2024年重庆市高考数学三诊试卷（含解析）.doc

第1页共14页2024年重庆市高考数学三诊试卷一单选题本题共8小题每小题5分共40分在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的已知集合119860119909119909210集合119861119886111988613若119860119861则1198861设复数满足21199111198941199111则的虚部为13133已知一种服装的销售量119910单位百件与第周的一组相关数据统计如表所示若两变量的经验回归方程为1199101311990979则119886若圆锥的母线长为且母线与底面所成角为1205874则该圆锥的侧面积为21205872120587221205874120587重庆某高校去年招收学生来自成渝地区人除成渝外的西部地区人中部地区人东部地区人港澳台地区人学校为了解学生的饮食习惯拟选取人作样本调研为保证调研结果的代表性则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为119862240040119862240024119862240012119862240010已知119891119909是定义域为的奇函数且满足11989111990911989121199090则1198912011当点11987510到直线312058211199091205821119910412058220的距离最大时实数120582的值为12已知12057201205873且2sin21205724cos1205723cos3120572则cos2120572291379223二多选题本题共3小题共18分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得6分部分选对的得2分有选错的得0分命题存在1199090使得1198981199092211990910为真命题的一个充分不必要条件是第2页共14页1198982119898111989801198981已知双曲线1199092211991021205821205820则其离心率可能为3262若函数119891119909119886ln11990921199092119887119909既有极小值又有极大值则1198861198871198861198872161198860119886119887三填空题本题共3小题每小题5分共15分已知单位正方形点是边上一点若1198611198642119862119864则119860119864119862119864已知1198871198860log4119886log21198871且lg119886lg119887则119886119887已知棱长为的正方体1198601198611198621198631198601119861111986211198631内有一个动点满足1198721198601198721198631且1198721198611则四棱锥11987211986011986311986311198601体积的最小值为四解答题本题共5小题共77分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题分已知函数1198911199091198901199091199091198861当1198861时求119891119909在点01198910处的切线方程2若119891119909在区间0上单调递增求实数的取值范围本小题分已知函数1198911199093sin212059611990912058731205960的最小正周期为1205871求函数119891119909的单调递增区间2已知119860119861119862的三边长分别为其所对应的角为且11989111986032119860119861119860119862231198865求该三角形的周长本小题分我市开展了暖冬计划活动为高海拔地区学校加装供暖器按供暖器的达标规定学校供暖器的噪声不能超过分贝热效率不能低于70某地采购了一批符合达标要求的供暖器经抽样检测这批供暖器的噪声单位分贝和热效率的频率分布直方图如图所示第3页共14页假设数据在组内均匀分布且以相应的频率作为概率1求的值2如果供暖器的噪声与热效率是独立的从这批供暖器中随机抽件求恰有件噪声不超过分贝且热效率不低于90的概率3当11990990100设供暖器的噪声不超过119909502分贝的概率为1199011供暖器的热效率不低于119909的概率为1199012求11990111199012的取值范围本小题分设圆119909211991022119909880与抛物线119910221199011199091199010交于两点已知119864119865161求抛物线的方程2若直线41199093119910160与抛物线交于两点点在第一象限动点119872异于点119861在抛物线上连接过点作119860119873119872119861交抛物线于点设直线与直线交于点当点在直线的左边时求点的轨迹方程119875119860119861面积的取值范围本小题分已知1198994且119899119873设是空间中个不同的点构成的集合其中任意四点不在同一个平面上119889119860119861表示点间的距离记集合1205911198781198891198601198611198601198611198781198601198611若四面体满足119860119861平面119861119862119862119863且1198601198611198611198621198621198631求二面角119862119860119863119861的余弦值若119878119860119861119862119863求1205911198782证明41198881198861199031198891205911198781198991参考公式119909121199092211990911989921119899119909111990921199091198992第4页共14页答案和解析答案解析解集合11986011990911990921011集合119861119886111988613若119860119861则1198860故选119861根据集合的包含关系求解本题考查集合间关系的应用属于基础题答案解析解设119911119886119887119894119886119887都为实数因为复数满足21199111198941199111所以211988621198871198941198941198861198871198941即211988611988721198871198861198941则2119886119887121198871198860解得11988713故选119860由已知结合复数的四则运算及复数的基本概念即可求解本题主要考查了复数的四则运算及复数基本概念的应用属于基础题答案解析解由题意可知11990