常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题及参考答案
发表日期：2008年1月9日        已经有9591位读者读过此文 常微分方程试题 课程代码：10002 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程 =g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程 =(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y=  (x)是方程 =f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上， 满足初始条件  (x0)=y0的解.则y=  (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h上的 连续解. 7.方程 =x2+xy， 满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程 +a1(t)  +…+an-1(t)  +an(t)x=0    中ai(t)   i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，xn(t)为方程n个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，xn(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题 (t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵expAt=________. 13.方程组    的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程     = . 2.(6分)解方程     x″(t)+  =0. 3.(6分)解方程     (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程     - . 5.(7分)求方程：       S″(t)-S(t)=t+1    满足S(0)=1, (0)=2的解. 6.(7分)求方程组   的基解矩阵Φ(t). 7.(7分)验证方程：       有奇点 x1=1, x2=0,并讨论 相应驻定方程的解的稳定性. 三、证明题(每小题8分，共16分) 1.设f(x,y)及 连续， 试证方程       dy-f(x,y)dx=0   为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子. 2.函数f(x)定义于-∞