2024年江苏省海安高级中学、宿迁中学高考数学模拟试卷（含解析）.doc

第1页共16页2024年江苏省海安高级中学宿迁中学高考数学模拟试卷一单选题本题共8小题每小题5分共40分在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的已知复数11991111211989411991121198862119894其中为虚数单位119886119877若11991111199112是纯虚数则11988641直线119909tan120587511991020的倾斜角为120587531205871071205871041205875有名男医生名女医生从中选出名男医生名女医生组成一个医疗小组则不同的选法共有种种种种已知等差数列119886119899的前项和为119878119899且1198865511988611198781146则119886311988610是119886119899中的第项第项第项第项在119860119861119862中已知119861301198882则1198872是11986245成立的条件充分不必要必要不充分充分必要既不充分也不必要已知双曲线1199092411991021直线11990911991010双曲线上的点到直线的距离最小则点的横坐标为233433233433若命题119886119887119877使得119886cos119887119887cos119886为假命题则的大小关系为119886119886119887119886119887119886119887设实数满足119886211988721198881则119886119887119888的最小值为22112221二多选题本题共3小题共18分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得6分部分选对的得2分有选错的得0分下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为方差平均数中位数众数已知不等式119886119909311990921198870对任意1199090恒成立其中是整数则119886119887的取值可以为42第2页共16页直线与抛物线119909221199011199101199010相交于两点过两点分别作该抛物线的切线与直线119910119901均交于点则下列选项正确的是直线过定点0119901两点的纵坐标之和的最小值为存在某一条直线使得119860119875119861为直角设点11987602119901在直线上的射影为则直线斜率的取值范围是33三填空题本题共3小题每小题5分共15分已知集合1198721199091199092511990960119873119909cos119909已知函1198911199091199090在长方体1198601198611198621198631198601119861111986211198631中119860119861411986111986211986111986112分别是棱11986011198631的中点则平面截该长方体所得的截面为边形截面面积为四解答题本题共5小题共77分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题分如图在四棱锥119875119860119861119862119863中已知棱两两垂直长度分别为2若119863119862120582119860119861且向量119875119862与119861119863夹角的余弦值为15151求实数120582的值2求直线与平面所成角的正弦值本小题分已知向量119898cos119909sin119909119899cos119909sin11990923cos119909119909119877设1198911199091198981198991求函数119891119909的单调递增区间2在119860119861119862中若119891119861119860119862111986011986121198611198626119861119860119862的平分线交于点求长第3页共16页本小题分在平面直角坐标系中设椭圆119909211988621199102119887211198861198870的离心率为3211986511198652分别是椭圆的左右焦点过1198652作两条互相垂直的直线11989711198972直线1198971与交于两点直线1198972与交于两点且11986011986511198652的周长是4231求椭圆的方程2当11986011986132119863119864时求119874119863119864的面积本小题分设函数119891119909119909119886ln1199091199091198861198861198771若1198860求函数119891119909的单调区间2若211989023求证对任意的正数都存在实数满足对任意的119909119905119905119886119891119909本小题分踩高跷猜灯谜是我国元宵节传统的文化活动某地为了弘扬文化传统发展地摊经济在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动1某商户借灯谜活动促销将灯谜按难易度分为两类抽到较易的类并答对购物打八折优惠抽到稍难的类并答对购物打七折优惠抽取灯谜规则如下在一不透明的纸箱中有张完全相同的卡片其中张写有字母张写有字母张写有字母顾客每次不放回从箱中随机取出张卡片若抽到写有的卡片则再抽次直至取到写有或卡片为止求该顾客取到写有卡片的概率2小明尝试去找全街最适合他的灯谜规定只能取一次并且只可以向前走不能回头他在街道上一共会遇到条灯谜不妨设每条灯谜的适合度各不相同最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等小明准备采用如下策略不摘前1198961119896的就摘这条灯谜否则就摘最后一条设119896119905119899记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为119875若11989941198962求当趋向于无穷大时从理论的角度求的最大值及取最大值时的值取11198961119896111198991ln119899119896第4页共16页答案和解析答案解析解11991111211989411991121198862119894则1199111119911212119894119886211989411988642211988611989411991111199112是纯虚