常微分方程

一：求x''+2x'+5x=4e(-t)+17sin2t 解：齐次方程的特征根方程为：Y(2)+2Y+5=0即得到特征根为：Y1=-1+2i,Y2=-1-2i 1,Y''+2Y'+5x=4e(-t)的一个特解 因为：x=Ae(-t)代入方程，则得A=1 即方程X''+2X'+5Y=4e(-t) 它的特解为：x1=e(-t) 2,再求方程X''+2X'+5Y=17sin2t的特解 设其特解为：x2=Bcos2t+Dsin2t 代入方程得：B=-4,D=1 即方程的通解：x=e(-t)(c1cos2t+c2sin2t)+e(-t)-4cos2t+sin2t 二：设R(t)为方程x'=Ax(A为n*n常数矩阵)的标准基解矩阵（即R(0)=E）,证明：R(t)R(-1)(t)=R(t-t0)其中t0为某一值。 证明：由于A是n*n常数矩阵 所以方程x'=Ax的基解矩阵L（t）满足dL(t)/dt=AL(t) 解之得：L(t)=A(At) 即L（t）是指数型，又根据增函数的特解知L(-1)(t)=e(-At)从而L(t)L(-1)(t0)=e(At)e(-At0)=e[ A(t-t0)] 所以命题得证： 三，求方程(x+1)dy/dx-ny=e[x](x+1)[n+1]的通解 解：将方程改写成：dy/dx-ny/x+1=e[x](x+1)[n] 求奇次线性微分方程：dy/dx-ny/x+1=0的通解 dy/dx-ny/x+1=0 y=c(x+1)[n]=c(x)(x+1)[n] 微分：dy/dx=dc(x)(x+1)[n]/dx+n(x+1)[n-1]c(x) dc(x)/dx=e[x] 积分：c(x)=e[x]+c1 所以原方程的通解：y=(x+1)[n](e[x]+c1) 四，dy/dx=ay/x+(x+1)/x 解：P(x)=a/x,Q(x)=(x+1)/x y=e[积分号a/xdx]（(x+1)/x*e[-积分号a/xdx]*dx+c） =x[a](积分号x+1/x*x[-a]*dx+c) x[a](积分号(x[-a]+x[-a-1])*dx+c) 当a=0时：y=x[0](积分号(x+1/x)dx+c)=x+lnlxl+c a=1:y=x(积分号(x[-1]+x[-2])dx+c)=cx+xlnlxl-1 a=/0&a=/1:y=x[a](x[1-a]/1-a+(x)[-a]/-a+c)=cx[a]+x/(1-a)-1/a 五，求ydx+(y-x)dy=0 解：M=y,N=y-x.偏倒号M/偏倒号y=1,偏倒号N/偏倒号x=-1方程不是恰当的，方程改写为：dy/dx=y/x-y这是奇次方程。令y/x=u代入得到xdu/du+u=u/1-u 1-u/u[2]*du=dx/x 所以通解为：-1/u-lnlul=lnlxl-c 代回原变量，即得：x/y+lnlyl=c 六，x(4ydx+2xdy)+y[3](3ydx+5xdy)=0 解：对于方程y[3](3ydx+5xdy)=0有M=3y[4],N=5xy[3],偏倒号M/偏倒号y=12y[3],偏倒号N/偏倒号x=5y[3] 因为偏倒号M/偏倒号y-偏倒号N/偏倒号x/5xy[3]=7/5x 积分因子u=e[7/5] 用它成方程y[3](3ydx+5xdy)=0 3y[4]x[5/7]dx+5x[12/7]y[3]dy=0 即d(5/4x[12/5]y[4])=0 综上所述：2x[2]y+5/4x[12/5]y[4]=c或8x[2]y+5x[12/5]y[4]=c 七，求方程d[2]x/dt[2]+4dx/dt+4x=cos2t的通解 解：特征方程：r[2]+4r+4=0有重根r1=r2=-2 所以通解为：x=(c1+c2t)e[-2t] 我们来求形如x^=Acos2t+Bsin2t的特解，将它代入原方程，化简得： 8Bcos2t-8Asin2t=cos2t 所以：A=0,B=1/8,从而x^=1/8sin2t 原方程的通解为：x=(c1+c2t)e[-2t]+1/8sin2t 八，已知x=sint/t是方程x''+2/t*x'+x=0的解，试求方程的通解。 解：这里P(t)=2/t x=sint/t(c1+c积分号t[2]/sin[2]t*1/t[2]dt) =sint/t(c1-ccost)=1/t(c1sint-ccost) 九，求方程dy/dx=x+y[2]通过点（0，0）的第三次近似解 解：L0(x)=y0=0 L1(x)=y0+积分号（0到x）(t+L0(t)[2])dt=积分号(0到x)tdt=x[2]/2 L2(x)=y0+积分号（0到x）(t+L1(t)[2])dt=积分号(0到x)(t+t[4]/4)dt=x[2]/2+x[5]/20 L3(x)=y0+积分号（0到x）(t+L2(t)[2])dt=积分号(0到x)(t+t[4]/4+t[7]/20+t[10]/400)dt=x[2]/2+x[5]/20+x[8]/10+x[11]/4400 所以方程dy/dx=x+y[2]通过点（0，0）的第三次近似解 y3=x[2]/2+x[5]/20+x[8]/10+x[11]/4400 十，求方程dy/dx=x-y[2]通过点（1,0）的第二次近似解 解：L0(x)=y0=0 L1(x)=y0+积分号（1到x）(t-L0(t)[2])dt=x[2]-1/