915123453119910156611988631161198865两变量的经验回归方程为1199101311990979则13379161198865解得1198864故选119862先求出的平均值再结合线性回归方程的性质即可求解本题主要考查线性回归方程的性质属于基础题答案第5页共14页解析解圆锥的母线长为母线与底面所成角为1205874所以底面圆的半径为1199032sin12058742所以该圆锥的侧面积为119878侧1205872222120587故选119862由题意求出圆锥底面圆的半径再计算圆锥的侧面积本题考查了圆锥的结构特征应用问题是基础题答案解析解为保证调研结果的代表性设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取人则1198992400402400200014001800400则11989912即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为119862240012故选119862由分层抽样结合组合问题求解本题考查了分层抽样重点考查了组合问题属基础题答案解析解根据题意119891119909是定义域为的奇函数则119891119909119891119909且11989100又由119891119909满足11989111990911989121199090即1198912119909119891119909则有1198912119909119891119909变形可得1198911199092119891119909即函数119891119909是周期为的周期函数故1198912011989100故选119861根据题意先分析函数的周期由奇函数的性质可得11989100由此分析可得答案本题考查函数奇偶性的性质以及应用涉及函数值的计算属于基础题答案解析解直线312058211199091205821119910412058220整理得1205823119909119910411990911991020由31199091199104011990911991020可得11990911199101故直线恒过点11986011点11987510到11986011的距离119889max1120125第6页共14页故119896119875119860101112即直线312058211199091205821119910412058220的斜率119896312058211205821故312058211205821121解得1205821故选119861直接利用直线的方程和定点直线系以及点到直线的距离即可求解本题考查了直线的方程定点的直线系主要考查学生的理解能力和计算能力属于中档题答案解析解因为12057201205873所以cos12057200因为2sin21205724cos1205723cos3120572所以4sin120572cos1205724cos1205723cos3120572所以4sin12057243cos2120572431sin2120572解得sin12057213或sin1205721舍则cos212057212sin2120572121979故选119862结合二倍角公式及同角基本关系对已知等式进行化简求出sin120572然后结合二倍角公式即可求解本题主要考查了二倍角公式在三角化简求值中的应用属于中档题答案解析解存在1199090使得1198981199092211990910即11989812119909119909211199092211199091119909121即1199091时121199091199092的最小值为1故1198981所以命题存在1199090使得1198981199092211990910为真命题的一个充分不必要条件是1198981198981的真子集结合选项可得符合条件的答案为119862119863故选119862119863第7页共14页转化为119898121199091199092结合二次函数的性质求得1198981进而求解结论本题考查了不等式的性质充要条件的判定方法考查了推理能力与计算能力属于中档题答案解析解当1205820时原方程化为1199092120582119910212058221此时11988621205821198872120582211988821198862119887231205822由11989021198882119886232可得11989062当120582此时119886212058221198872120582119888211988621198872312058221198902119888211988623可得1198903其离心率可能为3或62故选119861119863对120582分类化原方程为双曲线的标准方程求出与的值则答案可求本题考查双曲线的几何性质考查分类讨论思想是中档题答案解析解119891119909119886119909411990911988741199092119887119909119886119909119891119909119886ln11990921199092119887119909既有极小值又有极大值411990921198871199091198860在0上有两个不同的实数根12054911988721611988601198874011988640119887216119886011988701198861198861198870显然119886119887故选119860119861119862可求出导函数11989111990941199092119887119909119886119909根据题意知411990921198871199091198860在0上有两个不同实数根然后即可得出正确的选项本题考查了基本初等函数的求导公式极大值和极小值的定义韦达定理是基础题答案29第8页共14页解析解已知单位正方形点是边上一点又1198611198642119862119864则11986011986411986211986411986011986111986111986411986211986411986011986123119861119862131198611198621311986011986111986111986229119861119862229故答案为29由平面向量的线性运算结合平面向量数量积的运算求解本题考查了平面向量的线性运算重点考查了平面向量数量积的运算属中档题答案174解析解因为1198871198860log4119886log2119887log4119886log41198872log411988611988721所以11988611988724因为lg119886lg119887所以lg119886lg1198870即1198861198871所以119887411988614则119886119887174故答案为174由已知结合对数的运算性质可分别求出进而可求119886119887本题主要考查了对数的运算性质的应用属于基础题答案1326