数则11988640221198860解得1198864故选119860根据已知条件结合复数的四则运算以及共轭复数的定义即可求解本题主要考查复数的四则运算以及共轭复数的定义属于基础题答案解析解直线119909tan120587511991020可化为119910119909tan12058752所以斜率为119896tan1205875tan1205871205875tan41205875所以该直线的倾斜角为41205875故选119863根据直线方程求出直线的斜率从而求出直线的倾斜角本题考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题是基础题答案解析分析本题考查分步计数原理的应用注意区分排列组合的不同根据题意分步分析先从名男医生中选人再从名女医生中选出人由组合数公式依次求出每一步的情况数目由分步计数原理计算可得答案解答解根据题意先从名男医生中选人有1198626215种选法再从名女医生中选出人有119862515种选法则不同的选法共有15575种故选119862答案第5页共16页解析解等差数列119886119899中11988651198861411988951198861119878111211988615511988946解得1198892119886113所以1198861198991321198991152119899则1198863119886109545令15211989945则11989930故是数列119886119899的第项故选119862由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用属于基础题答案解析解1198613011988821198872则sin119862119888sin1198611198872122221198620120587则11986245或135故1198872是11986245成立的必要不充分条件故选119861根据已知条件结合正弦定理即可求解本题主要考查正弦定理的应用属于基础题答案解析解设与直线平行与双曲线相切的直线方程为1199091199101198980联立11990911991011989801199092411991021消去整理得3119909281198981199094119898240120549641198982124119898240解得1198983由图可得1198983时符合题意第6页共16页所以3119909283119909160解得119909433即双曲线上的点到直线的距离最小则点的横坐标为433故选119863设与直线平行与双曲线相切的直线方程为1199091199101198980与双曲线方程联立由1205490可得的值由图象确定的取值从而解方程可得所求值本题主要考查双曲线的性质考查运算求解能力属于中档题答案解析解若命题119886119887119877使得119886cos119887119887cos119886为假命题则119886119887119877使得119886cos119887119887cos119886即119886cos119886119887cos119887恒成立令119891119909119909cos119909119909119877则1198911199091sin1199090即119891119909在上单调递增由119891119886119891119887可得119886119887故选119861由题意得119886119887119877使得119886cos119887119887cos119886即119886cos119886119887cos119887恒成立构造函数119891119909119909cos119909119909119877结合导数判断函数的单调性利用单调性即可判断本题主要考查了含有量词的命题真假关系的应用还考查了导数与单调性关系在不等式大小比较中的应用属于基础题答案解析解11988621198872211988611988722119886119887211988621198872211988811988611988711988821198881198881198882221212当且仅当1198861198871211988812时取等号119886119887119888min12故选119861由已知结合基本不等式及二次函数的性质即可求解本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在最值求解中的应用属于中档题答案第7页共16页解析解平均数中位数众数和方差它们从不同的角度反映了数据的数字特征平均数中位数和众数都反映了总体数据集中趋势方差反映的是总体数据的离散程度故选119861119862119863根据数据数字特征的性质求解本题主要考查了数据的数字特征属于基础题答案解析解画出1199101198861199093与1199101199092119887在0上的图象如图所示时不等式119886119909311990921198870对任意1199090恒成立由11988611990930得119909311988611990921198870得119909119887负值舍去此时1198870119886119887119885得11988611198879或11988631198871所以1198861198878或2故选119861119863结合1199101198861199093与1199101199092119887在0上的图象判断即可本题考查不等式的解法和性质数形结合思想的应用属于中档题答案解析解由题意直线的斜率一定存在设直线的方程为119910119896119909119898联立方程组11991011989611990911989811990922119901119910可得1199092211990111989611990921199011198980设1198601199091119910111986111990921199102则12054921199011198962421199011198980且119909111990922119901119896119909111990922119901119898第8页共16页对于中由抛物线11990922119901119910可得119910121199011199092则119910119909119901所以在点的切线方程为119910119910111990911199011199091199091即11991011990912211990111990911199011199091199091即1199101199091119901119909119909122119901