2024年江西省南昌市高考数学二模试卷（含解析）.doc

第1页共18页2024年江西省南昌市高考数学二模试卷一单选题本题共8小题每小题5分共40分在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的已知向量1198861211988723则1198861198872468设复数119911满足11991112119894119911则119911122212已知集合119860119909119897119899119909011986111990921199092则119909119860是119909119861的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件已知1198911199091199092211990911990923033在三棱锥119860119861119862119863中119860119861平面11986111986211986311986011986131198611198621198611198631198621198632119864119865分别为119860119862119862119863的中点则下列结论正确的是119860119865119861119864是异面直线119860119865119861119864119860119865119861119864是相交直线119860119865119861119864119860119865119861119864是异面直线119860119865与119861119864不垂直119860119865119861119864是相交直线119860119865与119861119864不垂直已知2119888119900119904211990912058712cos11990912058712119888119900119904311990914则sin1205876211990912127878已知双曲线1198621199092119886211991021198872111988601198870的左右焦点分别为11986511198652双曲线的右支上有一点1198601198601198651与双曲线的左支交于119861线段1198601198652的中点为119872且满足1198611198721198601198652若119865111986011986521205873则双曲线119862的离心率为3567第2页共18页校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯如图奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥119875119860119861119862的三个侧面沿119860119861119861119862119860119862展开得到面119875111986011986111987521198611198621198753119860119862使得平面119875111986011986111987511198611198621198753119860119862均与平面119860119861119862垂直再将球119874放到上面使得119875111987521198753三个点在球119874的表面上若奖杯的总高度为62且1198601198614则球119874的表面积为14012058731001205879981205879321205873二多选题本题共3小题共18分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关甲乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查得到如下两个表格甲校样本喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性15520女性81220合计231740乙校样本喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性7030100女性4555100合计11585200则下列判断中正确的是参考公式及数据120594211989911988611988911988711988821198861198871198881198891198861198881198871198891198991198861198871198881198891205720100100011199091205722706663510828第3页共18页样本中甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例样本中甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例根据甲校样本有99的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关根据乙校样本有99的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关已知1198911199091199091198861198881199001199041199091198860则下列说法中正确的是119891119909在119877上可能单调递减若119891119909在119877上单调递增则119886100112058721205872是119891119909的一个对称中心119891119909所有的对称中心在同一条直线上已知1198601198614119872为119860119861上一点且满足1198601198723119872119861动点119862满足1198601198622119862119872119863为线段119861119862上一点满足119862119863119863119872则下列说法中正确的是若119862119872119860119861则119863为线段119861119862的中点当1198601198623时119860119861119862的面积为154点119863到119860119861距离之和的最大值为5119872119862119861的正切值的最大值为33三填空题本题共3小题每小题5分共15分在119860119861119862中角119860119861119862所对的边分别为119886119887119888若1198861199041198941198991198612119887119888119900119904119860则119905119886119899119860一次知识竞赛中共有1198601198611198621198631198645个题参赛人每次从中抽出一个题回答抽后不放回已知参赛人甲119860题答对的概率为34119861题答对的概率为14119862119863119864题答对的概率均为12则甲前3个题全答对的概率为如图有一张较大的矩形纸片1198601198611198621198631198741198741分别为119860119861119862119863的中点点119875在1198741198741上1198741198752将矩形按图示方式折叠使直线119860119861被折起的部分经过119875点记119860119861上与119875点重合的点为119872折痕为119897过点119872再折一条与119861119862平行的折痕119898并与折痕119897交于点119876按上述方法多次折叠119876点的轨迹形成曲线119864曲线119864在119876点处的切线与119860119