上海市春季高考数学试卷及答案

2009年上海市普通高等学校春季招生考试 数 学 试 卷 考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码. 2.本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟. 一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1．函数
的定义域是 . 2．计算：
（
为虚数单位）. 3．函数
的最小正周期
. 4．若集合
，集合
，则
. 5．抛物线
的准线方程是 . 6．已知
. 若
，则
与
夹角的大小为 . 7．过点
和双曲线
右焦点的直线方程为 . 8．在△
中，若
，则
等于 . 9．已知对于任意实数
，函数
满足
. 若方程
有2009个实数解， 则这2009个实数解之和为 . 10．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个 字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey” 的概率为 （结果用数值表示）. 11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数 轴上截取与闭区间
对应的线段，对折后（坐标1 所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作 （例如在第一次操作完成后，原来的坐标
变成
，原来的坐标
变成1，等等）. 那么原闭区间
上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与 1重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间
上（除两个端点外）的点， 在第
次操作完成后（
），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 . 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分. 12．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 [答] ( ) （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件. 13．过点
与圆
相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线 方程是 [答] ( ) （A）
. （B）
. （C）
. （D） EMBED Equation.3 
. 14．已知函数 EMBED Equation.3 
若 EMBED Equation.3 
，则 EMBED Equation.3 
的取值范围是 [答] ( )  （A） EMBED Equation.3 
. （B） EMBED Equation.3 
或 EMBED Equation.3 
. （C） EMBED Equation.3 
. （D） EMBED Equation.3 
或 EMBED Equation.3 
. 15．函数 EMBED Equation.3 
的反函数图像是 [答] ( ) 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 16. (本题满分12分) 如图，在斜三棱柱 EMBED Equation.3 
中， EMBED Equation.3 
  EMBED Equation.3 
， EMBED Equation.3 
，侧棱 EMBED Equation.3 
与底面所成的 角为 EMBED Equation.3 
， EMBED Equation.3 
， EMBED Equation.3 
. 求斜三棱柱 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 的体积 EMBED Equation.3 
. 17. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列 EMBED Equation.3 
的前 EMBED Equation.3 
项和为 EMBED Equation.3 
， EMBED Equation.3 
，且 EMBED Equation.3 
（ EMBED Equation.3 
为正整数）. （1）求数列 EMBED Equation.3 
的通项公式； （2）记 EMBED Equation.3 
. EMBED Equation.3 
若对任意正整数 EMBED Equation.3 
， EMBED Equation.3 
恒成立，求实数 EMBED Equation.3 
的最大值. 18. (本题满分14分)  我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径 EMBED Equation.3 
百公里）的中心 EMBED Equation.3 
为一个焦点的椭圆. 如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点） EMBED Equation.3 
到火星表面的距离为 EMBED Equation.3 
百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点） EMBED Equation.3 
到火星表面的距离为800百公里. 假定探测器由近火星点 EMBED Equation.3 
第一次逆时针运行到与轨道中心 EMBED Equation.3 
的距离为 EMBED Equation.3 
百公里时进行变轨，其中 EMBED Equation.3 
、 EMBED Equation.3 
分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）. 19. (本题满