同理可得在点处的切线方程为1199101199092119901119909119909222119901联立方程组11991011990911199011199091199091221199011199101199092119901119909119909222119901解得11991011990911199092211990121199011198982119901119898又因为过两点的切线与直线119910119901均交于点所以119898119901即119898119901所以直线的方程为119910119896119909119901恒过定点0119901所以正确对于中由11991011199102119896119909111990111989611990921199012119901119896212119901当且仅当1198960时等号成立即两点的纵坐标之和的最小值为所以正确对于中假设存在某一条直线使得119860119875119861为直角即1198961198751198611198961198751198601可得119909111990111990921199011即119909111990921199012又因为1199091119909221199012此时矛盾所以不存在直线使得119860119875119861为直角所以不正确对于中因为直线119910119896119909119901所以1198961198761198671119896则直线的方程为11991011198961199092119901联立方程组11991011989611990911990111991011198961199092119901解得1199091198961199011198962111991021198962111990111989621即1198671198961199011198962121198962111990111989621又由11986501199012所以的斜率为1198961198651198672119896211199011198962111990121198961199011198962131198962121198961231198961119896当1198960时3119896111989623119896111989623当且仅当11989633时等号成立当119896所以1198961198651198673或1198961198651198673即直线的斜率为33所以正确故选119860119861119863设直线的方程为119910119896119909119898联立方程组求得119909111990922119901119896119909111990922119901119898根据题意求得119910119909119901得出在点和处的切线方程联立方程组求得119910119898得到119898119901可判定正确由11991011199102211990111989621可判定正确由1198961198751198611198961198751198601得到119909111990921199012可判定不正确求得直线的方程第9页共16页为11991011198961199092119901联立方程组求得的坐标结合斜率公式和基本不等式可判定正确本题考查了直线与抛物线的综合应用属于难题答案11990921205873解析解由题意可得119872119909119909251199096011990921199093又cos119909即119873119909212058732119896120587当1198960时11987311990921205873当1198960时119872119873所以11987211987311990921205873故答案为11990921205873先求出集合和集合再求两者的交集本题考查集合的交集属于基础题答案解析解1198911199091199090当0当1198861时21198861211988611无解综上11988614119891111988611989142416故答案为6当01198911119886本题考查函数值的求法是基础题解题时要认真审题注意函数性质的合理运用答案五11176第10页共16页解析解过作的平行线交11986311198621于交11986011198611于连接交1198601119860于连接则直线与直线共面且点119873119875119864119875119872119865119864119864119862则点也在直线与直线确定的面上所以可得五边形为平面截该长方体所得的截面如图为11986011198611的中点为11986311198621的中点明显有11986211986411986211198671198601119866所以1198651198721198601119866所以为11986311198621靠近1198631的四等分点又11986311198721198601119875且为11986011198631的中点所以11986311198721198751198601又1198601198641198601119875所以11986011198731198731198601198751198601119860119864119863111987211986011986412即为1198601119860靠近1198601的三等分点所以11986511987211211987211986232221311986511986214222211198651198731232133119873119864432222133119864119862222222119864119865222213cos119865119872119862213212213326cos119864119865119862921823211321cos11987311986511986413994139213337313所以sin119865119872119862132621726sin1198641198651198621113212217321sin119873119865119864173132217313所以截面面积为1198781198651198721198621198781205491198641198651198621198781205491198731198651198641221317261232121732112133321731311176故答案为五11176利用面面平行的性质以及基本事实可得截面为五边形根据截面面积为119878119865119872119862119878120549119864119865119862119