2022-2023学年江苏省扬州市高二（上）月考数学试卷（含解析）.doc

第1页共20页外装订线学校姓名班级考号内装订线20222023学年江苏省扬州中学高二上月考数学试卷题号一二三四总分得分注意事项答卷前考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在试卷上无效考试结束后本试卷和答题卡一并交回第I卷选择题一单选题本大题共8小题共400分在每小题列出的选项中选出符合题目的一项经过两点11986042119910111986123的直线的倾斜角为31205874则1199101302已知119886119887是单位向量且1198872119886119887则119886与119887的夹角为120587612058735120587621205873下列说法中错误的是平面上任意一条直线都可以用一个关于119909119910的二元一次方程1198601199091198611199101198620119860119861不同时为0表示当1198620时方程1198601199091198611199101198620119860119861不同时为0表示的直线过原点当119860011986101198620时方程1198601199091198611199101198620表示的直线与119909轴平行任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化若某平面截球得到直径为6的圆面球心到这个圆面的距离是4则此球的体积为1001205873208120587350012058734161205873过点11987223作圆119909211991024的两条切线设切点分别为119860119861则直线119860119861的方程为119909211991020211990931199104021199093119910403119909211991060第2页共20页外装订线请不要在装订线内答题内装订线将函数119910119904119894119899211990931198881199001199042119909的图象沿119909轴向右平移119886个单位1198860所得图象关于119910轴对称则119886的最小值是7121205871205874120587121205876已知圆11986211990912119910421198981198980和两点1198602011986110若圆119862上存在点119875使得1198751198602119875119861119898的取值范围是864964849949已知函数1198911199092119909119909011989711989911990911990901198921199091199091199092若方程1198911198921199091198921199091198980的所有实根之和为4则实数119898的取值范围是119898111989811198981198981二多选题本大题共4小题共200分在每小题有多项符合题目要求已知复数119911满足11989411199112给出下列四个命题其中正确的是119911的虚部为11199112119911111989411991122119894已知直线119897过点11987511且与直线1198971211990911991030及119909轴围成一个底边在119909轴上的等腰三角形则下列说法正确的是直线119897与直线1198971的倾斜角互补直线119897在119909轴上的截距为12直线119897在119910轴上的截距为1这样的直线119897有两条已知圆119874119909211991024和圆11986211990922119910321现给出如下结论其中正确的是圆119874与圆119862有四条公切线过119862且在两坐标轴上截距相等的直线方程为1199091199105或11990911991010过119862且与圆119874相切的直线方程为911990916119910300119875119876分别为圆119874和圆119862上的动点则119875119876的最大值为133最小值为133在正方体1198601198611198621198631198601119861111986211198631中11986011986012点119875在线段1198611198621上运动点119876在线段1198601198601上运动则下列说法中正确的有当119875为1198611198621中点时三棱锥1198751198601198611198611的外接球半径为2线段119875119876长度的最小值为2第3页共20页外装订线学校姓名班级考号内装订线三棱锥1198631119860119875119862的体积为定值平面119861119875119876截该正方体所得截而可能为三角形四边形五边形第II卷非选择题三填空题本大题共4小题共200分若直线1199104119909119887与坐标轴围成的面积为9则119887已知函数119891119909211990911990911989131198864的解集为康威圆定理是英国数学家约翰康威引以为豪的研究成果之一定理的内容是这样的如图119860119861119862的三条边长分别为119861119862119886119860119862119887119860119861119888延长线段119862119860至点1198601使得1198601198601119886以此类推得到点1198602119861111986121198621和1198622那么这六个点共圆这个圆称为康威圆已知119886411988731198885则由119860119861119862生成的康威圆的半径为已知直线11989711990911991040与119909轴相交于点119860过直线119897上的动点119875作圆119909211991024的两条切线切点分别为119862119863两点记119872是119862119863的中点则119860119872的最小值为四解答题本大题共6小题共700分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题100分在平面直角坐标系中直线119897过点119860121若直线119897的倾斜角为1205874求直线119897的方程2直线1198981199102119909119887若直线119898与直线119897关于直线1199091对称求119887的值与直线119897的一般式方程第4页共20页外装订线请不要在装订线内答题内装订线本小题120分已知圆11990921199102211990930与圆1198622119909211991024119909