861交于点119873则119875119876119873的面积的最小值为四解答题本题共5小题共77分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第4页共18页本小题13分已知数列119886119899的前119899项和为119878119899且满足1198861111988623119886119899119886119899211989611988611989911当1198962时求119878102若11989652设11988711989911988611989912119886119899求119887119899的通项公式本小题15分一条生产电阻的生产线生产正常时生产的电阻阻值119883单位120570服从正态分布1198731000521生产正常时从这条生产线生产的电阻中抽取2只求这两只电阻的阻值在区间9951000和10051010内各一只的概率精确到00012根据统计学的知识从服从正态分布1198731205831205902的总体中抽取容量为119899的样本则这个样本的平均数服从正态分布1198731205831205902119899某时刻质检员从生产线上抽取5只电阻测得阻值分别为10001007101210131013单位120570你认为这时生产线生产正常吗说明理由参考数据若1198831198731205831205902则1198751205831205903120590本小题15分已知椭圆119862119909211988621199102119887211198861198870经过点119864132119875为椭圆119862的右顶点119874为坐标原点119874119875119864的面积为321求椭圆119862的标准方程2过点11986310作直线119897与椭圆119862交于119860119861119860关于原点119874的对称点为119862若119861119860119861119862求直线119860119861的斜率本小题17分已知11989111990911988611990911990911988611990901198860且11988611当119886119890时求证119891119909在119890上单调递增2设119886119890已知11990911989022119897119899119886有不等式1198911199090恒成立求实数119886的取值范围本小题17分如图所示用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面得到的几何体称之为斜截圆柱图一与图二是完全相同的斜截圆柱119860119861是底面圆119874的直径11986011986121198611198622椭圆所在平面垂直于平面119860119861119862119863且与底面所成二面角为45图一中点119875是椭圆上的动点点119875在底面上的投影为点1198751图二中椭圆上的点119864119894119894123119899在底面上的投影分别为119865119894且119865119894均在直径119860119861的同一侧第5页共18页1当119860119874119875121205873时求1198751198751的长度2119894当1198996时若图二中点119865111986521198656将半圆119860均分成7等份求119864111986512119864211986522119864311986532119894119894证明11986011986511198641119865111986511198652119864211986521198651198991119865119899119864119899119865119899119865119899119861119861119862第6页共18页答案和解析答案119861解析解119886121198872311988611988712234故选119861直接根据向量数量积的坐标运算即可求解本题考查向量数量积的坐标运算属基础题答案119861解析解由题意可得1199111111989411198941119894111989411198942所以11991112212222故选119861利用复数的运算性质求出复数119911然后再利用模的求解公式即可求解本题考查了复数模的求解属于基础题答案119860解析解集合11986011990911989711989911990901199090故119909119860是119909119861的充分不必要条件故选119860先求出集合119860119861再结合充分条件必要条件的定义即可求解本题主要考查充分条件必要条件的定义属于基础题答案119861解析解当119909当1199090时不等式119891119909综上不等式119891119909故选119861分119909本题考查了一元二次不等式的解法对数函数的性质属于基础题答案119860第7页共18页解析解显然根据异面直线判定方法经过平面119860119862119863外一点119861与平面119860119862119863内一点119864的直线119861119864与平面119860119862119863内不经过119864点的直线119860119865是异面直线下面证明119861119864与119860119865垂直证明因为119860119861平面119861119862119863119862119863平面119861119862119863所以119860119861119862119863因为119861119862119861119863119862119863119865分别为119862119863的中点连接119861119865所以119861119865119862119863因为119860119861119861119865119861确定平面119860119861119865所以119862119863平面119860119861119865如图取119860119865的中点119876连接119861119876119864119876因为119860119865平面119860119861119865所以119862119863119860119865又因为119864119876119862119863所以119864119876119860119865因为1198611198621198611198631198621198632所以1198611198653223119860119861又因为119876为119860119865的中点所以119861119876119860119865因为119861119876119864119876119876确定平面119861119864119876所以119860119865平面119861119864119876又因为119861119864平面119861119864119876所以119860119865119861119864故选119860先用定理判断119860119865119861119864是异面直线再结合线面垂直的判定与性质定理证明即可本题考查异面直线的判定以及线线垂直的证明属于中档题答案119863解析解由已知可得2119888119900119904211990912058712cos11990912058712cos211990912058712119909120587122119888119900119904211990912058712cos11990912058712cos211990912058712cos11990912058712sin211990912