878120549119873119865119864分别求解相加即可本题考查了正方体的截面问题也考查了推理与运算能力是难题第11页共16页答案解以为坐标原点分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系则119860000119861100119863020119875002由119863119862120582119860119861可得11986212058220111987511986212058222119861119863120向量119875119862与119861119863夹角的余弦值为1515可得151512058241205822814解得12058210舍去或1205822实数120582的值为22119875119862222119875119863022平面的法向量119899119909119910119911则1198991198751198620且1198991198751198630即119909119910119911011991011991101199090不妨令1199101199111则平面的法向量119899011又119875119861102故cos119899119875119861119899119875119861105直线与平面所成角的正弦值为105解析本题考查建立空间直角坐标系利用空间向量求异面直线所成角直线和平面所成角的方法能求空间点的坐标向量坐标的数乘运算向量夹角余弦的坐标公式理解平面法向量的概念弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和法向量所成角的关系1根据已知条件即可建立坐标系以为坐标原点分别以边所在直线为轴建立空间直角坐标系然后即可根据已知条件求出点点的坐标利用向量119875119862与119861119863夹角的余弦值为求出120582的值2求出平面的法向量利用向量夹角的余弦公式求解直线与平面所成角的正弦值答案解1119891119909cos2119909sin119909sin11990923cos119909cos2119909sin211990923sin119909cos1199093sin2119909cos2119909232sin211990912cos21199092sin21199091205876令21198961205871205872所以函数的单调增区间为119896120587120587311989612058712058761198961198852由题意得2sin211986111986011986212058761因为0在119860119861119862中由余弦定理得1198611198622119860119861211986011986222119860119861119860119862cos119861119860119862第12页共16页即6411986011986222119860119862解得11986011986231因为119861119860119862的平分线交于点所以119878119861119860119863119878119862119860119863119878119860119861119862所以12119860119861119860119863sin120587612119860119862119860119863sin120587612119860119862119860119861sin1205873所以121198601198633141198601198633312解得1198601198632解析1由平面向量数量积的运算和三角恒等变换化简后结合正弦函数的单调性即可求得2由题可得1198611198601198621205873再由余弦定理求出再由等面积法建立方程求解即可本题考查平面向量的数量积运算三角函数的值域正余弦定理的应用和三角形的面积公式属于中档题答案解1因为11989032知11988811988632所以11988832119886因为11986011986511198652的周长是423所以21198862119888423所以11988621198883故1198872119886211988821所以椭圆的方程为11990924119910212分析知直线的斜率存在且不为设的方程为1199091198981199103设1198601199091119910111986111990921199102与椭匮方程联立11990924119910211199091198981199103整理可得4119898211991022311989811991010可得11991011199102231198984119898211991011199102141198982所以写出1198601198611119898211991011199102241199101119910211198982121198982411989822414119898241119898241198982由题意同理可得1198631198644111198982411198982411198982141198982因为11986011986132119863119864所以4111989824119898232411198982141198982解得11989822所以11986311986443所以直线1198972的方程为11991021199093第13页共16页所以到直线1198972的距离119889622122故11987811987411986311986412243223解析1由椭圆的离心率可得的关系再由11986011986511198652的周长可得的关系进而求出的值再求出的值求出椭圆的方程2设直线1198971的方程与椭圆的方程可得两根之和及两根之积进而求出弦长119860119861的表达式由题意可得119863119864的表达式由题意可得参数的值即求出直线1198972的方程再求出原点到直线1198972的距离代入三角形的面积公式可得119874119863119864的面积本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用点到直线的距离公式的应用三角形面积公式的应用属于中档题答案解1当1198860时119891119909119909ln119909119909119891119909ln119909令11989111990901199091列表分析011119891119909119891119909单调递减单调递增故119891119909的单调递减区间为01单调递增区间为12119891119909119909119886ln119