工程力学教案

1市政工程力学教案平远县职业技术学校张学祥第一章静力分析的基本概念与方法基本概念力的概念刚体变形体平衡的概念约束的概念基本内容力的运动效应与变形效应加减平衡力系原理及应用力的可传性及其限制二力构件与二力平衡条件及其应用几种典型约束及相应的约束力取隔离体作受力图约束力的分析与计算重点掌握静力分析的基本方法以及正确取隔离体作受力图课程精讲一关于力力的平衡以及约束的概念和定义力物体间的相互机械作用力的两种效应是使物体的运动状态或速度发生变化二是使物体发生变形前者称为运动效应后者称为变形效应对于刚体只产生运动效应对于变形体则既可能产生运动效应又可能产生变形效应力的可传性只要保持力的大小和方向不变则力的作用点可以沿着力的作用线移动而不改变力对物体的运动效应力的可传性只对运动效应而言即只有当物体或物体的一部分被抽象为刚体时才是正确的当研究力对物体的变形效应时力的可传性便不再成立平衡物体对于参考系保持静止或作等速直线运动二力平衡条件作用在刚体上的两个力其平衡条件是两个力大小相等方向相反并沿同一直线作用在两个力作用下处于平衡状态的构件称为二力构件不平行三力的平衡条件作用在刚体上同一平面内三个互不平行力平衡的必要与充分条件是三力作用线汇交于一点且力三角形封闭加减平衡力系原理在作用于刚体上的任意力系上加上或减去任何平衡力系并不改变原力系对刚体的运动效应加减平衡力系所得到的力系与原力系互为等效力系等效力系和加减平衡力系原理对于变形效应是不成立的约束对构件运动形成限制的物体称为构件的约束不同的约束在构件上产生不同的约束力柔性约束绳索皮带链条等构成的约束柔性约束只产生沿着绳索皮带链条方向受拉的约束力无摩擦刚性约束约束物与被约束的构件均为刚性而且二者接触面的摩擦忽略不计故又称为光滑面刚性约束这类约束有以下几种光滑平面或曲面约束约束力沿着两接触面共法线方向圆柱铰链约束这种约束只提供一个方向不确定的约束力这约束力也可以分解为互相垂直的两个分力固定铰支座中间铰都属于这种约束辊轴约束又称辊轴支座其约束力方向垂直于辊子的支承面球铰链约束又称球铰提供一个作用线通过球心但方向不定的约束力这约束力也可分为三个互相垂直的分力轴承约束向心轴承的约束力与圆柱铰链的约束力相似即约束力通过轴心方向不定它也可发分解为两个互相垂直的分力向心推力轴承由于限制了轴的轴线方向运动因而与向心轴承相比多了一个轴向约束力二受力分析的基本方法受力分析的任务受力分析主要解决下列问题确定物体上受有哪些力以及这些力的作用位置并尽可能确定这些力的作用线和方向确定物体受力中哪些是已知力和未知力并建立已知力与未知力之间的关系从而求出所需的2未知力本教学单元先解决第一个问题这是受力分析最基本也是最重要的方面受力分析的方法为解决上述问题首先要根据所讨论的问题的要求选择合适的平衡对象并将其从结构或系统中隔离出来其次要根据研究对象与周围物体的联系由约束性质分析约束力并应用作用与反作用定律分析隔离体上所受各力的位置作用线及可能方向画出隔离体的受力图第三建立已知力和未知力之间的关系最后还要验证所得结果的正确性第二章平面基本力系基本概念力矩力偶的概念基本内容平面汇交力系的简化方法几何法和解析法平面汇交力系的简化结果一个力平面汇交力系平衡的两种形式几何形式和解析形式及其应用力矩符号规定力对点之矩及其计算力偶的性质平面力偶系的简化结果一合力偶平面力偶系的平衡条件及其应用重点掌握平面汇交力系及平面力偶系的平衡条件及其应用课程精讲一平面汇交力系一关于力的投影力系简化的概念力的投影自力矢量的始端和末端分别向某一确定轴上作垂线得到两个交点这两个交点之间的距离称为力在该轴上的投影力的投影与分力不同其一投影不是矢量而是代数量其正负号由其指向而定指向与轴正向一致者为正反之为负其二力的投影只与力矢量及其与投影轴的夹角有关而分力则与力矢量以及两个分力方向有关力系的简化在等效的前提下用最简单的结果或称合力代替原力系对刚体的作用称为原力系的简化二平面汇交力系的简化方法与简化结果平面汇交力系简化方法有两种几何法和解析法1几何法按照力的平行四边形规则将力系中的力两两合成最后求得的合力即为力系的总合力其矢量表达式为这表明汇交力系简化结果是一个力因此汇交力系对刚体作用与其合力对刚体作用等效2解析法采用力的投影先求得力系中所有力分别在x和y轴上投影