函数求导法则链式求导法则对求导起点到求导终点的所有路径进行求导虚拟函数的求导FYH虚拟函数对自变量转化为先对中间变量求导再对自变量求导虚拟函数对中间变量用虚拟函数导数符表示上问号是若干个单引号下问号是字母中间变量对自变量直接求出结果注意当题目有提示具有二阶连续偏导数时通常都有求导完毕后注意合并混合偏倒数注意根据考察书上绝大部分虚拟函数符号下标都是用字母由于不确定用数字是否能获得老师认可所以应当尽量使用字母全微分形式的不变性全微分形式的不变性不论是自变量还是中间变量指定函数的全微分形式相同如下第五节隐函数求导法则单方程隐函数求导公式为隐函数对x求导结果整导法对函数进行整体求导并解方程得到结果高阶偏导数记得要先求出低阶对应偏导数后续需要代入消元方程组整导法FYH该方法用于求导及求极值方法求导前变量数受限变量自由变量受限变量数方程数为了防止出错应当将受限变量的名单写在题目旁边每次都要对它们求导易错根据求导变量画出所有函数函数等式链条图对自变量求导除自变量外自由变量作常数看待所有函数对中间变量求导均使用函数符表示受限变量作中间变量看待解方程将所有中间变量对自变量的偏导数作为未知数消去求出应求的偏导数第六节多元函数微分学的几何应用一元向量值函数及其导数定义若则为一元向量值函数一元向量值函数自变量为数因变量为向量性质其极限存在性连续性可导性求导法则类似普通函数空间曲线的切线及法平面切线求出导数利用直线对称式即可求出法平面求出导数利用平面点法式即可求出曲面的切平面与法线求出法向量设在曲面F上的任意曲线其参数方程为该曲线在点处方向向量恒垂直于改点F法向量得对自变量t求导得所以法向量为第八节多元函数的极值及其求法驻点使同时成立的点极值定理1必要条件设函数在点有偏导数且有极值则定理2充分条件设函数在点的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数又令则有极值A无极值不能确定须另作讨论条件极值拉格朗日乘数法求中的极值点对求导并由求解出得代入化简后令得联立解出即得到可能极值点第十章重积分二重积分的概念和性质概念重积分被积函数被积表达式面积元素积分变量xy积分区域D积分和性质性质1二重积分算数分配率性质2二重积分积分区域分配率性质3性质4如果在区间D上则性质5设Mm分别为在区间D上的最大小值是D的面积则性质6二重积分中值定理二重积分计算法画出积分区域无论题目是否给出重积分表达式都应当画出积分区域如果未给出表达式则应考虑选用极坐标还是直角坐标作为X还是Y型积分区域如果已给出表达式则应考虑是否需要转换积分顺序积分限的划分直角坐标系X型积分区域左右平齐积分时先y后xY型积分区域上下平齐积分时先x后y极坐标系当积分限为圆形且原点为积分限圆心或圆周优先考虑使用极坐标注意原点为圆心时积分上下限为原点为圆周时积分上下限为注意中前一个要乘进被积函数中计算拆分法拼合法对称积分限注意考察函数的对称性简化计算函数的对称性有时体现在函数的一部分积分限的对称性也是如此对这一部分使用对称性化简也可大大简化计算第十二章无穷级数常数项级数概念和性质级数的部分和数列代表级数前n项的和定义若部分和数列极限为s则称该级数收敛s为级数的和若部分和数列无极限则称该级数发散在相同值上下震动的级数也为发散余项特殊级数等比级数时收敛于记住此公式发散常数幂级数时收敛时发散特别的a1p1时为调和级数发散是敛散边界性质性质1级数的数乘应用级数各项乘以非0常数敛散性不变性质2在公共收敛域内级数符合加法分配率应用收敛收敛收敛收敛发散发散发散发散可能发散也可能收敛交错项级数相加抵消性质3级数中加上减去改变有限项不该变其收敛性性质4仅充分条件对收敛级数的任意项加括号后形成的新的级数仍收敛且和不变应用收敛并项仍收敛并项发散必发散性质5仅必要条件若级数收敛则其一般项趋于0常数项级数审敛法正项级数各项均为正数或零的级数交错项级数各项是正负交错的级数柯西审敛原理正项级数审敛法1基本审敛法正项级数收敛部分和数列有界非正项不一定成立震动型2比较审敛法发散则发散收敛则收敛3极限比较审敛法常用令收敛则收敛发散则发散4比值审敛法最常用令发散收敛可能收敛也可能发散5根值审敛法是比值审敛法的推论发散收敛可能收敛也可能发散说明5个审敛法对非正项级数的均不成立易错定理1反例定理2反例很容易找定理34反例此时定理5未发现反例不做讨论交错级数审敛法莱布尼兹定理级数收敛且绝对收敛与条件收敛绝对收敛级数各项绝对值所构成的正项级数收敛条件收敛级数收敛但各项绝对值所构成的正项级数发散定理若级数绝对收敛则级数收敛附加定理级数的夹逼准则定理证明说明证明法构造了两个新的差值级数这种方法在函数题中挺常见是个不错的思维综合审敛法FYH审敛程序判断无穷替换无穷比阶为分界点到此已判断出敛散性以下两步用于求幂函数收敛半径分部求比值取倒验端点比阶数轴定理有限个低阶式通过有限次四则运算后的结果仍远小于高阶式证明最后两项的大小关系幂级数函数项级数级数的每一项都为一个函数表达式幂级数即各项均为幂函数的级数收敛点时收敛则称为收敛点发散点时发散则称为收敛点收敛域全体收敛点的集合发散域全体发散点的集合和函数和函数定理若幂级数的和函数在其收敛域内连续则右端为逐项求导积分此定理常用于求幂级数的和函数步骤微积分转化通过逐项积分或求导使其表示为等比级数的积分或导数等比级数替换对转化的等比级数使用和函数公式注意其a不为1或q不为x陷阱求微积分对微积分式求导或积分使其转化为普通式至此和函数求得代入x值用于求和而非求和函数时代入x求出级数和敛散域定理推论当xR时可能发散也可能收敛收敛半径R收敛区间RR与收敛域相比收敛区间无条件去除端点应用如果关于收敛中心对称的两个点敛散性不同则这两个点为收敛域边界比值审敛法幂级数推论注意当x指数非自然数增长时该推论不可用须使用比值审敛法直接推导技巧应用综合审敛法函数展开成幂级数函数能展开成幂级数在指定函数某个区间内存在某幂级数的和函数为该函数泰勒级数泰勒展开式比泰勒级数多了自变量限定定理函数能展开成泰勒级数泰勒公式余项5个重要函数的幂级数麦克劳林展开式麦克劳林展开式即泰勒展开式中的情形求麦克劳林展开式步骤代入求出各阶导数时通式若出现某阶在处导数不存在则停止求导说明该函数该处不可展开为求麦克劳林展开式写出幂级数并求出收敛半径R考察在收敛区间上余项的极限是否为0若是则求得幂级数展开式若不是则无