解析解如图所示设11986111986211198611119862119867易知1198601198631平面11986011198631198621198611且平面11986011198631198621198611平分线段1198601198631第9页共14页1198721198601198721198631且1198721198611119872在线段1198601198631的垂直平分面11986011198631198621198611与以为球心为半径的球面的交线上又1198611198621平面11986011198631198621198611119861到平面11986011198631198621198611的距离为1198611198621的一半即为11986111986722又119872119861111987211986722119872在平面11986011198631198621198611内且以为圆心22为半径的半圆弧上119872到平面11986011986311986311198601的距离的最小值为122四棱锥11987211986011986311986311198601体积的最小值为13111221326故答案为1326根据题意可得在线段1198601198631的垂直平分面11986011198631198621198611与以为球心为半径的球面的交线上设11986111986211198611119862119867从而可得在平面11986011198631198621198611内且以为圆心22为半径的半圆弧上再根据锥体的体积公式计算即可求解本题考查动点轨迹问题四棱锥的体积的最值的求解化归转化思想属中档题答案解1当1198861时119891119909119890119909119909111989111990911989011990911990911198901199091199091211990911989011990911990912则1198910111989100所以当1198861时119891119909在点01198910处的切线方程为1199101211989111990911989011990911990911988611199091198862因为119891119909在区间0上单调递增第10页共14页所以119891119909119890119909119909119886111990911988620在区间0上恒成立即11990911988610在区间0上恒成立所以1198861119909在区间0上恒成立因为当1199090时11199091所以1198861即的取值范围是1解析1求出119891119909解析式再对119891119909求导从而可得11989101198910从而可得切线方程2求出119891119909的导函数由题意可得1198911199090在区间0上恒成立参变量分离即可求解的取值范围本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程利用导数研究函数的单调性考查运算求解能力属于中档题答案解1函数1198911199093sin212059611990912058731205960的最小正周期为120587所以21205872120596120587即1205961所以1198911199093sin21199091205873令120587221198961205872119909120587312058722119896120587119896119885所以函数119891119909的单调递增区间为512058712119896120587120587121198961205871198961198852因为1198911198603sin2119860120587332所以sin2119860120587332解得1198601205876因为119860119861119860119862119887119888cos1198603211988711988823所以1198871198884由余弦定理1198862119887211988822119887119888cos119860得51198872119888243所以119887119888211988721198882211988711988813432312所以119887119888231则119860119861119862的周长为1198861198871198882315解析1依题意求出120596的值再将21199091205873代入正弦函数的单调递增区间中即可求出函数119891119909的单调递增区间2求出的值由条件结合余弦定理可求三角形的周长本题考查了正弦函数的性质考查了余弦定理的应用考查了整体思想属于中档题答案解1由题意得00100311988600611988600251解得119886004000800211988700400600451解得1198870032第11页共14页2供暖器的噪声不超过分贝的概率为005其热效率不低于90的概率为030205每件供暖器噪声和热效率符合题意的概率为050050025抽件中恰有件符合题意的概率为11986221002509750048753119909901001199095022025则11990110011199099020005119909045当11990990951199012951199090060259006119909119901111990125450055119909则11990111199012022505当1199099510011990121001199090044004119909119901111990123550035119909则11990111199012005022511990111199012的取值范围是00505解析1直接根据频率分布直方图的性质求解即可2利用二项分布的概率公式求解即可3分别求出11990111199012可得119901111990123550035119909再根据11990990100即可求解本题考查频率分布直方图二项分布等基础知识考查运算求解能力是中档题答案解1圆化为标准方程11990912119910289则圆心11986310半径为89设与轴交于点如图圆和抛物线都关于轴对称则两点也关于轴对称11986411986516第12页共14页在1198771199051198641198661198631198641198668119863119864891198631198665则1198741198664抛物线过点48即8221199014则1199018则抛物线方程为1199102161199092由41199093119910160119910216119909解得点119860141198611616则11986011986125设动点119872119910021611991001199100416则直线的斜率为1611991004直线119872119860119910161199