的代数和即为力系合力分别在x和y轴上的投影据此求得合力的大小为合力的方向由合力作用线与x轴正向夹角确定角由下式计算工程应用中大都采用解析法三平面汇交力系的平衡条件与平衡方程汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力等于零平衡条件的几何形式平衡力系中所有力组成封闭的力多边形平衡条件的解析形式平衡方程即X0Y0即力系中所有力在直角坐标系中x和y轴上投影的代数和分别等于零四求解汇交力系平衡问题的一般方法与注意事项1求解平面汇交力系的平衡问题与求解其它平衡问题相类似大致包含三个方面首先必须根据问题的要求选择合适的平衡对象并取出其隔离体其次根据平衡对象与周围物体的联系确定约束力的性质并根据约束性质分析约束力应3用作用与反作用定律分析隔离体所受力的可能方向和作用线画出隔离体的受力图第三应用平衡方程建立已知力与未知力之间的关系求解未知力2解题过程中要注意以下问题要根据实际情况选择合适的坐标轴尽量使一个平衡方程中只出现一个未知力建立平衡方程时要考虑力系中所有的力任何一个力都不能遗漏要正确确定每一个力在坐标轴上投影的大小和正负号特别要注意正负号当未知约束力的方向不能确定时一般情形下均如此可以先假定方向一般假定约束力的正方向与坐标轴正向一致然后根据所得结果的正负号判断未知约束力的实际方向若所得结果为正则实际方向与所设方向一致若为负则实际约束力的方向与所设方向相反当未知约束力的作用线不能确定时可先假设未知约束力在两个坐标轴上投影的方向且一般设为正向然后建立平衡方程这时约束力的投影方向为已知投影大小为未知由平衡方程求得约束力投影的大小即可求得相应的约束力二平面力偶系一力对点之矩的概念及力矩的计算力对刚体的运动效应包括两种移动和转动力对点之矩是度量力使物体绕该点转动效应的量它由下式确定m0Fh其中0为矩心h为力臂它是矩心至力作用线的垂直距离在平面问题中力矩为代数量其正负由力使刚体转动方向而定通常规定使刚体绕矩心逆时针转动的力矩为正顺时针转动者为负合力矩定理合力之矩等于各分力以同一点之矩的代数和当一个力对某点之矩不易确定时可以将其分解为分力然后利用合力之矩定理求得合力对该点之矩二力偶的概念与力偶的性质力偶与力偶矩大小相等方向相反作用线平行但不重合的两个力组成的力系称为力偶力偶对刚体只产生转动效应而不产生移动效应力偶对刚体的转动效应用力偶矩度量力偶矩由下式确定mmFFh其中F和F为组成力偶的两个力h为两力作用线之间的垂直距离称为力偶臂力偶矩的正负与力偶使刚体转动的方向有关刚体逆时针转动时力偶矩为正刚体顺时转动时力偶矩为负力偶的性质力偶作为一种特殊力系具有下列特性力偶不能简化为一个力即力偶不能与一个力等效力偶对任意点之矩都等于力偶矩作用在同一平面内的两个力偶若二者的力偶矩大小相等且转向相同同为正或同为负则这两个力偶对刚体的作用等效因此只要保持力偶矩的大小和转向不变力偶可在其作用面内任意转移而不改变它对刚体的作用效应同理只要保持力偶矩的大小和转向不变可以同时改变mh中力的大小和力臂的大小而不改变力偶对刚体的作用效应三平面力偶系的简化结果与平衡条件平面力偶系的简化结果应用力偶的性质可对平面力偶系加以简化简化结果得到一合力偶其力偶矩等于力偶系中所有力偶之力偶矩的代数和平面力偶系的平衡条件力偶系中所有力偶的力偶矩之代数和等于零即第三章平面一般力系基本概念主矢主矩静摩擦系数基本内容力向一点平移平面一般力系的简化结果主矢和主矩的确定合力矩定理平面一般力系的4平衡条件平衡条件的三种形式及其应用固定端约束与相应的约束力刚体系统的平衡问题刚体系统静定性质的判断研究对象的选择刚体系统受力分析的特点重点掌握平面一般力系的平衡条件及其应用一般了解内容考虑摩擦时的平衡问题课程精讲一平面一般力系的简化结果与平衡条件一平面一般力系的定义平面一般力系力系中所有的力作用线都位于同一平面内这力系称为平面一般力系二力向一点平移的概念力向一点平移作用在刚体上的力可以向任意点平移平移后除了这个力之外还产生一附加力偶其力偶矩等于原来的力对平移点的力矩或者说平移前的一个力与平移后的一个力和一个力偶等效需要注意的是力向一点平移的概念只是将研究对象作为刚体才是正确的亦即只有在研究力系的简化和平衡以及研究物体的运动规律时才是可用的当研究物体在力的作