2024年江苏省泰州市姜堰中学高考数学段考试卷（含解析）.doc

第1页共16页2024年江苏省泰州市姜堰中学高考数学段考试卷一单选题本题共8小题每小题5分共40分在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的在复平面内表示复数119898119894119898119894的点位于第二象限则实数119898的取值范围是110110设11990911199092119909119899为样本数据令11989111990911989911989411199091198941199092则119891119909的最小值点为样本众数样本中位数样本标准差样本平均数1211988612119887是11198861119887成立的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件曲线1199101198901199091199091上的点到直线1199102119909距离的最小值为51055255355已知函数119891119909119909321则平面图形119863内的点119898119899满足条件1198911198981198911198991198911198990则119863的面积为120587312058721已知119865为椭圆1198621199092411991021的右焦点119875为119862上一点119876为圆1198721199092119910321上一点则119875119876119875119865的最大值为36423523记递增的等差数列119886119899的前119899项和为119878119899若11988611989911988611989919119899231198992119899119873则11987810155125155185设函数1198911199092119904119894119899120596119909120587611205960在1205872120587上至少有两个不同零点则实数120596的取值范围是32327352136319612二多选题本题共3小题共18分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求下列四个命题中假命题是要唯一确定抛物线只需给出准线和抛物线上的一点要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆只需给出一个焦点和椭圆上的一点第2页共16页要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线只需给出双曲线上的两点要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线只需给出一条渐近线方程和离心率对任意119860119861119877记119860119861119909119909119860119861119909119860119861并称119860119861为集合119860119861的对称差例如若119860123119861234则11986011986114下列命题中为真命题的是若119860119861119877且119860119861119861则119860若119860119861119877且119860119861则119860119861若119860119861119877且119860119861119860则119860119861存在119860119861119877使得119860119861119877119860119877119861用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱若两个截面都是椭圆形状则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱这两个截面称为斜圆柱的底面两底面之间的距离称为斜圆柱的高斜圆柱的体积等于底面积乘以高椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的120587倍已知某圆柱的底面半径为2用与母线成45角的两个平行平面去截该圆柱得到一个高为6的斜圆柱对于这个斜圆柱下列选项正确的是底面椭圆的离心率为22侧面积为242120587在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36120587底面积为42120587三填空题本题共3小题每小题5分共15分已知11988611990911199095的展开式中所有项的系数和为32则119886已知11986511198652分别为双曲线1198621199092119886211991021198872111988601198870的左右焦点过1198652作119862的两条渐近线的平行线与渐近线交于119872119873两点若cos1198721198651119873513则119862的离心率为正三棱锥119878119860119861119862中底面边长1198601198612侧棱1198601198783向量119886119887满足119886119886119860119862119886119860119861119887119887119860119862119887119860119878则119886119887的最大值为四解答题本题共5小题共77分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题13分记119860119861119862的内角119860119861119862的对边分别为119886119887119888已知1198861198871198881199041198941198991198621199041198941198991198611199041198941198991198601199041198941198991198611求角1198602若1198866点119872为119860119861119862的重心且11986011987223求119860119861119862的面积第3页共16页本小题15分如图在四棱锥119875119860119861119862119863中四边形119860119861119862119863是边长为2的正方形平面119875119860119863平面1198601198611198621198631198751198601198751198635点119864是线段119860119863的中点11986211987221198721198751证明119875119864平面1198611198631198722求平面119860119872119861与平面119861119863119872的夹角本小题15分某工厂生产某种元件其质量按测试指标划分为指标大于或等于82为合格品小于82为次品现抽取这种元件100件进行检测检测结果统计如下表测试指标207676828288889494100元件数件1218363041现从这100件样品中随机抽取2件若其中一件为合格品求另一件也为合格品的概率2关于随机变量俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式若随机变量119883具有数学期望119864119883120583方差1198