058712sin11990912058712第8页共18页cos211990912058712cos11990912058712sin211990912058712sin11990912058712cos21199091205871211990912058712cos119909120587614则sin12058762119909cos120587212058762119909cos1205873211990921198881199001199042120587611990912142178故选119863利用余弦的和差角公式以及倍角公式化简即可求解本题考查了余弦的和差角公式以及倍角公式的应用考查了学生的运算能力属于基础题答案119863解析解因为119872是线段1198601198652的中点且1198611198721198601198652所以1198601198611198611198652又119865111986011986521205873所以1198601198611198652是等边三角形设1198601198611198652的边长为119898由双曲线的定义知119860119865111986011986522119886119861119865211986111986512119886所以1198601198651119898211988611986111986511198982119886又11986011986511198611198651119860119861119898所以11989821198861198982119886119898即1198984119886所以1198601198651611988611986011986524119886在11986011986511198652中由余弦定理知1198651119865221198601198651211986011986522211986011986511198601198652cos1205873所以2119888236119886216119886226119886411988612281198862即1198887119886所以离心率1198901198881198867第9页共18页故选119863根据题意可得1198601198611198652是等边三角形设1198601198611198652的边长为119898利用双曲线的定义推出1198984119886从而知1198601198651611988611986011986524119886再在11986011986511198652中利用余弦定理求解即可本题考查双曲线离心率的求法熟练掌握双曲线的定义余弦定理是解题的关键考查逻辑推理能力和运算能力属于中档题答案119862解析解如图由已知侧棱长为6的正三棱锥119875119860119861119862即1198751119860119875111986111987521198611198752119862119875311986211987531198606又因为1198601198614所以119875111986311987521198641198753119865622242因为平面119875111986011986111987511198611198621198753119860119862均与平面119860119861119862垂直设119875111987521198753三点所在的圆为119876底面119860119861119862的中心为1198741则119876119874142又因为奖杯总高度为62设球半径为119877球心119874到119876面的距离为119889则1198741198761198896242119877即11988922119877如图易知119875111987521198753119863119864119865因为119863119864119863119865119864119865121198601198612所以119875111987521198753是边长为2的等边三角形设119875111987521198753的外接圆半径为119903则211990321199041198941198996043则在直角1198741198751119876中第10页共18页119877211990321198892即1198772232221198772解得119877732所以4120587119877241205877322981205879故选119862画出图形结合已知条件求出球半径119877即可求解本题考查组合体的结构特征以及球的表面积属于中档题答案119860119863解析解对于119860样本中甲校男学生喜爱足球运动的比例为152034乙校男学生喜爱足球运动的比例为70100710因为34710所以样本中甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例故正确对于119861样本中甲校女学生喜爱足球运动的比例为82025乙校女学生喜爱足球运动的比例为45100920因为25错误对于119862因为1205942401512582231720205013足球运动与性别有关故错误对于119863因为120594220070553045211585100100127886635所以根据乙校样本有99的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关故正确故选119860119863第11页共18页根据两个表格直接可判断119860119861计算两个表格的1205942的值与临界值比较可判断119862119863本题主要考查了独立性检验的应用属于基础题答案119861119862119863解析解1198911199091199091198861198881199001199041199091198860则1198911199091119886119904119894119899119909当1198861001时1198911199090恒成立119891119909单调递增当1198861时1198911199090不恒成立119891119909不可能单调递减综上119891119909在119877上不可能单调递减故错误若119891119909在119877上单调递增则11989111990911198861199041198941198991199090恒成立所以1198861001故正确因为119891119909119891120587119909119909119886119888119900119904119909120587119909119886119888119900119904120587119909120587所以119891119909关于12058721205872对称故正确因为11989111990911989121198961120587119909119909119886119888119900119904119909211989611205871199091198861198881199001199042119896112058711990921198961120587119896119885所以119891119909关于211989611205872211989611205872119896119885对称所以119891119909所有的对称中心在直线119910119909上故正确故选119861119862119863对119891119909求导对119886分类讨论判断1198911199090不恒成立即可判断选项由11989111990911198861199041198941198991199090恒成立可得119886的范围即可判断选项由119891119909119891120