用下发生的变形规律时力向一点平移的概念则是不成立的三平面一般力系的简化方法与简化结果1平面一般力系的简化方法应用力向一点平移的概念将力系中所有的力分别向所选择的简化中心平移得到两个平面基本力系平面汇交力系和平面力偶系其中平面汇交力系的各个力与原力系中相应的力大小相等作用线互相平行平面力偶的各力偶的力偶矩分别等于原力系中对应的力对于简化中心之矩简化后所得到的平面汇交力系和平面力偶系又可以进一步简化分别得到一个力和一个力偶分别称为主矢和主矩主矢写成投影形式则有因此平面一般力系向作用平面内任意一点简化后得到一力和一力偶力的作用线通过简化中心力的大小和方向决定于力的主矢力偶的力偶矩决定于该力系对于简化中心的主矩2平面一般力系的合力平面一般力系向任意简化中心的简化结果还可以通过将力向一点平移得到进一步简化最后可以用一个力代替原力对刚体的作用这个力称为平面一般力系的合力合力R的大小与主矢大小相等即作用线与主矢作用线平行合力作用线到简化中心的垂直距离为hL0RL0R作用线位于简化中心的哪一侧由主矩的转向确定当向任意一点简化结果所得之主矢为零而主矩不为零时平面一般力系便合成为一力偶3合力矩定理平面一般力系的合力对平面内任意一点之矩等于该力系中各个力对同一点之矩的代数和四固定端约束当约束物的刚性比较大而且与被约束物体又联结得比较牢固时约束物不允许被约束物体在约束处有任何相对运动包括移动和转动这便是固定端约束简称为固定端或插入端在平面一般力系作用下固定端约束处的约束力为平面一般力系在研究对被约束构件的平衡和变形时可以应用平面一般力系简化结果将其简化为一个力R和一个力偶由于约束力R的方向一般为未知故可将其分解为两互相垂直的分量X和Y约束力的方向也是未知的故可预先设定为正方向逆时针方向若求得为正时表示实际方向与假设方向相同若为负则实际方向与所设方向相反5五平面一般力系的平衡条件平面一般力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和力系对任意点的主矩同时等于零即R0L00根据这一平面条件可以得到三种不同形式的平衡方程一并列于下表中平衡方程应用条件第一种形式XOYOm0OO为xy平面内的任意一点第二种形式XO或YOmAOmBOAB两点的连线不垂直于x轴或y轴第三种形式mAOmBOmCOABC三点不在同一直线上二刚体系统的平衡问题一刚体系统的平衡问题刚体系统及其特点由两个或两个以上刚体所组成的系统称为刚体系统称称为刚体系在刚体系统中一方面刚体数目不止一个另一方面约束和受力都比较复杂因此一般情形下如果只考虑整个刚体系统简称整体的平衡或者只考虑某个局部某个刚体简称局部的平衡都不能解出全部未知力但是如果所讨论的刚体系统是静定的和平衡的则通过研究整体的和局部的平衡就可以解出全部未知力刚体系统静定与静不定性质判断在很多刚体系统中如果只考虑整个系统的平衡其未知约束力的个数多于个平面一般力系只能提供个独立的平衡方程但是若将系统拆开后依次考虑各个刚体的平衡则未知约束力数目与平衡方程数目相等这种刚体系统便是静定的当然还有一些刚体系统在系统拆开之后未知约束力个数仍然多于平衡方程的数目因而无法求解全部未知力这种刚体系统便是静不定的求解刚体系统的平衡问题之前应先判断刚体系统的静定与静不定的性质只有是静定的才能用静力平衡方程求解判断刚体系统静定与静不定性质的方法是先将刚体系统中各刚体连接处拆开根据约束性质分析各连接处未知约束力的个数总数计为然后依次以每个刚体为研究对象根据这些刚体的受力性质是平面基本力系还是平面一般力系确定可以提供的独立的平衡方程的数目总计为若则刚体系统是静定的可解的否则是静不定的如果刚体系统中有个二力构件个承受汇交力系的刚体有个承受平面一般力系的刚体因为它们分别提供个个和个独立的平衡方程故刚体系统的独立平衡方程总数需要指出的是刚体系统是不是静不定的完全取决于未知约束力的个数与独立平衡方程的数目而与研究对象被使用的次数无关初学者常常会出现这样的错觉以为在考虑了一个刚体的平衡之后再考虑一次总体平衡就可以多出几个平衡方程实际上如果刚体系统中的每个刚体都是平衡的则刚体系统必然是平衡的因此整体平衡方程已经包含各个刚体平衡方程之中即整体平衡方程与各个刚体的平衡方程是相依的而不是独立的求解刚体系统平衡问题的基本方法求解刚