631198831205902则对任意正数120576均有11987511990912058312057612059021205982成立119894若11988311986110012证明119875011988325150119894119894利用该结论表示即使分布未知随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的若该工厂声称本厂元件合格率为90那么根据所给样本数据请结合切比雪夫不等式说明该工厂所提供的合格率是否可信注当随机事件119860发生的概率小于005时可称事件119860为小概率事件本小题17分设119875是坐标平面119909119874119910上的一点曲线120548是函数119910119891119909的图像若过点119875恰能作曲线120548的119896条切线119896119873则称119875是函数119910119891119909的119896度点1判断点11987400与点11986020是否为函数119910119897119899119909的1度点不需要说明理由2已知03求函数1199101199093119909的全体2度点构成的集合本小题17分在平面直角坐标系119909119874119910中过点11986510的直线119897与抛物线11986211991024119909交于119872119873两点119872在第一象限第4页共16页当1198721198653119873119865时求直线119897的方程若三角形119874119872119873的外接圆与曲线119862交于点119863异于点119874119872119873证明119872119873119863的重心的纵坐标为定值并求出此定值求凸四边形119874119872119863119873的面积的取值范围第5页共16页答案和解析答案119861解析解119898119894119898119894119898119894211989811989411989811989411989821211989811989411989821在复平面内对应的点为1198982111989821211989811989821则11989821119898210解得实数119898的取值范围是01故选119861化简复数得出其在复平面内的点列不等式解出119898的取值范围本题考查复数的几何意义属于基础题答案119863解析解1198911199091198991198941119909119894119909211989911989411199092211990911990911989411990911989421198991199092211989911990911990911990911989421198991198941因为1198990开口向上对称轴为119909119909故最小值点为平均数故选119863把119891119909展开变二次函数利用二次函数的性质求出即可考查样本数据的特征分析考查统计中的有关概念和二次函数最值问题中档题答案119863解析解取11988611198871则1211988612119887但1119886取11988611198871则11198861119887但12119886所以1211988612119887是11198861119887成立的既不充分又不必要条件故选119863根据指数函数的单调性以及不等式的性质充分条件必要条件的定义即可判断本题考查了充分与必要条件的判断问题是基础题答案119862解析解令1198911199091198901199091199091则1198911199091198901199091设该曲线在点11990901198911199090处的切线为119897需求曲线到直线1199102119909的距离最小必有该切线的斜率为2所以1198911199090119890119909012解得11990900则切点为02故切线119897的方程为11991022119909即211990911991020第6页共16页所以直线211990911991020到直线21199091199100的距离为11988922212255即该曲线上的点到直线1199102119909的最小距离为255故选119862设切点11990901198911199090根据导数的几何意义计算即可求解本题主要考查利用导数研究切线方程属于中档题答案119860解析解根据题意函数119891119909119909321若119891119898119891119899得1198983211989932设11986233则其对应的区域为圆11990932119910322的内部若1198911198981198911198990则有11989832111989932111989811989911989811989960则有11989811989901198981198996或119898119899故区域119863为如图所示的阴影区域其面积为1212058722120587故选119860根据题意由1198911198981198911198990可得11989811989911989811989960即11989811989901198981198996或119898119899本题考查线性规划的应用注意分析区域119863的条件属于综合题答案119863解析解如图所示设椭圆119862的右焦点为119865连接119872119865119875119865则11987511987611987511986511987511987212119886119875119865511987211986553232523故选119863设椭圆119862的右焦点为119865连接119872119865119875119865根据椭圆的定义与三角形三边大小关系可得119875119876119875119865119875119872121198861198751198655119872119865即可得出结论本题考查了椭圆的标准方程及定义三角形三边大小关系数形结合方法考查了推理能力与计算能力属于中档题第7页共16页答案119862解析解设递增的等差数列119886119899的公差为119889则1198890因为11988611989911988611989919119899231198992119899119873所以当1198991时1198861119886210即1198861119886111988910当1198992时1198862119886340即11988611198891198861211988940联立结合1198890解得119886121198893所以1198781010210923155故选119862令119899分别取12得到等差数列的两个关系结合等差数列的通项公式可求出数列119886119899的首项和公差进而可求前10项的和本题考查等差数列的性质等基础知识考查运算求解能力是基础题答案119860解析解令2119904119894119899120596119909120587610则sin120596119909120587612因为1205960所以12059611990912058761205876令11990411989411989911991112解得11991112058762119896120587119896119885或11991151205876211989611205871198961119