211991030相交于119860119861两点1求公共弦119860119861所在直线方程2求过两圆交点119860119861且过原点的圆的方程本小题120分已知圆119862与直线119909311991030相切于点11987503且与直线119909311991050也相切1求圆119862的方程2若直线11989711989811990911991030与圆119862交于119860119861两点且119862119860119862119861围本小题120分在119860119861119862中内角119860119861119862所对的边分别为119886119887119888且sin21198601198611199041198941198991198611199041198941198991198601求119862的大小2若119862119863平分119860119862119861交119860119861于119863且1198621198633求119860119861119862面积的最小值本小题120分我校近几年加大了对学生奥赛的培训为了选择培训的对象今年5月我校进行一次数学竞赛从参加竞赛的同学中选取50名同学将其成绩百分制均为整数分成六组第1组4050第2组5060第3组6070第4组7080第5组8090第6组90100得到频率分布直方图如图观察图形中的信息回答下列问题1利用组中值估计本次考试成绩的平均数2从频率分布直方图中估计第65百分位数是多少3已知学生成绩评定等级有优秀良好一般三个等级其中成绩不小于90分时为优秀等级若从第5组和第6组两组学生中随机抽取2人求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率第5页共20页外装订线学校姓名班级考号内装订线本小题120分已知圆1198741199092119910216点119875是圆119874上的动点过点119875作119909轴的垂线垂足为1198761已知直线119897119898211990921198981119910611989890与圆1198741199092119910216相切求直线119897的方程2若点119872满足1198761198752119876119872求点119872的轨迹方程3若过点11987321且斜率分别为11989611198962的两条直线与2中119872的轨迹分别交于点119860119861119862119863并满足119873119860119873119861119873119862119873119863求11989611198962的值第6页共20页外装订线请不要在装订线内答题内装订线答案和解析答案119861解析分析本题考查直线的倾斜角和斜率的关系以及由两点求直线的斜率此题属于基础题型首先根据斜率公式求直线119860119861的斜率119896再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率进而求出119910的值解答解因为直线经过两点11986042119910111986123所以直线119860119861的斜率119896211991013421199102又因为直线的倾斜角为31205874所以1198961所以1199103故选119861答案119863解析解因为119886119887是单位向量所以1198861198871又因为1198872119886119887所以11988721198861198870即21198861198871198872211988811990011990411988611988710所以cos11988611988712又0119886119887120587所以119886与119887的夹角为21205873故选119863根据1198872119886119887可得11988721198861198870再根据数量积的运算律求出夹角的余弦值即可得解本题主考查了向量数量积的性质的应用属于基础题第7页共20页外装订线学校姓名班级考号内装订线答案119863解析解因为在平面直角坐标系中每一条直线都有倾斜角120572当12057290时直线的斜率119896存在其方程可写成119910119896119909119887它可变形为1198961199091199101198870与1198601199091198611199101198620比较得1198601198961198611119862119887当12057290时直线的斜率不存在其方程可写成1199091199091与1198601199091198611199101198620比较得119860111986101198621199091显然119860119861不同时为0故正确当1198620时方程1198601199091198611199101198620119860119861不同时为0即1198601199091198611199100显然有119860011986100即直线过原点11987400故正确当119860011986101198620时方程1198601199091198611199101198620可化为119910119862119861它表示的直线与119909轴平行故正确当直线平行于坐标轴时一般式不能化为两点式或点斜式故错误故选119863根据直线方程1198601199091198611199101198620表示不同直线的充要条件即可做出判断本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质属于基础题答案119862解析解如图119874为球心1198741是截面圆的圆心则由题意可得1198741198741411987411198603在1198771199051198741198741119860中11987411986011987411987412119874111986021695所以球的体积为43120587119877343120587535001205873故选119862画出图形结合图形和已知条件可求出球的半径从而可求出球的体积本题考查球的截面圆问题属基础题答案119861解析解119909211991024的圆心11987400半径119903211987223线段119872119874的中点1198621321198721198744913以119872119874为直径的圆119862的方程为11990912119910322134即11990921199102211990931199100把圆11986211990921199102211990931199100与圆119909211991024相减得2119909311991040直线2119909311991040经过两圆的交点即切点119860119861直线119860