体系统平衡问题的基本方法与分析单个刚体平衡问题的方法大体相似但也有一些差异根据刚体系统平衡问题的特点求解刚体系统平衡问题一般可按下列步骤进行6首先判断刚体系统的静定与静不定性质只有肯定了所给的刚体系统是静定的才着手求解先考虑整体平衡求得某些未知约束力然后根据要求的未知量选择合适的局部或单个刚体作为研究对象根据约束性质及作用与反作用定律区分施力体与受力体区分内力与外力画出研究对象的受力图分别考虑不同的研究对象的平衡建立平衡方程求解未知量二考虑摩擦时的平衡问题1关于摩擦力的基本概念互相接触的物体当有相对运动或运动趋势时在接触面上便会产生阻碍运动或运动趋势的力这力称为摩擦力摩擦力的方向总是与运动方向或运动趋势方向相反在外力作用下接触物体开始产生运动趋势当外力增加时摩擦力随之增加当外力从静止到开始进入运动状态时摩擦力达到以最大值最大摩擦力Fmax与接触表面的正压力成正比即FmaxfNf为比例常数称为静摩擦系数上式在临界运动状态成立在临界运动之间的静止状态摩擦力均小于其最大值即FfN将二者合而为一则可以写成FFmaxfN2摩擦平衡问题的特点及解题方法1摩擦平衡问题具有以下特点在静上状态和运动的临界状态作用在物体上的所有力包括主动力约束力和摩擦力必须满足平衡条件滑动摩擦力除满足平衡条件外还需满足物理条件FFmaxfN其方向与滑动趋势方向相反除临界状态外由于静止状态下的物理条件FfN是一个不等式因此所求得平衡问题的解答为在一定范围内的值2求解摩擦平衡问题时除了与一般平衡问题一样需要根据约束性质分析约束力选择合适的研究对象画隔离体受力图外还要考虑以下几点在隔离体上要加上摩擦力并注意其方向总与运动趋势方向相反建立平衡方程时必须考虑摩擦力除平衡方程外还需区分静止状态与临界状态建立物理方程F将平衡方程与物理方程联立求得问题的解答第四章空间力系基本概念重心形心基本内容力对轴之矩力对轴之矩与力对点之矩的关系重心与形心的确定一般了解内容空间力系向一点简化的结果传动轴的受力分析与平衡问题空间力系平衡方程课程精讲一力在空间坐标轴上的投影与力对轴之矩力在空间上的投影计算力在空间坐标轴上的投影有两种方法直接投影法和二次投影法如果能够确定力与三个坐标的夹角则力在三个坐标轴上的投影分别为XFcosYFcosZFcos如果只能确定力的作用线与某个坐标平面的夹角以及力在这一平面上的投影与某一坐标轴的夹角则采用二次投影法为求力在空间坐标轴上的投影一般需先建立坐标系然后确定力的作用线与三坐标轴的夹角如果力的作用线不通过坐标原点可以以力作用点为坐标原点建立空间坐标系使各坐标轴分别平行于指定的坐标轴从而比较容易确定力的作用线与坐标轴的夹角或与坐标平面的夹角力对轴之矩力对轴之矩等于力在垂直于轴的平面内的分力对轴与该平面交点之矩为计算力对轴之矩可先将力沿三个坐标方向分解为三个分力其中与轴平行或相交的分力对该轴之矩等于零力对轴之矩等于三个分力对同一轴之矩的代数和力对轴之矩为代数量其正负号由右手定则确定7二力对点之矩与力对轴之矩之间的关系在空间力系中为了描述力使物体转动的方位力对点之矩必须表示成矢量的形式这矢量在三个空间坐标轴上的投影便等于这个力对三个坐标轴之矩即其中O为坐标原点xyz为坐标轴因此在空间力系中力对点之矩为矢量力对轴之矩为代数量三力对点之矩与力对轴之矩之间的关系利用力向一点平移的概念和方法得到空间力系的主矢和主矩分别为前者为空间力系中各力的矢量和后者为各力对简化中心之矩的矢量和写成投影的形式为根据上述简化结果物体在空间力系作用下平衡的必要和充分条件是力系的主矢和主矩同时等于零即R0L00根据这一条件投影形式的平衡方程为X0Y0Z0mx0my0mz0四物体的重心和图形的形心重心物体分布重力的合力作用点称为重心平面图形的形心平面图形的中心称为形心五求解空间力系平衡问题时应注意的几个问题与平面一般力系相似空间力系平衡方程也有不同的形式例如可以利用力对于建立在不同点的坐标轴之矩的平衡方程代替部分力的投影平衡方程但是必须保证六个平衡方程是互相独立的在很多情形下空间力系的六个平衡方程中有几个是自然满足的这些方程无助于求解未知力因而无需写出建立力矩平衡方程时所选择的坐标轴应尽量与某些未知力作用线相交或平行这样在一个力矩平衡方程中出现的未知力就比较少从而使计算简化第五章杆件的轴向拉伸与压缩基本