885从小到大将11990411989411989911991112的正根写出如下120587651205876131205876171205876251205876291205876因为1199091205872120587所以1205961199091205876120596120587120587621205961205871205876当120596120587120587601205876即1205961613时2120596120587120587651205876解得12059612此时无解当1205961205871205876120587651205876即120596131时21205961205871205876131205876解得12059676此时无解当120596120587120587651205876131205876即120596173时21205961205871205876171205876解得12059632故1205963273当1205961205871205876131205876171205876即120596733时21205961205871205876251205876解得120596136故120596733当1205963时2120596120587120587612059612058712058761205961205873120587第8页共16页此时119891119909在1205872120587上至少有两个不同零点综上120596的取值范围是32故选119860先令1198911199090得sin120596119909120587612并得到12059611990912058761205876从小到大将11990411989411989911991112的正根写出因为1199091205872120587所以1205961199091205876120596120587120587621205961205871205876从而分情况得到不等式求出答案本题主要考查正弦函数的图象与性质考查运算求解能力属于中档题答案119860119862119863解析解对于119860只有准线和抛物线上一点无法确定焦点位置故无法确定唯一抛物线故错误对于119861给出椭圆的一个焦点则另一个焦点能确定再给出椭圆上一点则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和由椭圆定义可知能唯一确定椭圆故正确对于119862若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称则无法确定双曲线故不正确对于119863给出双曲线的一条渐近线方程和离心率但无法确定焦点的位置所以无法唯一确定双曲线故不正确故选119860119862119863根据圆锥曲线的定义逐项进行判断即可本题考查椭圆抛物线双曲线的定义属于基础题答案119860119861119863解析分析本题考查集合的新定义问题理解新定义并结合韦恩图进行思考是解题的关键考查学生逻辑推理能力和抽象能力属于中档题理解集合的新定义然后结合韦恩图逐一判断119860119861119862选项对于119863选项举出特例当119860119861时满足条件即可解答解对于119860选项因为119860119861119861所以119861119909119909119860119861119909119860119861所以119860119861且119861中的元素不能出现在119860119861中因此119860即选项正确对于119861选项因为119860119861所以119909119909119860119861119909119860119861第9页共16页即119860119861与119860119861是相同的所以119860119861即选项正确对于119862选项因为119860119861119860所以119909119909119860119861119909119860119861119860所以119861119860即选项错误对于119863选项当119860119861时119877119860119877119861此时119860119861119877119860119877119861即正确故选119860119861119863答案119860119861119863解析解不妨过斜圆柱的最高点119863和最低点119861作平行于圆柱底面的截面圆夹在它们之间的是斜圆柱如图矩形119860119861119862119863是圆柱的轴截面平行四边形119861119865119863119864是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面由圆柱的性质知11986011986111986545则1198611198652119860119861设椭圆的长轴长为2119886短轴长为2119887则211988622119887119886211988711988811988621198872119886222119886222119886所以离心率为11989011988811988622正确作119864119866119861119865垂足为119866则1198641198666易知1198641198611198664511986111986462又1198621198641198601198651198601198614所以斜圆柱侧面积为11987821205872462212058724242120587正确21198874119887221198864211988622椭圆面积12058711988611988742120587正确由于斜圆柱的两个底面的距离为6而圆柱的底面直径为4所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2球表面积为41205872216120587错误故选119860119861119863由题意如图求出椭圆中的119886119887的关系进而求出椭圆的离心率判断出各个命题的真假本题考查圆柱中的性质的应用及椭圆的性质的应用属于中档题答案3解析解由题意令1199091可得1198861532解得1198863故答案为3利用赋值法求解本题考查二项式系数和的应用属于基础题答案5第10页共16页解析解易知119872119873关于119909轴对称令119872119865111986521205721198881199001199042120572513cos2120572121513913sin2120572413tan212057249119905119886119899120572231199101198871198861199091199101198871198861199091198881199091198882119910119887119888211988611987211988821198871198882119886119905119886119899120572119887119888211988632119888231198871198862119890119888119886111988711988625故答案为5根据二倍角公式求出1198871198862再求出离心率即可本题考查双曲线的几何性质方程思想化归转化思想属中档题答案4解析解由三棱锥119878119860119861119862是正三棱锥可得1198601198781198611198781198621