587119909120587即可得对称中心从而判断选项由1198911199091198912119896112058711990921198961120587119896119885可得119891119909的对称中心从而可判断选项本题主要考查利用导数研究函数的单调性函数的对称性考查逻辑推理能力属于中档题答案119860119861119863解析解由于1198601198613119872119861得1198601198722119872119861又1198601198622119862119872所以点119872为线段119860119862的中点又119862119863119863119872所以点119863为线段119862119872的中点所以119863为线段119861119862的中点故正确当1198601198623时11986011987221198601198614在119860119861119874中利用余弦定理cos1198611198601198749164234212478所以sin1198611198601198741cos2119861119860119874158所以1198781198601198611198741234158154故正确因为点119863为线段119861119862的中点所以点119863到119860119861距离之和为1198601198631198611198631198601198614故错误如图所示第12页共18页由正弦定理得119861119862sin119861119872119862119872119861sin119872119862119861整理得sin11987211986211986112sin11986111987211986212所以tan11987211986211986133故正确故选119860119861119863直接利用向量的运算余弦定理和三角形的面积公式判断119860119861119862119863的结论本题考查的知识点余弦定理三角形的面积公式向量的运算主要考查学生的运算能力属于中档题答案2解析解由1198861199041198941198991198612119887119888119900119904119860及正弦定理可得1199041198941198991198601199041198941198991198612119904119894119899119861119888119900119904119860又1198610120587则1199041198941198991198610所以1199041198941198991198602119888119900119904119860即1199051198861198991198602故答案为2由正弦定理及已知条件即可求得结论本题考查正弦定理的应用属基础题答案37320解析解参赛人甲119860题答对的概率为34119861题答对的概率为14119862119863119864题答对的概率均为12则甲前3个题全答对的概率为119875111986253119862313414121231198623212234119862321221437320故答案为37320利用相互独立事件概率乘法公式直接求解本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识考查运算求解能力是基础题答案839解析解连接119875119876由119875119876与119872119876关于119897对称可得119875119876119876119872所以点119876在以119875为焦点直线119860119861为准线的抛物线上第13页共18页以119875119874中点119866为原点过119866与119860119861平行的直线为119909轴1198741198741所在直线为119910轴建立平面直角坐标系则11987501直线1198601198611199101可得抛物线的方程为11990924119910即119910141199092求导数得11991012119909设119876119886141198862则抛物线在点119876处的切线斜率11989612119886切线方程为11991014119886212119886119909119886与直线119860119861交于点119873211988611988621所以1198721198732119886119886211988621198861198862可得1198781198751198761198731198781198721198761198731211987211987311987211987612211988611988621411988621116119886311988621119886设119867119886116119886311988621119886其中119886因为1198860所以119867119886在233上单调减在2330上单调增因此当119886233时119867119886有最小值11623331223332839即119878119875119876119873的最小值为839故答案为839连接119875119876可得119875119876119876119872可知点119876在以119875为焦点直线119860119861为准线的抛物线上求出抛物线方程然后利用导数求出点119876处的切线将119875119876119873的面积表示为关于点119876的横坐标的式子进而利用导数研究函数的单调性求出119875119876119873面积的最小值本题主要考查抛物线的定义与标准方程利用导数研究函数图象的切线函数的单调性与最值求法等知识考查了计算能力逻辑推理能力属于中档题答案解1当1198962时119886119899119886119899221198861198991所以119886119899为等差数列因为1198861111988623所以119889119886211988612所以1198781011010922100第14页共18页2由11989652可得1198861198992521198861198981119886119899所以1198861198992211988611989911211988611989911198861198991211988611989912119886119899即119887119899112119887119899且11988711198862211988611所以119887119899是以1为首项12为公比的等比数列所以1198871198991121198991121198991解析1由题意得119886119899119886119899221198861198991结合等差数列的性质可得119886119899为等差数列结合等差数列的性质及求和公式即可求解2由已知递推关系可得1198861198992211988611989911211988611989911198861198991211988611989912119886119899即119887119899112119887119899然后结合等比数列的通项公式即可求解本题主要考查了等差数列的定义求和公式还考查了等比数列的定义及通项公式的应用属于中档题答案解112058310001205905生产正常时从这条生产线生产的电阻中抽取1只则这只电阻阻值在9951000和在10051010的概率分别为11990111211987512058312059011990121198751205832120590因此所求概率为11990121199011119901200932生产正常时这5个样本的平均数服从正态分布119873100052记1