概念内力轴力正应力弹性变形正应变位移强度刚度塑性变形小变形概念弹性模量泊松比抗拉压刚度工作应力许用应力危险应力安全系数多余约束基本内容轴向拉伸压缩大外力及变形特点求轴力的截面法轴力符号的规定作轴力图拉压杆横截面上的应力分布特点及正应力计算正应力公式应用条件拉压杆的纵向变形胡克定律及其表达式和应用条件拉压杆的受力横截面形状与应力变形的关系材料拉伸时的力学性能两种典型材料拉伸时的应力应变曲线与应力特征值强度指标与塑性指标材料压缩时的力学性能拉压破坏形式比较及破坏原因拉压杆的强度条件三类强度问题刚度条件静不定问题的判断一次静不定问题的求解8重点掌握拉压杆横截面上的应力分布及计算公式拉压杆的强度条件及其应用拉压杆的变形计算胡克定律及其应用一般了解内容拉压杆横截面上正应力公式的推导过程课程精讲一轴力和轴力图一轴力和轴力图关于内力轴力和轴力图的概念内力在外力作用下由于变形而在杆件内部部分之间所产生的相互作用的附加内力根据连续性的假设内力为连续分布力系通常用其合力表示杆件的内力轴力沿杆轴线的内力称为轴力并用N表示轴向拉伸压缩时因其外力的合力沿杆轴线所以横截面上的内力作用线也必然沿杆轴线方向轴力的正负号规定使杆件产生轴向伸长变形的轴力为拉力用正号表示产生轴向压缩变形的轴力为压力用负号表示以规定是以杆件产生变形趋势而定的即拉为正压为负轴力图表示轴力沿杆轴线变形的图形当作用于轴线上的外力多于两个时各横截面上的轴力不尽相同必须在外力作用面处分段计算各段的轴力并用轴刀图表示轴力图的画法取Nx直角坐标使x轴平行于轴线表示横截面的位置以N轴表示轴力的大小拉力为正压力取负按一定比例画出轴力沿轴线变化的图形因为在等截面杆中最大轴力作用截面最容易发生失效所以轴力图在强度计算中占有重要的地位因而需要熟练正确地画出轴力图二确定内力的截面法截面法是求内力的基本方法见下图其方法要点归纳为截开代替平衡杆件两端沿轴线作用一对外力求杆件内力的方法为截开用假想截面在要求内力的截面处将杆截为两段代替将截开的杆件保留任一段作为研究对象并用内力N代替另一段对它的作用并设N为拉力平衡考虑保留段的平衡条件由平衡方程确定内力的大小和方向计算结果中若内力N为正值则轴力为拉力N值为负值则轴力为压力二拉压杆横截面上的正应力一应力的概念应力截面上分布内力的集度截面上的内力是一个连续分布力系为了描述分布内力在各点的强弱程度需要应力的概念当分布内力均匀分布时截面上的平均应力即为截面上的应力用表示即当分布内力非均匀分布时应力是当面积时平均应力的极限值其中垂直于截面称为正应力平行于截面称为剪应力二拉压杆横截面上正应力公式及其应用条件1拉压杆截面上的正应力由式计算NA式中N为横截面上的轴力单位用N或kNA为横截面面积力的单位用N时A有单位用mm2力的单位用kN时A的单位用m2横截面上的正应力单位MPaNmm2上式表明1拉压杆横截面的应力只有正应力2正应力与轴力N有相同的符号即当N为拉力时为拉应力当N为压力时为正应力3正应力垂直于横截面并沿截面均匀分布2正应力公式应用条件1NA公式只适用于拉压杆即外力的合力沿杆轴线方向92若在杆的全长范围内外力发生变化或截面发生变化则应分段应用应力公式分别计算各段杆横截面上的正应力这时要求截面上只有一个轴力作用截面形心上并沿截面法线方向三拉压杆的强度计算一拉压杆的强度计算准则为保证拉压杆安全可靠地工作杆横截面上的最大正应力必须满足此为拉压杆强度计算准则又称强度条件其中不等号左边的为杆件中最大工作应力其值取决于外力引起的轴力和杆件的横截面面积对于等直杆对于阶梯杆不等号的右边为杆件的许用应力即为材料的极限应力或危险应力由材料的拉伸或压缩试验测定为安全系数可由有关的手册和规范中查到在一般的计算题中是给定的应该注意的是有些材料的拉伸许用应力与压缩许用应力不等即此时应对拉压杆分别应用强度条件即二强度计算准则的应用根据强度条件可以解决工程中三种类型的强度问题强度校核已知杆件材料的许用应力和杆件横截面尺寸以及杆件所承受的外载荷校核杆件是否满足强度条件确定许可载荷已知材料的许用应力和杆件的横截面面积根据强度条件由即先确定杆件所容许的最大轴力然后再确定结构的许可载荷设计截面尺寸已知杆件的材料和承受的载荷根据强度条件选择合理的截面面积并用下式进行计算然后由截面形状确定其尺寸三强度计算的步骤拉压杆强度