198783且1198601198611198611198621198621198602由119886119886119860119862119886119860119861化简得1198862119886119862119861根据119887119887119860119862119887119860119878化简得1198872119887119862119878设119886119862119872119887119862119873代入11988621198861198621198611198872119887119862119878分别化简得1198721198621198721198610且1198731198621198731198780因此点119872在以119861119862为直径的球面上半径1199031121198611198621119873在以119878119862为直径的球面上半径11990321211986211987832分别取线段119861119862119878119862的中点119864119865则1198641198651211986111987832故11988611988711989811988611990911987211987311989811988611990911986411986511990311199032321324第11页共16页故答案为4根据向量的线性运算法则与数量积的运算性质化简已知等式设119886119862119872119887119862119873将向量等式转化为动点的轨迹问题再利用球的性质计算出两球的球面上的两点间距离的最大值即可得到本题的答案本题主要考查向量的线性运算向量数量积的运算性质球的性质等知识属于中档题答案解1119886119887119888119904119894119899119862119904119894119899119861119904119894119899119860119904119894119899119861由正弦定理可得119886119887119888119888119887119886119887整理得119887211988821198862119887119888由余弦定理可得119888119900119904119860119887211988821198862211988711988812又119860012058711986012058732设119860119872的延长线交119861119862于点119863因为点119872为119860119861119862的重心所以点119863为119861119862中点又1198601198722311986011986333在119860119861119862中由余弦定理11988621198872119888221198871198881198881199001199041198601198866和1198601205873可得1198871198881198872119888236在119860119861119863和119860119862119863中有cos119860119863119861cos11986011986311986211988821198601198632119861119863221198601198631198611198631198881199001199041198601198631198611198872119860119863211986211986322119860119863119862119863119888119900119904119860119863119862由余弦定理可得11988721198882721198871198881198872119888236723636119860119861119862的面积为121198871198881199041198941198991198601236sin120587393解析1余弦定理可得1198881199001199041198601198872119888211988622119887119888122根据cos119860119863119861cos119860119863119862由余弦定理可得1198872119888272由此可得119887119888可得面积本题考查正弦定理余弦定理属于中档题答案1证明连接119864119862交119861119863于119873由119864是119860119863的中点可得119863119864121198611198621则119863119864119873与119861119862119873相似所以11986411987312119873119862又11987511987212119872119862所以119872119873119875119864又119872119873平面119861119863119872119875119864平面119861119863119872所以119875119864平面1198611198631198722解如图建立空间直角坐标系11986400011986010011986310011986112011986212011987500211987511986212211987511987213119875119862132323第12页共16页则119872132343设平面119860119872119861的法向量为1198991119909111991011199111由119860119861020119860119872432343则1198601198611198991011986011987211989910即2119910104311990912311991014311991110取11990911可得1198991101由1可取平面119861119863119872的法向量为1198992110所以cos119899111989921198991119899212即平面119860119872119861与平面119861119863119872的夹角余弦值为12所以平面119860119872119861与平面119861119863119872的夹角为1205873解析1连接119864119862交119861119863于119873连接119872119873根据条件证明119872119873119875119864即得2先证明119875119864平面119860119861119862119863依题建系求出相关点和向量的坐标分别求得平面119860119872119861与平面119861119863119872的法向量最后由空间向量的夹角公式求解即得本题主要考查线面平行的证明平面与平面所成角的求法考查运算求解能力属于中档题答案解1记事件119860为抽到一件合格品事件119861为抽到两个合格品则1198751198601198611198627021198621002161330119875119860119862100211986230211986210023013301198751198611198601198751198601198611198751198601613303013302343即从这100件样品中随机抽取2件若其中一件为合格品则另一件也为合格品的概率为23432119894证明由题若11988311986110012则1198641198835011986311988325又1198751198831198961198