119861的方程为2119909311991040第8页共20页外装订线请不要在装订线内答题内装订线故选119861119909211991024的圆心11987400求出以119872119874为直径的圆119862的方程为11990921199102211990931199100把圆11986211990921199102211990931199100与圆119909211991024相减得直线119860119861的方程本题考查直线方程的求法考查直线方程圆等基础知识是中档题答案119862解析解将函数119910119904119894119899211990931198881199001199042119909的图象沿119909轴向右平移119886个单位1198860得到的函数119910119904119894119899211990911988631198881199001199042119909119886sin211990921198863cos211990921198862119904119894119899211990921198861205873所得图象关于119910轴对称211988612058731205872119896120587119896119911解得119886120587121198961205872119896119911119886的最小值是12058712故选119862根据左加右减原则表示出变换后的函数解析式再由两角差的正弦公式进行整理利用正弦函数图象的对称性和诱导公式列出关于119886的式子再求出119886的最小值本题主要考查函数119910119860119904119894119899120596119909120593的图象变换法原则左加右减上加下减以及两角差的正弦公式和三角函数图象的性质应用注意左右平移时必须在119909的基础进行加减这是易错的地方答案119863解析解设119875119909119910又1198602011986110且11987511986021198751198611199092211991022119909121199102化简得119875点的轨迹为圆1198631199092211991024圆心11986320半径11990312又点119875在圆11986211990912119910421198981198980上圆心11986214半径1199032119898两圆有公共点1199031119903211986211986311990311199032211989891621198981198980解得911989849故选119863设119875119909119910先由1198751198602119875119861求出119875的轨迹方程根据题意可得两圆有公共点从而建立不等式即可求解第9页共20页外装订线学校姓名班级考号内装订线本题考查轨迹方程的求解圆与圆的位置关系不等式思想属基础题答案119862解析解令1199051198921199091199050当1198981时方程为11989111990511990510即1198911199051119905作出函数119910119891119905及1199101119905的图象由图象可知方程的根为1199050或1199051即11990911990920或11990911990921作出函数1198921199091199091199092的图象结合图象可得所有根的和为5不合题意故错误当1198980时方程为1198911199051199050即119891119905119905由图象可知方程的根0结合函数1198921199091199091199092的图象可得方程有四个根所有根的和为4满足题意故错误故选119862由选项可取11989811198980利用数形结合排除不合题意的选项即得第10页共20页外装订线请不要在装订线内答题内装订线本题考查函数的方程的应用考查学生的运算能力属于中档题答案119860119863解析解119894111991121199112111989421119894111989411198941119894对于119860119911的虚部为1故正确对于11986111991112122故错误对于1198621199111119894故错误对于119863119911211198942111989422119894故正确故选119860119863根据已知条件结合复数的四则运算先对119911化简再结合复数的性质即可依次求解本题主要考查复数的四则运算以及复数的性质属于基础题答案119860119862解析解因为直线119897与直线1198971及119909轴围成一个底边在119909轴上的等腰三角形所以直线119897与直线1198971的倾斜角互补所以直线119897与直线1198971的斜率相反又直线1198971的斜率为2所以直线119897的斜率为2又直线119897过点11987511所以直线119897的方程为211990911991010所以满足条件的直线只有一条且直线119897在119909轴上的截距为12在119910轴上的截距为1所以只有119860正确故选119860119862根据题意得到119897与1198971的倾斜角互补故选项正确由条件根据点斜式求出直线119897方程由此判断选项119862119863本题主要考查直线的倾斜角属于基础题答案119860119863解析解圆119874119909211991024的圆心11987400半径为2圆11986211990922119910321圆心11986223半径为1第11页共20页外装订线学校姓名班级考号内装订线119860中圆心距11987411986222321321所以两个圆相离所以两个圆有4条公切线所以正确119861中过点11986223又过原点的直线在两坐标轴的截距相等即11991032119909在坐标轴的截距相等当直线不过119874时设119909119910119886将119862的坐标代入可得1198865所以过点119862点在坐标轴的截距相等的直线为1199091199105所以119861不正确119862中过点11986223的斜率不存在时即直线1199092显然与圆相切当切线的斜率存在时设为11991031198961199092即119896119909119910211989630圆心119874到直线的距离11988921198963119896212解得119896512则这时切线方程为511990912119910260所以过119862且与圆119874相切的直线为1199092或511990912119910200故不正确119863中圆心距11987411986213由题意可得1198751198761198741198622111987411986221即119875119876133133所以正确故选119