计算的一般步骤是受力分析判别杆件是否满足轴向拉伸或压缩的条件确定作用在杆件上的外力大小2内力分析用截面法求轴力画出轴力图确定最大轴力Nmax作用截面的位置截面3应力计算根据NA先确定产生最大应力的杆件或截面即危险杆或危险截面4强度计算使危险杆件危险截面上的应力满足强度准则条件即即max根据此式解决三类型的强度问题四拉压杆的变形计算一纵向变形与横向变形拉压杆的变形等直均匀杆件受沿轴线方向外力合力的作用时杆件的纵向尺寸和横向尺寸同时发生变化如下图及动画若杆件受轴向拉力时沿纵向尺寸增加沿横向尺寸减少若杆件受轴向压力时则沿纵向尺寸减小而沿横向尺寸增大杆件这种尺寸和形状的变化称为拉压杆的变形如果杆件的原长为横向尺寸为b受力变形后长度变为横向尺寸变为则有纵向变形ll1l横向变形bb1b变形的正负号规定是伸长为正缩短为负正应变或纵向应变用表示它表示杆件的变形程度当杆各部分变形均匀时纵向正应变ll横向正应变bb正应变的正负号的规定是伸长变形时的正应变为正缩短变形时的正应变为负二胡克定律的两种形式当拉压杆件在弹性范围内加载时杆的轴向变形量lNLEA这是轴力与变形量之间的线性关系即胡克定律同样在弹性范围内加载时正应力和正应变存在如下关系E反映了正应力与正应变之间的线性关系是胡克定律又一种形式三纵向变形与横向变形间的关系10在弹性范围内加载时横向变形和纵向变形之间存在下列关系称为泊松比式中号表示与反号四应用lNLEA计算变形时应注意的问题必须在弹性范围内加载否则力和变形正应力和正应变之间都不存在线性关系公式lNLEA和E均不适用lNLEA只适用于两端加载的情形当杆上有几个外力作用时应先分段计算轴力并画出轴力图然后分段采用上述公式计算各段变形求其代数和得到杆的总变形五材料的力学性能一低碳钢拉伸时的力学性能试验条件标准试件在常温静载即缓慢地加载条件下进行拉伸试验试验结果获得应力应变图即曲线由图中可以得出材料的若干力学性能弹性变形试件在拉伸过程中如果将试件卸载即将载荷逐渐减小至零则加载中所产生的变形将全部消失这种可以消失的变形称为弹性变形塑性变形卸载后不能消失的变形称为塑性变形或残余变形冷作硬化试件加载到强化段任一点C处卸载应力应变曲线将沿着与OA线近似平行的直线回到O1点然后再重新加载直至断裂其结果比例极限提高PP而断裂后塑性变形减小这种现象称为冷作硬化或加工硬化由曲线可以看出对于加载到C点后卸载再加载直至拉断为止四个阶段三个特性点二低碳钢压缩时的力学性能六拉压杆的静不定问题一静定结构与静不定结构的概念当未知力个数与独立的平衡方程数目相等时由平衡条件可以求得全部未知力这种结构称为静定结构当未知力个数多于独立的平衡方程数目时仅仅由平衡条件无法求得全部未知力这种结构称为静不定结构未知力个数与平衡方程数目之差称为静不定次数二求解静不定问题的基本方法求解静不定问题需综合应用平衡变形协调和物理三方面的条件首先根据约束力性质分析时取研究对象画受力图写出全部平衡方程其次根据结构变形前的位置和变形后的可能位置分析各构件变形或一构件各部分变形之间的关系建立变形协调方程这是求解静不定问题的难点第三根据胡克定律写出各构件或各部的力与变形之间的关系式即物理方程最后求解联立方程即可求得所需要的未知力三静不定结构的特性静不定结构中由于存在多余约束使各构件的变形互相牵制因而与静定结构相比具有下列特性一是各构件的内力分配与其刚度比有关二是由于温度变化将会引起温度应力三是当某一构件产生制造误差装配后将产生装配应力第六章圆轴扭转基本概念外力偶矩扭矩扭转角剪应力互等定理纯剪应力状态剪切弹性模量极惯性矩抗扭截面系数抗扭刚度剪应变和剪应力许用剪应力许用相对扭转角基本内容圆轴扭转的外力及变形特点用截面法求扭矩扭矩的符号规定作扭矩图剪切胡克定律及其应用条件圆轴扭转时横截面上的剪应力分布规律及最大剪应力发生的位置剪应力计算公式及其应用圆截面和空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数相对扭转角计算公式及其应用塑性材料轴与脆性材料轴扭转实验结果强度指标及破坏形式和原因重点掌握圆轴扭转时的强度与刚度条件并正确进行强度及刚度计算11一般了解内容圆轴扭转时横截面上的剪应力公式的推导过程相对扭转角公式的推导过程非圆截面杆和开口薄壁一受扭圆轴的外力内