621001198961210011987511988310011989611987501198832512119875011988325或75119883100121198751198835025由切比雪夫不等式可知119875119883502525252125119875011988325150119894119894设随机抽取100件产品中合格品的件数为119883假设厂家关于产品合格率为90的说法成立则11988311986110009119864119883901198631198839第13页共16页由切比雪夫不等式知119875119883701198751198839020940000225即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过00225此概率极小由小概率原理可知一般来说在一次试验中是不会发生的据此我们有理由推断工厂的合格率不可信解析1由条件概率的公式进行求解即可2119894由11988311986110012求出1198641198835011986311988325再结合切比雪夫不等式即可证明119894设随机抽取100件产品中合格品的件数为11988311988311986110009由切比雪夫不等式判断出119875119883701198751198839020940000225进而可得出结论本题主要考查条件概率的求法二项分布的期望和方差考查运算求解能力属于中档题答案解1由题意设1199050则曲线119910119897119899119909在点119905119897119899119905处的切线方程为1199101198971198991199051119905119909119905该切线过原点119874时1198971198991199051解得119905119890故原点119874是函数119910119897119899119909的一个1度点又因为该切线过点11986020所以11989711989911990511199052119905设1199041199051199051198971198991199051199052则11990411990511198971198991199051119897119899119905令1199041199050得1199051所以11990501时1199041199050119904119905单调递增所以1199041199051199051198971198991199051199052在1199091处取得极小值也是最小值且119904101210所以11989711989911990511199052119905无解点11986020不是函数119910119897119899119909的1度点2证明设1199050119910119888119900119904119905则曲线119910119904119894119899119909在点119905119904119894119899119905处的切线方程为119910119904119894119899119905119888119900119904119905119909119905则该切线过点0120587当且仅当120587119904119894119899119905119905119888119900119904119905设11986611990511990411989411989911990511990511988811990011990411990512058711986611990511990511990411989411989911990500故119910119866119905在区间0120587上单调递增当03119910311990921对任意119905119877曲线1199101199093119909在点1199051199053119905处的切线方程为1199101199053119905311990521119909119905故点119886119887为函数1199101199093119909的一个2度点当且仅当关于119905的方程1198871199053119905311990521119886119905恰有两个不同的实数解设1199052119905331198861199052119886119887则点119886119887为函数1199101199093119909的一个2度点当且仅当119910119905有两个不同的零点若1198860则11990521199053119887在119877上严格增只有一个零点不合要求若1198860119905611990526119886119905令1199050得1199050或119905119886第14页共16页由119905119886时1199050得119910119905严格增当0故119910119905在1199050时取得极大值0119886119887在119905119886时取得极小值1198861198871198861198863又1198861198872331198861198861198872230当00119886时由零点存在定理119910119905在00119886119886上各有一个零点不合要求当00119886时119910119905仅119886上有一个零点不合要求当01198860时119910119905仅0上有一个零点也不合要求故119910119905有两个不同零点当且仅当00或1198860若119886综上函数1199101199093119909的全体2度点构成的集合为119886119887119887119886或11988711988631198861198860解析111987400是119910119897119899119909的1度点11986020不是119910119897119899119909的1度点2求导得119892119909119888119900119904119909设1199050可得出曲线在点119905119904119894119899119905处的切线方程为119910119904119894119899119905119888119900119904119905119909119905该切线过点0120587时120587119904119894119899119905119905119888119900119904119905然后设119866119905119904119894119899119905119905119888119900119904119905120587然后根据导数符号可判断119866119905在0120587上单调递增从而得出方程120587119904119894119899119905119905119888119900119904119905无解这样即可得出要证明的结论3求导得出119910311990921设119905119877可得出曲线在1199051199053119905处的切线方程为1199101199053119905311990521119909119905设点119886119887为函数1199101199093119909的2度点从而得出关于119905的方程1198871199053119905311990521119886119905恰有两个不同的实数解设1199052119905331198861199052119886119887则119905有两个不同的零点讨论1198