2013年山东省高考数学试卷

2013年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题 1．复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数
为（　　） 　 A． 2+i B． 2﹣i C． 5+i D． 5﹣i 2．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　） 　 A． 1 B． 3 C． 5 D． 9 　3．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，
，则f（﹣1）=（　　） 　 A． ﹣2 B． 0 C． 1 D． 2 　4．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为
，底面是边长为
的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（　　） 　 A．
B．
C．
D．
　5．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移
个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（　　） 　 A．
B．
C． 0 D．
6．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组
所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（　　） 　 A． 2 B． 1 C．
D．
　7．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（　　） 　 A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 　 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 8．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（　　）
　 ． B．
C．
D．
　9．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　） 　 A． 2x+y﹣3=0 B． 2x﹣y﹣3=0 C． 4x﹣y﹣3=0 D． 4x+y﹣3=0 　10．用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　） 　 A． 243 B． 252 C． 261 D． 279 　11．抛物线C1：
的焦点与双曲线C2：
的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（　　） 　 A．
B．
C．
D．
　12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当
取得最大值时，
的最大值为（　　） 　 A． 0 B． 1 C．
D． 3 二、填空题 13．执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为　_________　．
　 14．在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为　_________　． 15．已知向量
与
的夹角为120°，且
，
．若
，且
，则实数λ=　_________　． 16．定义“正数对”：ln+x=
，现有四个命题： ①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a； ②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b； ③若a＞0，b＞0，则
； ④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+2． 其中的真命题有　_________　（写出所有真命题的序号） 三、解答题 17．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，
． （1）求a，c的值； （2）求sin（A﹣B）的值． 　 18．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH． （1）求证：AB∥GH； （2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
　 19.甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是
，其余每局比赛甲队获胜的概率都是
．设各局比赛结果相互独立． （1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率； （2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望． 20．（12分）（2013•山东）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}的前n项和为Tn且
（λ为常数）．令cn=b2n（n∈N※）求数列{cn}的前n项和Rn． 21．设函数
． （1）求f（x）的单调区间及最大值； （2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数． 22．椭圆C：
的左右焦点分别是F1，F2，离心率为
，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （1）求椭圆C的方程； （2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明
为定值，并求出这个定值． 　 2013年山东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1． 考点： 复数的基本概念．1141325 专题： 计算题． 分析： 利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数
． 解答： 解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5， ∴z﹣3=
=2+i ∴z=5+i， ∴
=5﹣i． 故选D． 2． 考点： 集合中元素个数的最值．1141325 专题： 计算题． 分析： 依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案． 解答： 解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}， ∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个． 故选C． 3． 考点： 函数的值．1141325 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案． 解答： 解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+
， ∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， 故选A． 　4． 考点： 直线与平面所成的角．1141325 专题： 空间角． 分析： 利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=
即可得出． 解答： 解：如图所示， ∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角， ∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角． ∵
=
=
． ∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1=
=
，解得
． 又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴
=
=1， 在Rt△AA1P中，
， ∴
． 故选B．
　5． 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．1141325 专题： 计算题；三角函数的图像与性质． 分析： 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移
个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案． 解答： 解：令y=f（x）=sin（2x+φ）， 则f（x+
）=sin[2（x+
）+φ]=sin（2x+
+φ）， ∵f（x+
）为偶函数， ∴
+φ=kπ+
， ∴φ=kπ+
，k∈Z， ∴当k=0时，φ=
． 故φ的一个可能的值为
． 故选B． 6． 考点： 简单线性规划．1141325 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可． 解答： 解：不等式组
表示的区域如图， 当M取得点A（3，﹣1）时， z直线OM斜率取得最小，最小值为 k=
=﹣
． 故选C．
7． 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．1141325 专题： 规律型． 分析： 根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案． 解答： 解：∵¬p是q的必要而不充分条件， ∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q， 其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p， 则p是¬q的充分不必要条件． 故选A． 8． 考点： 函数的图象．1141325 专题： 函数的性质及应用． 分析： 给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求． 解答： 解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B， 由当x=
时，
， 当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0． 由此可排除选项A和选项C． 故正确的选项为D． 故选D． 　9． 考点： 圆的切线方程；直线的一般式方程．1141325 专题： 计算题；直线与圆． 分析： 由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可． 解答： 解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B， 所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意； 另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足． 故选A． 10． 考点： 排列、组合及简单计数问题．1141325 专题： 计算题． 分析： 求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可． 解答： 解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900， 其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252． 故选B． 11．抛物线C1：
的焦点与双曲线C2：
的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（　　） 　 A．
B．
C．
D．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．1141325 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数
在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值． 解答： 解：由
，得x2=2py（p＞0）， 所以抛物线的焦点坐标为F（
）． 由
，得
，
． 所以双曲线的右焦点为（2，0）． 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为
， 即
①． 设该直线交抛物线于M（
），则C1在点M处的切线的斜率为
． 由题意可知
，得
，代入M点得M（
） 把M点代入①得：
． 解得p=
． 故选D． 12． 考点： 基本不等式．1141325 专题： 计算题；不等式的解法及应用． 分析： 依题意，当
取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=
+
﹣
，利用配方法即可求得其最大值． 解答： 解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0， ∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数， ∴
=
=
≤
=1（当且仅当x=2y时取“=”）， ∴
=1，此时，x=2y． ∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2， ∴
+
﹣
=
+
﹣
=﹣
+1≤1． ∴
的最大值为1． 故选B． 　二、填空题 13． 考点： 程序框图．1141325 专题： 图表型． 分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出n的值． 解答： 解：循环前，F0=1，F1=2，n=1， 第一次循环，F0=1，F1=3，n=2， 第二次循环，F0=2，F1=4，n=3， 此时
，满足条件
，退出循环，输出n=3， 故答案为：3． 14． 考点： 几何概型；绝对值不等式的解法．1141325 专题： 不等式的解法及应用；概率与统计． 分析： 本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣3，3]的长度求比值即得． 解答： 解：利用几何概型，其测度为线段的长度． 由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得 ①
，或②
， ③
． 解①可得x∈∅，解②可得1≤x＜2，解③可得 x≥2． 故原不等式的解集为{x|x≥1}， ∴|在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为P=
=
． 故答案为：
　15． 考点： 数量积表示两个向量的夹角；向量的模．1141325 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 利用
，
，表示
向量，通过数量积为0，求出λ的值即可． 解答： 解：由题意可知：
， 因为
， 所以
， 所以
=
=
=﹣12λ+7=0 解得λ=
． 故答案为：
． 　16． 考点： 命题的真假判断与应用．1141325 专题： 综合题；新定义． 分析： 由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假 解答： 解：对于①，由定义，当a≥1时，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a； 当a＜1时，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a．由上判断知①正确； 对于②，此命题不成立，可令a=2，b=
，则ab=
，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b；由此知②错误； 对于③，当a≥b＞0时，
≥1，此时
≥0，当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=
，此时命题成立；当a＞1＞b时，ln+a﹣ln+b=lna，此时
，故命题成立；同理可验证当1＞a≥b＞0时，
成立；当
＜1时，同理可验证是正确的，故③正确； 对于④，可分a≤1，b≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论，依据定义判断出④是正确的 故答案为①③④ 三、解答题 17． 考点： 余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理．1141325 专题： 解三角形． 分析： （1）利用余弦定理列出关于新，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即