力应力和变形一课程精讲一受扭圆轴的外力内力应力和变形一关于扭矩剪应力与剪应变以及相对扭转角等概念扭转直杆的两端在垂直杆轴线的平面内作用一对大小相等方向相反的外力偶使杆件各横截面发生绕轴线相对转动这种变形形式称为扭转轴以扭转变形为主要变形的杆件称为轴横截面为圆形的轴称为圆轴扭矩在外力偶作用下应用截面法圆轴横截面上的分布内力组成一合力偶与外力偶平衡这一内力合力偶的力偶矩称为扭矩用T表示剪应力互等定理由受扭圆轴上扭截取的微六面体微元在两个互相垂直的截面上的剪应力数值相等其方向同时指向或背离该交线此关系称为剪应力互等定理纯剪状态微元的四个侧面上只有剪应力而无正应力则该微元的受力状态称为纯剪状态剪应变剪应力作用下微元的直角改变量称为剪应变或切应变剪切胡克定律在弹性范围内剪应力与剪应变成正比即G式中G是剪切弹性模量与拉压杆的弹性模量E相似表示材料的弹性常数随材料而异由实验测定单位为MPa扭转角轴在受扭时两横截面间绕轴线相对转动的角度称为相对扭转角用表示用来表示轴的扭转变形二扭矩计算扭转剪应力与变形分析1外力偶矩的计算作用在轴上的外力是外力偶其力偶矩用m表示工程中的传动轴通常是给定轴的转速n和所传递的功率Np则可用下表中的公式计算外力偶矩m9549NkwnNm牛顿米Np的单位kW千瓦或m7022NhpnNm牛顿米Np的单位HP马力转速n的单位转分钟2扭矩和扭矩图求扭矩仍用截面法其要点仍然是截开代替平衡计算扭矩时一般先将扭矩设为正向若结果为负值表示实际扭矩的方向与所设相反确定扭矩正负的方法是将扭矩用矢量表示按右手螺旋法则用四指表示扭矩旋转的方向大拇指便为矢量的指向当矢量的方向与截面的外法向线方向一致时扭矩为正反之为负将扭矩沿轴线方向变化用坐标中的图形表示则为扭矩图扭矩图的画法与轴力图画法相似3应力和变形公式扭转剪应力和相对扭转角公式分别为rTrIpmaxTWpdTGIpdx对于长度为l的圆轴当TGIp均为常数时两端横截面间的相对扭转角为TlGIprad单位长度扭转角为TGIpradm或T180GIpm式中单位T的单位用NmG的单位为Mpa的单位用Mpal的单位用mIp的单位用m4Wp的单位用m3计算时应注意单位的一致性4应力和变形公式的适用范围上述应力变形公式只适用于在弹性范围内加载材料服从剪切胡克定律圆截面轴二圆轴扭转时的强度计算与刚度计算一圆轴扭转时的强度计算准则为保证受扭圆轴安全可靠地工作圆轴横截面上的最大剪应力max不得超过许应用力即满足强度计算准则或强度条件max对于等截面圆轴maxTmaxWp对于阶梯轴TWp剪应力最大的截面称为危险截面危险截面上剪应力最大的点称为危险点二圆轴扭转时的刚度计算准则为保证受扭圆轴具有足够的刚度要求全轴上最大单位长度扭转角max不得超过许用扭转角12即满足刚度计算准则或刚度条件max对于等截面圆轴最大单位长度扭转角max发生在扭矩最大的截面处即maxTmaxGIp对于阶梯轴应综合考虑扭矩截面的影响即maxTGIpmax应用上述强度条件和刚度条件可以解决受扭的实心或空心圆轴的三类强度刚度问题三强度和刚度计算时应注意的问题注意判断危险状态max和max是指整个轴长范围而言而不是指某一截面或某一段的最大值计算时应根据扭矩图中的扭矩值轴的截面几何尺寸以及材料性能综合判断危险段危险截面和危险点如果轴上有几个部件可能是危险部位时应分别计算并加以比较后再确定计算时注意等号两侧单位一致第七章梁的弯曲强度基本概念剪力弯矩平面弯曲纯弯曲中性轴斜弯曲抗弯强度抗弯截面系数惯性矩形心轴基本内容剪力弯矩的符号规定用截面法求剪力弯矩建立剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图平面弯曲时梁横截面上的正应力分布规律及正应力公式横截面具有双对称轴如矩形圆形等及单对称轴字形及槽钢等时其横截面上的正应力分布特点弯曲正应力公式及应用最大弯曲正应力所在位置最大弯曲正应力公式及应用中性轴位置的确定矩形圆形空心圆截面的惯性矩公式及抗弯截面系数公式求组合截面惯性矩的组合公式和平行移轴定理及其应用提高梁强度的主要措施斜弯曲时危险截面及危险点的确定横截面上正应力分布及正应力计算公式最大正应力的计算公式强度条件及其应用弯拉压组合偏心拉压时危险截面及危险点的确定横截面上正应力分布及正应力计算公式强