2021年全国新高考Ⅱ卷(含解析)

年普通高等学校招生全国统一考试全国新高考卷数学试卷注意事项答卷前考生务必将自己的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上用铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上将条形码横贴在答题卡右上角条形码粘贴处作答选择题时选出每小题答案后用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其他答案答案不能答在试卷上非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上如需改动先划掉原来的答案然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效考生必须保持答题卡的整洁考试结束后将试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的在复平面内复数wwwzqycom对应的点位于第一象限第二象限第三象限第四象限若全集wwwzqycom集合wwwzqycomwwwzqycom则wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom若抛物线wwwzqycom的焦点到直线wwwzqycom的距离为wwwzqycom则wwwzqycomwwwzqycom卫星导航系统中地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面轨道高度为轨道高度指卫星到地球表面的最短距离把地球看成一个球心为半径为的球其上点的纬度是指与赤道所在平面所成角的度数地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为wwwzqycom该卫星信号覆盖的地球表面面积wwwzqycom单位wwwzqycom则占地球表面积的百分比为正四棱台的上下底面的边长分别为侧棱长为则四棱台的体积为wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom某物理量的测量结果服从正态分布wwwzqycom则下列结论中不正确的是越小该物理量一次测量结果落在wwwzqycom内的概率越大越小该物理量一次测量结果大于的概率为越小该物理量一次测量结果大于与小于的概率相等越小该物理量一次测量结果落在wwwzqycom内的概率与落在wwwzqycom内的概率相等若wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom则wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom设函数wwwzqycom的定义域为且wwwzqycom为偶函数wwwzqycom为奇函数则wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom二选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得分部分选对的得分有选错的得分下列数字特征能体现一组数据离散程度的是标准差中位数极差平均数如图下列各正方体中为下底面的中心为顶点为所在棱的中点则满足wwwzqycom的是wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom已知直线wwwzqycom与圆wwwzqycom点wwwzqycom则下列说法正确的是若点在圆上则直线与圆相切若点在圆内则直线与圆相离若点在圆外则直线与圆相离若点在直线上则直线与圆相切设正整数wwwzqycom其中wwwzqycom记wwwzqycom则wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom三填空题本题共小题每小题分共分已知双曲线wwwzqycom离心率wwwzqycom则双曲线的渐近线方程为写出一个同时具有下列性质的函数wwwzqycomwwwzqycom当wwwzqycom时wwwzqycomwwwzqycom是奇函数已知向量wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom则wwwzqycom已知函数wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom函数wwwzqycom的图象在点wwwzqycom和点wwwzqycom处的两条切线互相垂直且分别交轴于两点则wwwzqycom的取值范围是四解答题本题共小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤分记wwwzqycom是公差不为的等差数列wwwzqycom的前项和若wwwzqycomwwwzqycom求数列wwwzqycom的通项公式wwwzqycom求使wwwzqycom成立的的最小值分在wwwzqycom中角所对的边长为wwwzqycomwwwzqycom若wwwzqycom求wwwzqycom的面积是否存在正整数使得wwwzqycom为钝角三角形若存在求若不存在说明理由分在四棱锥wwwzqycom中底面是正方形若wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom证明平面wwwzqycom平面求二面角wwwzqycom的平面角的余弦值分已知椭圆的方程为wwwzqycom右焦点为wwwzqycom且离心率为wwwzqycom求椭圆的方程设是椭圆上的两点直线与曲线wwwzqycom相切证明三点共线的充要条件是wwwzqycom分一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来设一个这种微生物为第代经过一次繁殖后为第代再经过一次繁殖后为第代该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列设表示个微生物个体繁殖下一代的个数wwwzqycom已知wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom求wwwzqycom设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率是关于的方程wwwzqycom的一个最小正实根求证当wwwzqycom时wwwzqycom当wwwzqycom时wwwzqycom根据你的理解说明问结论的实际含义分已知函数wwwzqycom讨论wwwzqycom的单调性从下面两个条件中选一个证明wwwzqycom有一个零点wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom参考答案答案解析本题考查复数的四则运算及几何意义因为wwwzqycom所以在复平面内复数wwwzqycom对应的点位于第一象限答案解析本题考查集合的交集和补集由题可得wwwzqycom所以wwwzqycom答案解析本题考查点到直线的距离及抛物线的焦点坐标抛物线wwwzqycom的焦点为wwwzqycom由题意得wwwzqycom解得wwwzqycom答案解析本题考查解三角形在实际生活中的应用由题意可知wwwzqycom所以从同步卫星上可望见的地球的表面积wwwzqycom此面积与地球表面积之比约为wwwzqycom答案解析本题考查棱台的体积将正四棱台wwwzqycom补成四棱锥wwwzqycom作wwwzqycom底面于点交平面wwwzqycom于点wwwzqycom则棱台wwwzqycom的体积wwwzqycom由题意wwwzqycom易知wwwzqycomwwwzqycom而wwwzqycom所以wwwzqycom则wwwzqycomwwwzqycom所以棱台wwwzqycom的体积wwwzqycom答案解析本题考查正态曲线的特点根据正态曲线可直接得出项项正确wwwzqycom越小则正态曲线越瘦高该物理量一次测量结果落在wwwzqycom内的概率越大项正确同理落在wwwzqycom内的概率大于落在wwwzqycom内的概率项错误答案解析本题考查对数的大小比较因为wwwzqycomwwwzqycom所以wwwzqycom答案解析本题考查函数的奇偶性周期性和函数图象的对称性因为函数wwwzqycom为偶函数所以其图象关于轴对称则函数wwwzqycom的图象关于直线wwwzqycom对称又函数wwwzqycom为奇函数所以其图象关于点wwwzqycom对称将函数wwwzqycom的图象向右平移wwwzqycom个单位长度得到函数wwwzqycom的图象且函数wwwzqycom的图象关于点wwwzqycom对称再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到函数wwwzqycom的图象且函数wwwzqycom的图象关于点wwwzqycom对称所以函数wwwzqycom图象既关于直线wwwzqycom对称又关于点wwwzqycom对称所以为函数wwwzqycom的一个周期又wwwzqycom所以wwwzqycom答案解析本题考查样本的数字特征平均数和中位数反映的是一组数据的集中趋势标准差和极差则体现了一组数据的离散程度答案解析本题考查直线与直线的位置关系设四个选项中的wwwzqycom均为边长为的正方体对于项如图取wwwzqycom的中点wwwzqycom则wwwzqycom所以与共面wwwzqycom为所求角连接wwwzqycom又可求得wwwzqycomwwwzqycom所以wwwzqycom所以与不垂直项错误对于项如图取的中点wwwzqycom连接wwwzqycomwwwzqycom则wwwzqycom且wwwzqycom平面wwwzqycom即wwwzqycom所以wwwzqycom平面wwwzqycom所以wwwzqycom项正确对于项如图取的中点wwwzqycom连接wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom则wwwzqycom且wwwzqycom平面wwwzqycom即wwwzqycom所以wwwzqycom平面wwwzqycom所以wwwzqycom又wwwzqycom所以wwwzqycom项正确对于项如图取wwwzqycom的中点wwwzqycom连接wwwzqycomwwwzqycom则wwwzqycom即wwwzqycom为异面直线与的夹角又wwwzqycomwwwzqycom所以wwwzqycom所以与不垂直项错误wwwzqycom答案解析本题考查点与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆心wwwzqycom到直线wwwzqycom的距离wwwzqycom若点在圆上则wwwzqycom则wwwzqycom所以直线与圆相切故项正确若点在圆内则wwwzqycom则wwwzqycom所以直线与圆相离故项正确若点在圆外则wwwzqycom则wwwzqycom所以直线与圆相交故项错误若点在直线上则wwwzqycom即wwwzqycom则点也在圆上wwwzqycom所以直线与圆相切故项正确答案解析本题考查对新定义的理解wwwzqycom假设wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom中有个wwwzqycom则wwwzqycom又wwwzqycom则wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom中也有个则wwwzqycom故项正确当wwwzqycom时wwwzqycomwwwzqycom所以wwwzqycom又wwwzqycom所以wwwzqycom故项错误wwwzqycomwwwzqycom由知wwwzqycom所以wwwzqycom所以wwwzqycom故项正确因为wwwzqycom所以wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom中有个所以wwwzqycom故项正确答案wwwzqycom解析本题考查双曲线的几何性质双曲线的离心率wwwzqycom所以wwwzqycom所以双曲线的渐近线方程为wwwzqycom答案wwwzqycom答案不唯一解析本题考查函数的奇偶性与单调性导数的应用由条件可知wwwzqycom在wwwzqycom上单调递增由条件可知wwwzqycom可能为偶函数再结合条件可构造函数wwwzqycom或wwwzqycom等答案wwwzqycom解析本题考查平面向量的数量积运算由wwwzqycom得wwwzqycom所以wwwzqycom所以wwwzqycom解得wwwzqycom由wwwzqycom得wwwzqycom所以wwwzqycom所以wwwzqycom解得wwwzqycom同理可得wwwzqycom所以wwwzqycom答案wwwzqycom解析本题考查利用导数的几何意义求切线方程及取值范围问题画出wwwzqycom的图象如图所示由题意知两条切线的斜率存在且不为零当wwwzqycom时wwwzqycomwwwzqycom过点wwwzqycom的切线斜率wwwzqycom当wwwzqycom时wwwzqycomwwwzqycom过点wwwzqycom的切线斜率wwwzqycom因为两条切线互相垂直所以wwwzqycom即wwwzqycom即wwwzqycom所以wwwzqycom过点wwwzqycom的切线方程为wwwzqycom令wwwzqycom则wwwzqycom过点wwwzqycom的切线方程为wwwzqycom令wwwzqycom则wwwzqycom则wwwzqycomwwwzqycom所以wwwzqycom因为wwwzqycom所以wwwzqycom所以wwwzqycom的取值范围为wwwzqycomwwwzqycom答案设等差数列wwwzqycom的公差为wwwzqycom则wwwzqycom解得wwwzqycom所以wwwzqycom结合可知wwwzqycom则wwwzqycom等价于wwwzqycom解得wwwzqycom或wwwzqycom又wwwzqycom所以wwwzqycom故使wwwzqycom成立的的最小值为答案由正弦定理知wwwzqycom联立wwwzqycom解得wwwzqycom则wwwzqycom由余弦定理可知wwwzqycom因为wwwzqycom所以wwwzqycom则wwwzqycom的面积为wwwzqycom因为wwwzqycom所以wwwzqycom所以若存在正整数使得wwwzqycom为钝角三角形只需角为钝角所以只需满足wwwzqycom即wwwzqycom则wwwzqycom化简得wwwzqycom解得wwwzqycom因为为正整数所以可取当wwwzqycom时wwwzqycom的三边的长度分别为此时不满足三角形的三边关系即该三角形不存在当wwwzqycom时wwwzqycom的三边的长度分别为满足题意因此当wwwzqycom时wwwzqycom为钝角三角形答案如图取的中点连接wwwzqycom因为wwwzqycom所以wwwzqycom又因为在正方形中wwwzqycom所以wwwzqycomwwwzqycom此时wwwzqycom所以wwwzqycom又wwwzqycomwwwzqycom平面所以wwwzqycom平面因为wwwzqycom平面所以平面wwwzqycom平面由知wwwzqycom平面因此以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系则wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom设平面的法向量wwwzqycom则wwwzqycom即wwwzqycom取wwwzqycom得wwwzqycom则wwwzqycom易知平面的一个法向量wwwzqycom则wwwzqycom由图可知二面角wwwzqycom的平面角为锐角因此二面角wwwzqycom的平面角的余弦值为wwwzqycom答案由题意得wwwzqycomwwwzqycom可得wwwzqycom从而wwwzqycom所以椭圆的方程为wwwzqycom设wwwzqycomwwwzqycom若wwwzqycom轴由与wwwzqycom相切可知直线的方程为wwwzqycom不过点不合题意所以的斜率必存在且不为设直线的方程为wwwzqycom由直线与wwwzqycom相切知wwwzqycom即wwwzqycom将wwwzqycom与椭圆方程wwwzqycom联立消去化简得wwwzqycomwwwzqycom由根与系数的关系得wwwzqycomwwwzqycom所以wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom又wwwzqycom所以wwwzqycom若点共线则wwwzqycom即wwwzqycom又wwwzqycom所以wwwzqycom代入式可得wwwzqycom反之若wwwzqycom则wwwzqycom即wwwzqycom整理得wwwzqycom又wwwzqycom所以wwwzqycom又曲线wwwzqycom为右半圆则与异号所以wwwzqycomwwwzqycom或wwwzqycomwwwzqycom即的方程为wwwzqycom或wwwzqycom经检验都经过点所以三点共线的充要条件是wwwzqycom答案由题意知wwwzqycomwwwzqycom由题意知wwwzqycom设wwwzqycom则wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom方程wwwzqycom的判别式wwwzqycom不妨设其两根分别为wwwzqycomwwwzqycom且wwwzqycom由根与系数的关系得wwwzqycomwwwzqycom则wwwzqycom且wwwzqycom且wwwzqycom当wwwzqycom时wwwzqycom所以wwwzqycom故wwwzqycom的最小实数根为即wwwzqycom如图当wwwzqycom时wwwzqycom所以wwwzqycom即存在wwwzqycom使得wwwzqycom如图即wwwzqycomwwwzqycom由可知当wwwzqycom时wwwzqycom即个微生物个体繁殖下一代的个数期望不大于则该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率为即该微生物会灭绝当wwwzqycom时wwwzqycom即个微生物个体繁殖下一代的个数期望大于则该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率小于即该种微生物可通过多代繁殖而不至于灭绝答案由题意得wwwzqycom当wwwzqycom时令wwwzqycom得wwwzqycom令wwwzqycom得wwwzqycom所以wwwzqycom在wwwzqycom上单调递减在wwwzqycom上单调递增当wwwzqycom时令wwwzqycom得wwwzqycom或wwwzqycom当wwwzqycom时令wwwzqycom得wwwzqycom或wwwzqycom令wwwzqycom得wwwzqycom所以wwwzqycom在wwwzqycomwwwzqycom上单调递增在wwwzqycom上单调递减当wwwzqycom时wwwzqycom且等号不恒成立所以wwwzqycom在上单调递增当wwwzqycom时令wwwzqycom得wwwzqycom或wwwzqycom令wwwzqycom得wwwzqycom所以wwwzqycom在wwwzqycomwwwzqycom上单调递增在wwwzqycom上单调递减选择条件证明如下由知当wwwzqycom时wwwzqycom在wwwzqycomwwwzqycom上单调递增在wwwzqycom上单调递减所以wwwzqycom在wwwzqycom处取得极大值wwwzqycom在wwwzqycom处取得极小值wwwzqycom且wwwzqycomwwwzqycom由于wwwzqycomwwwzqycom所以wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom令wwwzqycom则wwwzqycom令wwwzqycom得wwwzqycom当wwwzqycom时wwwzqycom当wwwzqycom时wwwzqycom所以wwwzqycom在wwwzqycom上单调递增在wwwzqycom上单调递减所以wwwzqycom在wwwzqycom处取得极大值wwwzqycom由于wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom所以wwwzqycom在wwwzqycom上恒成立所以wwwzqycom当wwwzqycom时wwwzqycom所以wwwzqycom有一个零点得证选择条件证明如下由知当wwwzqycom时wwwzqycom在wwwzqycomwwwzqycom上单调递增在wwwzqycom上单调递减所以wwwzqycom在wwwzqycom处取得极大值wwwzqycom在wwwzqycom处取得极小值wwwzqycom由于wwwzqycomwwwzqycom所以wwwzqycomwwwzqycomwwwzqycomwwwzqycom则wwwzqycom所以wwwzqycom当wwwzqycomwwwzqycom所以wwwzqycom有一个零点得证