861198860时可得出不合要求1198860时119905根据1199050可求出119905的极大值和极小值并可得出1198861198872311988730然后讨论极大值和极小值和0的关系即可得出函数1199101199093119909的2度点构成的集合本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式根据导数符号判断函数单调性的方法根据导数求函数极大值和极小值的方法函数零点个数的判断方法考查了计算能力属于难题答案119868解设直线11987211987311990911989811991011198721199091119910111987311990921199102联立119909119898119910111991024119909消去119909得1199102411989811991040所以1199101119910241198981199101119910241198721198653119873119865则11991013119910211991011199102211991024119898119910111991023119910224则119898213又由题意1198980则11989833直线的方程是11991031199093第15页共16页119868119868119894证明设119872119909111991011198731199092119910211986311990931199103因为119874119872119863119873四点共圆设该圆的方程为119909211991021198891199091198901199100联立11990921199102119889119909119890119910011991024119909消去119909得11991044119889161199102161198901199100即1199101199103411988916119910161198900所以119910111991021199103即为关于119910的方程1199103411988916119910161198900的3个根则119910341198891611991016119890119910119910111991011991021199101199103因为11991011991011199101199102119910119910311991031199101119910211991031199102119910111991021199102119910311991011199103119910119910111991021199103由1199102的系数对应相等得1199101119910211991030所以119872119873119863的重心的纵坐标为0119894119894解记119874119872119873119872119873119863的面积分别为11987811198782由已知得直线119872119873的斜率不为0设直线1198721198731199091198981199101联立119909119898119910111991024119909消去119909得1199102411989811991040所以119910111991024119898119910111991024所以119878112119874119865119910111991021216119898216211989821由119894得1199103119910111991024119898所以11990931411991032144119898241198982即119863411989824119898因为119872119873119909111990922119898119910111991024411989824点119863到直线119872119873的距离11988981198982111989821所以1198782121198721198731198891241198982481198982111989821211989821811989821所以119878119878111987822119898212119898218119898212119898211811989821119872在第一象限即119910101199102依次连接119874119872119863119873构成凸四边形119874119872119863119873所以119910311991011199102又因为11991011199102441199102所以4119898119910111991021199102411991022222即11989824即119898218所以119878211989821181198982116119898211989821设11990511989821则119905324令1198911199051611990511990521则11989111990548119905216第16页共16页因为119905324所以119891119905481199052160所以119891119905在区间324上单调递增所以119891119905119891324322所以119878的取值范围为322解析119868设直线11987211987311990911989811991011198721199091119910111987311990921199102联立119909119898119910111991024119909由韦达定理可得119910111991024119898119910111991024由1198721198653119873119865则119910131199102代入可求119898213由题意1198980求出11989833即可119868119868119894设119872119909111991011198731199092119910211986311990931199103由119874119872119863119873四点共圆设该圆的方程为119909211991021198891199091198901199100与抛物线方程联立得11991044119889161199102161198901199100进一步可得119910111991021199103即为关于119910的方程1199103411988916119910161198900的3个根即119910341198891611991016119890119910119910111991011991021199101199103再由一次项119910的系数之间的关系即可得解由119868119910111991024119898119910111991024则119878112119874119865119910111991021216119898216211989821再由119894及抛物线的方程可求得119863411989824119898然后求出119872119873和119863到直线119872119873的距离即可得1198782211989821811989821进一步可得119878119878111987822119898212119898218119898212119898211811989821然后结合函数的知识即可求解本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线位置关系的综合应用属于难题