909119909119886119891119909ln119909119886119909119909ln119909119886119909其中1199090令119892119909119909ln119909119886分析119892119909的零点情况119892119909ln1199091令11989211990901199091119890列表分析0111989011198901119890119892119909119892119909单调递减单调递增119892119909min11989211198901119890119886而1198911119890ln11198901198861198901119886119890119891119890221198861198902211988611989021198911198902211988611989021119890221198902119886若211989020因此119891119909在11989021198902有一个零点119891119909在11989021198902内有一个极值点3猜想11990911119886119891119909证明如下第14页共16页由2得119892119909在1119890上单调递增且1198921119886因为当1199091时ln11990911119909所以119892111988611198861111988611198860故119892119909在11119886上存在唯一的零点设为1199090由11199090119909011990901119886119891119909119891119909单调递减单调递增知11990911119886119891119909又1198911119886ln11198861而1199091时ln119909所以1198911119886即11990911119886119891119909所以对任意的正数都存在实数1199051使对任意的119909119905119905119886使119891119909补充证明令119865119909ln119909111990911199091119865119909111990911199092119909111990920所以119865119909在1上单调递增所以1199091时11986511990911986510即ln11990911119909补充证明令119866119909ln11990911990911199091119866119909111990910所以119866119909在1上单调递减所以1199091时119866119909解析1求解119891119909ln119909利用11989111990901198911199092119891119909ln119909119886119909其中1199090再次构造函数令119892119909119909ln119909119886分析119892119909的零点情况119892119909ln1199091令11989211990901199091119890列表分析得出119892119909单调性判断119892119909min11989211198901119890119886由21198902119886判断119891119909的零点个数即可判断119891119909的极值点个数3先猜想119909111198861198911199091119866119909111990910求解最大值得出119866119909本题主要考查导数与函数单调性的关系会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题考查了不等式与导数的结合难度较大第15页共16页答案解18张完全相同的卡片张写有字母张写有字母张写有字母由抽取规则可知该顾客取到写有卡片的概率为11987538383738273638271635352这条灯谜的位置从第条到第条排序有1198604424种情况要摘到最适合的灯谜有以下两种情况最适合的灯谜是第条其他的灯谜随意在哪个位置有119860336种情况最适合的灯谜是最后条第二适合的灯是第条或第条其他的灯随意在哪个位置有2119860224种情况故所求概率为1198756424512记事件表示最适合的灯谜被摘到事件119861j表示最适合的灯谜在灯谜中排在第条因为最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等所以119875119861j1119899以给定所在位置的序号作为条件119875119860119875119899j1119860119861j119875119861j1119899119875119899j1119860119861j当1119895119896时最适合的灯在前条灯之中不会被摘到此时119875119860119861j0当1198961119895119899时最适合的灯谜被摘到当且仅当前1198951条灯谜中的最适合的一条在前条灯谜中时此时119875119860119861j119896j1由全概率公式知1198751198601119899119896j1119899j11989611198961198991j1198991j119896119896119899ln119899119896令函数119892119909119909119899ln11989911990911990901198921199091119899ln1198991199091119899令1198921199090则119909119899119890当1199090119899119890时1198921199090当119909119899119890119899时119892119909所以119892119909在0119899119890上单调递增在119899119890119899上单调递减所以119892119909max1198921198991198901119890所以当119896119899119890时119875119860119896119899ln119899119896取得最大值最大值为1119890此时1199051119890即的最大值为1119890此时的值为1119890解析1由分类加法原理和分步乘法原理求解2由题意可知要摘到最适合他的灯谜有两种情况最适合他的灯谜是第条和最适合他的灯谜是最第16页共16页后条分情况分析两种情况的可能性结合古典概型即可求出结果记事件表示最适合的灯谜被摘到根据条件概率和全概率公式求出119875119860再用导数求出最值即可本题考查了概率和导数的综合应用属于难题