860119863由两个圆的方程可得圆心坐标及半径可得圆心距大于两个半径之和即两个圆相离判断出正确过119862在两坐标轴上的截距相等的直线有两条所以119861不正确点119862在圆119874外部所以过点119862与圆119874相切的直线有两条所以119862不正确两个圆上的点的距离1198751198761198741198622111987411986221可判断正确本题考查两个圆的位置关系的判断及直线与圆相切的性质的应用属于中档题答案119860119861119862解析解对于119860当119875为1198611198621中点时11986111986211986211198611是正方形11986111198751198611198621119860119861平面119861119862119862111986111198611119875平面11986111986211986211198611119860119861119861111987511986011986111986111986211198611198601198611198611198621平面1198601198611198751198611119875平面1198601198611198751198611119875平面1198601198751198611平面1198601198751198611平面119860119861119875第12页共20页外装订线请不要在装订线内答题内装订线易知119877119905119860119861119875外接圆圆心为119860119875中点1198771199051198601198751198611外接圆圆心为1198601198611中点则过119877119905119860119861119875外接圆圆心作平面119860119861119875的垂线过1198771199051198601198751198611外接圆圆心作平面1198601198751198611的垂线易知两垂线交点为1198601198611中点则三棱锥1198751198601198611198611的外接球球心即为1198601198611中点外接球半径即为119860119861122故正确对于119861如图过119875作119875119866119861119862于119866过119876作119876119864119875119866于119864易知119875119876119876119864119860119866119860119861故线段119875119876长度的最小值为1198601198612故正确对于119862119861119862111986011986311198601198631平面11986011986211986311198611198621平面11986011986211986311198611198621平面11986011986211986311198751198611198621故119875到平面1198601198621198631的距离为定值又1198781198601198621198631为定值则11988111986311198601198751198621198811198751198601198621198631为定值故正确对于119863易知截面119861119875119876与平面11986111986211986211198611的交线始终为1198611198621连接1198601198631易知11986111986211198601198631过119876作1198761198651198601198631交11986011198631于119865连接1198651198621119876119861则1198611198761198651198621即为截面其最多为四边形第13页共20页外装订线学校姓名班级考号内装订线当119876与1198601重合119875与1198621重合此时截面119861119875119876为三角形平面119861119875119876截该正方体所得截面不可能为五边形故错误故选119860119861119862119860易知三棱锥1198751198601198611198611的外接球球心为1198601198611中点据此即可求解判断119861根据几何图形即可判断线段119875119876长度的最小值为119860119861119862易知11988111986311198601198751198621198811198751198601198621198631为定值119863作出平面119861119875119876与正方体各个面的交线即可判断其形状本题主要考查棱柱的结构特征空间想象能力的培养等知识属于基础题答案62解析解令1199090则119910119887即直线在119910轴上的截距为119887令1199100则1199091198874即直线在119909轴上的截距为1198874所以直线1199104119909119887与坐标轴围成的面积1198781211988711988741811988729解得11988762故答案为62由直线的方程可得在119909119910轴上的截距进而求出直线与坐标轴围成的面积由题意可得119887的值本题考查直线在119909119910轴的截距的求法及直线与坐标轴围成的三角形面积的求法属于基第14页共20页外装订线请不要在装订线内答题内装订线础题答案5解析解由题意1198911199092119909119909当119909当1199090时11989111990921199092为减函数且20202可知函数119891119909在上是减函数119891211988611198913119886421198861解得1198865即不等式1198912119886111989131198864的解集为5故答案为5求得分段函数的单调性再利用单调性解不等式即可本题考查分段函数的应用考查学生的运算能力属于中档题答案37解析分析本题主要考查了直线与圆的位置关系和三角形中的几何计算考查了数形结合思想的应用属于中档题119860119861119862生成的康威圆圆心为119868易得119868到线段119860111986221198612119862111986021198611的距离相等故亦为119860119861119862内切圆的圆心利用三角形内切圆半径和三角形周长面积的关系解得1199031再利用勾股定理即可求解解答解设119860119861119862生成的康威圆圆心为119868显然119868在119860119861119862内11986011198622119861211986211198602119861111988611988711988812过119868作119860111986221198612119