205905计算可得1199091009这时1009100035即1199091205833120590小概率事件发生了因此认为这时生产线生产不正常解析1利用正态分布曲线的对称性求解2由题意可知这5个样本的平均数服从正态分布119873100052再根据3120590原则判断即可本题主要考查了正态分布曲线的对称性属于中档题答案解1因为119875为椭圆119862的右顶点且119874119875119864的面积为32所以121198863232解得1198862因为119864132在椭圆119862上所以143411988721解得1198871第15页共18页则椭圆119862的标准方程为11990924119910212因为119861119860119861119862119874为119860119862的中点所以119874119860119874119861不妨设直线119897的方程11990911989811991011198601199091119910111986111990921199102联立11990911989811991011199092411991021消去119909并整理得119898241199102211989811991030由韦达定理得1199101119910221198981198982411991011199102311989824因为119874119860119874119861所以1198741198601198741198610即11990911199092119910111991020此时11989821119910111991021198981199101119910210所以1198982131198982411989821198981198982410整理得141198982119898240解得11989812故直线119860119861的斜率为2解析1由题意利用三角形面积公式求出119886的值将点119864的坐标代入椭圆的方程中求出119887的值进而可得椭圆的标准方程2易得119874119860119874119861设出直线119897的方程和119860119861两点的坐标将直线119897的方程与椭圆方程联立利用韦达定理以及向量的坐标运算再求解即可本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题考查了逻辑推理和运算能力属于中档题答案解1证明当119886119890时119891119909119890119909119909119890则119891119909119890119909119890119909119890111989011989011990911199091198901令1198911199090则11989011990911199091198901两边取对数得11990911198901119897119899119909设11989211990911990911198901119897119899119909119909119890则119892119909111989011199091119890111989011198900所以119892119909在119888单调递增所以119909119890时1198921199091198921198900即119909119890时11990911198901119897119899119909所以119909119890时11989011990911199091198901即1198911199090所以119891119909在119890上单调递增第16页共18页21198911199090119886119909119909119886两边取对数得119909119897119899119886119886119897119899119909即119897119899119909119909119897119899119886119886设119909119897119899119909119909则1199091119897119899119909119909令1199090得119909119890当119909119890时119909又因为119886119890所以1199091198902211989711989911988611989022119890119909在119890单调递减由119897119899119909119909119897119899119886119886则119886119909在11989022119897119899119886恒成立即11988611989022119897119899119886上式等价于1198971198991198861198862119890211989711989911989021198902由119909在119890单调递减所以119890即实数119886的取值范围为1198901198902解析1当119886119890时119891119909119890119909119909119890求导可得11989111990911989011989011990911199091198901令1198911199090则11989011990911199091198901两边取对数得11990911198901119897119899119909设11989211990911990911198901119897119899119909119909119890求导可得119892119909在119890单调递增所以119909119890时11989011990911199091198901即1198911199090进而证得119891119909在119890上单调递增2由题意可得11990911989022119897119899119886119897119899119909119909119897119899119886119886恒成立设119909119897119899119909119909求导可得119909在119890单调递减进而求出实数119886的取值范围本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值考查了不等式恒成立问题属于中档题答案解1如图取119862119863中点119872过119872作与该斜截圆柱的底面平行的平面交119863119860于点119866交119861119862延长线于点119867与1198751198751交于点119868则11986311986611198601198662过119872作119866119867的垂线交圆119872于119869119870两点过119868作119868119873119869119870交119869119870于点119873又由119875119868圆119872119868119873为119875119873在圆119872所在平面的射影由三垂线定理知119875119873119869119870第17页共18页119875119873119868为椭圆面与圆119872所在平面的夹角也即椭圆面与底面所成角11987511987311986845则119875119873119868为等腰直角三角形119875119868119868119873设1198601198741198751120579如图作圆119872所在平面的俯视图则119866119872119868120579119866119867119869119870119868119873119869119870119866119867119868119873则有1198731198681198721198661198721198681205791198681198731198721198