091119910044直线的斜率为16119910016直线1198601198731199101611991001611990914将抛物线代入直线得11991021199100161199101641199100160解得点119873119910020216119910020则直线的斜率为16119910036直线119861119873119910161199091611991003616联立119910161199091119910044119910161199091611991003616消去1199100化简得11991026119910328119909又点在直线的左边则41199093119910161199102611991032又1199100416119910161199091119910044119910161199091611991003616解得119910616点的轨迹方程为1199102611991032811990916设119875119909119910则到直线的距离11988941199093119910165又11991026119910328119909则1198891211991026119910325119878119875119860119861122512119910261199103255119910621004又161199106210001001198781198751198601198610125第13页共14页解析1由已知条件可求得抛物线过点48即可2先求出点119860141198611616设动点119872119910021611991001199100416由题意可求得直线119872119860119910161199091119910044直线1198601198731199101611991001611990914直线119861119873119910161199091611991003616然后消去直线与直线中1199100即可由题到直线的距离1198891211991026119910325然后由三角形面积公式结合二次函数的知识即可求解本题考查了直线与抛物线的综合应用属于难题答案解1以为原点119862119863方向为轴的正方向建立空间直角坐标系如图则119862000119863100119861010119860011119862119860011119862119863100119861119863110119860119863111设平面的法向量119898119909119910119911则11989811986211986001198981198621198630即11991011991101199090取119898011设平面的法向量为119899119886119887119888则11989911986011986301198991198611198630即11988611988711988801198861198870取119899110所以cos11989811989911989811989912212即二面角119862119860119863119861的余弦值为12119860119861119861119862119862119863111986111986311986011986221198601198633所以1199031198781232设11988811988611990311988911990311987811989611990311987811988911198892119889119896下证11989611989914设中任意不同的两点的1198621198992个距离中距离等于119889119894的有119909119894个1198941则119862119899211990911199092119909119896记中个不同点分别为11986011198602119860119899设到点119860j的距离等于119889119894的点的个数为119909119894j个119894121198951119899则11990911989411199091198942119909119894119899211990911989411989412119896第14页共14页所以11990911989411199091198942119909119894119899119909211199092211990921198991199091198961119909119896211990911989611989911990911989611199091198962119909119896119899119909119894j119899j1119896119894121198621198992考虑由中的点构成的满足119889119860119861119889119860119862的点组119860119861119862的个数119873119878一方面当取119860j11989512119899时这样的点组有119862119909119894j21198961198941个故有119873119878119862119909119894j21198961198941119899j1另一方面因为中任意四个点不共面所以对任119861119862点的选取至多有种故有11987311987831198621198992所以119873119878119862119909119894j21198961198941119899j1119862119909119894j2119899j1119896119894112119899j11198961198941119909119894j2119909119894j12119909119894j2119899j11198961198941119862119899212119909119894j119899j1211989911989611989411198621198992211989911990911989421198961198941119862119899221198991198961199091198941198961198941211986211989922119899119896119862119899221198621198992结合得21198991198961198621198992411989611989914解析1建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量利用向量夹角公式即可求解根据条件1198601198611198611198621198621198631得出11986111986311986011986221198601198633即可求解2设11988811988611990311988911990311987811989611990311987811988911198892119889119896从两个方面结合参考公式给出证明即可本题考查空间向量的应用以及组合数的应用属于难题