862111986021198611的垂线则垂足分别在119860111986221198612119862111986021198611的中点处易得119868到线段119860111986221198612119862111986021198611的距离相等故亦为119860119861119862内切圆的圆心由119886211988721198882故119860119861119862是以119862为直角顶点的直角三角形第15页共20页外装订线学校姓名班级考号内装订线设三角形119860119861119862的内切圆半径为119903由1198781198601198611198621211988611988712119903119886119887119888解得1199031连接1198601119868则康威圆的半径11987711986011198681199032119860111986222213637故答案为37答案22解析解由题意设点11987511990511990541198621199091119910111986311990921199102因为119875119863119875119862是圆的切线所以119874119863119875119863119874119862119875119862所以119862119863在以119874119875为直径的圆上其圆的方程为119909119905221199101199054221199052119905424又119862119863在圆119909211991024上将两个圆的方程作差得直线119862119863的方程为119905119909119905411991040即119905119909119910411991010所以直线119862119863恒过定点11987611又因为119874119872119862119863119872119876119862119863四点共线所以119874119872119872119876即119872在以119874119876为直径的圆11990912211991012212上其圆心为1198741212半径为11990322如图所示所以11986011987211989811989411989911986011987411990312421222222所以119860119872的最小值为22故答案为22第16页共20页外装订线请不要在装订线内答题内装订线利用圆的性质结合图像把问题转化为跟圆有关的最值问题进行处理本题考查直线与圆的综合运用考查运算求解能力属于中档题答案解1因为直线119897的倾斜角为1205874所以直线119897的斜率为tan12058741因为直线119897过点11986012所以直线119897的方程为11991021199091即119909119910102因为11986012在对称轴1199091上所以点11986012也在直线1198981199102119909119887上所以22119887得1198870所以直线119898为1199102119909过原点11987400则11987400关于直线1199091的对称点为11986120所以点11986120在直线119897上所以直线119897的斜率为20122所以直线119897的方程为119910221199091即211990911991040解析1结合倾斜角与斜率关系先求出直线的斜率进而可求直线方程2由对称性先求出119887进而可求119861点坐标结合斜率公式即可求解本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系还考查了点关于直线的对称性的应用属于中档题答案解111990921199102211990930119909211991024119909211991030得2119909211991060即公共弦119860119861所在直线方程为119909119910302设圆的方程为1199092119910221199093120582119909211991024119909211991030即1120582119909211205821199102241205821199092120582119910331205820因为圆过原点所以3312058201205821所以圆的方程为1199092119910231199091199100解析1直接把两圆的方程作差消去二次项即可得到公共弦119860119861所在的直线方程2利用圆系方程设圆的方程为1199092119910221199093120582119909211991024119909211991030利用圆过圆过原点可求圆的方程本题考查了圆与圆位置关系的判定考查了圆的方程的求法训练了圆系方程的用法第17页共20页外装订线学校姓名班级考号内装订线属中档题答案1解设圆119862的方程为119909119886211991011988721199032圆119862与直线119909311991030相切于点11987503且与直线119909311991050也相切1198873119886131119886311988751321199031198862119887321199032可得11988731198861119886311988752411990321198862119887321199032解得119886111988701199032即圆119862的方程为11990912119910242解由题意得119860119862119861为钝角或平角当119860119861119862共线时1198983此时119860119862119861为平角当119860119861119862不共线时1198983119860119862119861为钝角设圆心119862到直线119897的距离为119889则0于是有0解之得1198981或119898综上实数119898的取值范围是71解析1设圆119862的方程为119909119886211991011988721199032由已知可得11988731198861119886311988752411990321198862119887321199032求解即可2由题意得119860119862119861为钝角或平角分类讨论可得0本题考查求圆的方程考查直线与圆的位置关系属中档题答案解1由于sin2119860119861119904119894119899119861119904119894119899119860整理得11990411989411989921198601198881199001199041198611198881199001199042119860119904119894119899119861119904119894119899119861119904119894119899119860