681198881199001199041205791198881199001199041205791198751198751119868119875111987511986811986811987511198681198732119888119900119904120579当12057921205873时1198751198751的长度为11987511987512cos21205873322119894当1198996时图二中点119865111986521198656将半圆119860均分成7等份1198996时12057912058711989911205877119864111986512cos1205877119864211986522cos21205877119864311986532cos31205877119864111986512119864211986522119864311986532cos1205877cos21205877cos31205877sin2120587721199041198941198991205877sin41205877211990411989411989921205877sin61205877211990411989411989931205877sin2120587721199041198941198991205877sin31205877211990411989411989921205877sin120587721199041198941198993120587718故11986411198651211986421198652211986431198653218119894119894证明由1知11987511987512119888119900119904120579也即1198751198751是关于120579的函数也即将斜截圆柱的侧面沿着119860119863展开其椭圆面的轮廓线即为函数1199102119888119900119904119909的图象现将1198641119865111986421198652119864119899119865119899119861119862绘制于函数1199102119888119900119904119909图象上并以1198641198941198651198941198651198941119865119894为边作矩形则矩形的面积即为119865119894111986511989411986411989411986511989411986011986511198641119865111986511198652119864211986521198651198991119865119899119864119899119865119899119865119899119861119861119862即为这些矩形的面积之和而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1高为4的圆柱该斜截圆柱的侧面积为12212058744120587函数11991021198881199001199041199090119909120587与坐标轴围成的面积为1241205872120587无论点1198651198941198941231198991是否均匀分布在半圆弧119860119861上这些矩形的面积之和都小于函数11991021198881199001199041199090119909120587与坐标轴围成的面积第18页共18页11986011986511198641119865111986511198652119864211986521198651198991119865119899119864119899119865119899119865119899119861119861119862解析1取119862119863中点119872过119872作与该斜截圆柱的底面平行的平面交119863119860于点119866交119861119862延长线于点119867与1198751198751交于点119868过119872作119866119867的垂线交圆119872于119869119870两点过119868作119868119873119869119870交119869119870于点119873由119875119868圆119872119868119873为119875119873在圆119872所在平面的射影由三垂线定理知119875119873119869119870119875119873119868为椭圆面与圆119872所在平面的夹角也即椭圆面与底面所成角设1198601198741198751120579作圆119872所在平面的俯视图则119866119872119868120579由119866119867119869119870119868119873119869119870119866119867119868119873得1198731198681198721198661198721198681205791198681198731198721198681198881199001199041205791198881199001199041205791198751198751119868119875111987511986811986811987511198732119888119900119904120579由此能求出结果21198941198996时12057912058711989911205877从而119864111986512cos1205877119864211986522cos21205877119864311986532cos31205877由此能求出结果119894119894推导出11987511987512119888119900119904120579将斜截圆柱的侧面沿着119860119863展开其椭圆面的轮廓线即为函数1199102119888119900119904119909的图象将1198641119865111986421198652119864119899119865119899119861119862绘制于函数1199102119888119900119904119909图象上以1198641198941198651198941198651198941119865119894为边作矩形则矩形的面积为1198651198941119865119894119864119894119865119894则11986011986511198641119865111986511198652119864211986521198651198991119865119899119864119899119865119899119865119899119861119861119862即为这些矩形的面积之和两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1高为4的圆柱求出该斜截圆柱的侧面积进而求出函数11991021198881199001199041199090119909120587与坐标轴围成的面积无论点1198651198941198941231198991是否均匀分布在半圆弧119860119861上这些矩形的面积之和都小于函数11991021198881199001199041199090119909120587与坐标轴围成的面积由此能证明11986011986511198641119865111986511198652119864211986521198651198991119865119899119864119899119865119899119865119899119861119861119862本题考查三垂线定理斜截圆柱函数性质等基础知识考查运算求解能力是中档题