故21199041198941198991198601198881199001199041198601198881199001199041198611199041198941198991198601199041198941198991198611198881199001199042119860119904119894119899119861整理得211988811990011990411986011988811990011990411986121199041198941198991198601199041198941198991198611故cos11986011986112由于0所以11986011986121205873故1205873第18页共20页外装订线请不要在装订线内答题内装订线2由1得1198621205873利用三角形的面积公式整理得1211988611988711990411989411989911986212119886119862119863sin120587612119887119862119863sin1205876故119886119887119886119887整理得111988611198871所以11987811986011986111986212119886119887119904119894119899119862341198861198873411988611988711198861119887341111988711988611988611988734223当且仅当119886119887时等号成立即119860119861119862面积的最小值为3解析1直接利用三角函数的关系式的变换和倍角公式的应用及和角的余弦公式的应用求出119862的值2利用1的结论进一步利用三角形的面积公式和基本不等式的应用求出三角形面积的最小值本题考查的知识要点三角函数关系式的变换倍角公式的应用三角形面积公式的应用基本不等式的应用主要考查学生的运算能力和数学思维能力属于中档题答案解1本次考试成绩的平均数为4501550266502750385008950066682因为前3组频率之和为0102602056前4组频率之和为010260203086所以第65百分位数在第4组中设为119909则05611990970003065解得11990971第65百分位数是713第五组与第六组学生总人数为008006507其中第五组有4人记为119886119887119888119889第六组有3人记为119860119861119862从中随机抽取2人的情况有119886119887119886119888119886119889119886119860119886119861119886119862119887119888119887119889119887119860119887119861119887119862119888119889119888119860119888119861119888119862119889119860119889119861119889119862119860119861119860119862119861119862共有21种其中至少1人成绩优秀的情况有15种所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率为152157第19页共20页外装订线学校姓名班级考号内装订线解析1根据频率分布直方图中平均数计算方法计算即可2根据频率分布直方图及第65百分位数的概念计算即可3计算出第五组与第六组人数进行编号列出抽取2人的所有情况然后求得概率本题考查根据频率分布直方图求平均数百分位数属于基础题答案解1圆1198741199092119910216的圆心坐标为00半径为4因为直线119897119898211990921198981119910611989890与圆1198741199092119910216相切所以圆心119874到直线119897的距离等于半径即61198989119898222119898124解得119898122或11989812故直线119897的方程为151199098119910680或119909402设119872119909119910119875119909119910由1198761198752119876119872可得1199091199091199102119910又点119875在圆119874上1199092119910216即11990922119910216化简得119909216119910241即点119872的轨迹方程为1199092161199102413设1198601199091119910111986111990921199102119860119861所在直线方程为119910111989611199092联立得119910111989611199092119909216119910241化简得141198961211990928119896112119896111990941211989612160则119909111990928119896112119896114119896121199091119909241211989612161411989612119873119860119873119861119909122119910112119909222119910212119909122119896111990912211990922211989611199092221119896121199091211990922111989612119909111990922119909111990924111989612412119896121614119896122811989611211989611411989612481119896121411989612同理11987311986211987311986381119896221411989622由119873119860119873119861119873119862119873119863可得8111989612141198961281119896221411989622化简1198961211989622又11989611198962故11989611198962即119896111989620解析1由圆心119874到直线119897的距离等于半径列关于119898的方程求解即可2设119872119909119910119875119909119910可得1199091199091199102119910代入圆119874方程即可求解3设出直线119860119861联立椭圆方程表示出119873119860119873119861119873119862119873119863解出11989611198962即可第20页共20页外装订线请不要在装订线内答题内装订线本题主要考查直线与圆锥曲线的综合轨迹方程的求法直线与圆的位置关系考查运算求解能力属于难题