度条件及其应用重点掌握剪力方程和弯矩方程的建立剪力图和弯矩图的绘制弯曲正应力强度条件及其应用一般了解内容剪力弯矩和载荷集度间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用弯曲正应力公式及变形公式的推导弯曲剪应力公式的推导及应用薄壁截面梁弯曲中心的形象概念课程精讲一梁的内力一关于平面弯曲弯曲内力的概念与定义弯曲构件受到垂直于轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用其轴线从直线弯曲成曲线这种变形形式称为弯曲梁承受弯曲的构件称为梁通常可分为简支梁悬臂梁和外伸梁三类基本梁平面弯曲梁具有纵向对称面所有外力均作用在该对称面内梁变形后其轴线在该对称面内弯曲或一条平面曲线这是弯曲问题中最基本也是最重要的一种变形形式纯弯曲梁横截面上只有弯矩一种内力剪力在梁在某横截面上与外力主矢量平衡的内力分量它与横截面平行记作Q弯矩在梁的某横截面上与外力主矩平衡的内力其矢量垂直于梁的轴线记作M剪力方程与弯矩方程表示剪力弯矩沿梁轴线变化规律的函数式剪力图与弯矩图表示剪力与弯矩沿梁轴线变化的图形二剪力弯矩的正负号规定剪力弯矩正负号的规定使梁横截面两侧的剪力弯矩有相同的正负号为此剪力弯矩的正负号是由它们引起梁的变形情况来决定的在梁上截取微段其横截面上的剪力弯矩的正负号规定左上右下剪力为正左顺右逆13弯矩为正三剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程的方法与求指定截面上的剪力弯矩的方法基本相同差别在于建立剪力弯矩方程时所要求的是梁任意截面上的剪力和弯矩此外要注意外力突变对剪力弯矩方程的影响凡是集中力集中力偶作用的截面及分布载荷不连续的截面均是控制面控制面是建立剪力弯矩方程的分段点四剪力图弯矩图的画法及检验1剪力图与弯矩图的画法建立剪力弯矩方程后用横坐标表示截面的位置用纵坐标分别表示截面上的剪力弯矩作出剪力弯矩方程的图形即为剪力图和弯矩图遇有需分段的情形也要注意按各段的剪力弯矩方程作各段的剪力弯矩图剪力弯矩图形画好后应标上正负号并注明控制面上的剪力弯矩值及极值2剪力图与弯矩图的检验利用剪力弯矩载荷集度间微分关系可以检验剪力弯矩图的正确性五建立QM方程及画QM图时应注意的问题确定控制面上的弯矩和剪力时要应用截面法用假想截面从所考察的截面处将梁截开与求拉伸和扭转时的内力一样切不可将截面附近处作用的外力当作截面上的弯矩和剪力特别是对于初学者这一点显得列加重要对截面法较熟悉后可以不必在纸面上画出截开后的图形但一定要有截开的概念求约束力及截开后求剪力弯矩时可应用静力学中力的简化方法进行计算但在截开之前不能将梁上的外力简化并用静力等效的梁替代原梁求剪力弯矩其中原因将在最后一小节中讨论弯矩剪力的正负号不仅关系到所画的弯矩图和剪力图是否正确而且对以后的强度和刚度计算都有很大的影响因上要特别注意避免发生正负号的错误因为弯矩和剪力的正负号是根据它们所引起的变形效果规定的所以不仅要根据它们的作用方向而且要考虑它们的作用面然后按弯矩剪力的符号规定来确定它们的符号一般情况下应先按弯矩剪力的符号规定假设截面上的弯矩和剪力为正方向然后由平衡方程计算截面上的弯矩剪力若结果为正则说明假设的正方向是正确的即该截面上的弯矩剪力均为正若结果为负则说明弯矩剪力的实际方向相反即为负这样由平衡方程所得到的弯矩剪力的正负号与它们的实际情况是一致的二梁的应力一关于平面假设中性轴惯性矩和抗弯刚度的概念与定义平面假设梁弯曲变形后其横截面仍保持平面并仍与梁轴线垂直只是绕截面上某一轴转过一个角度中性层与中性轴在梁弯曲变形后梁中既不伸长也不缩短的纵向层称为梁的中性层中性层与横截面的交线称为中性轴在平面弯曲时中性轴过截面形心且与横截面对称轴垂直惯性矩Izy2dA是对指定的z轴而言的此时Iz是仅与截面形状尺寸有关的几何量其值恒为正值量纲是长度4抗弯刚度EIz综合反映了构件抗弯曲变形的能力二弯曲正应力公式的应用弯曲正应力公式应用与圆轴扭转时剪应力的推导方法基本相同即综合考虑了几何物理和静力学三个方面应用正应力公式MyIz时要注意该公式是对某个截面上某点而言的即首先应明确是求哪个截面上哪一点的应力其次利用截面法求该截面上的弯矩M并确定该截面对其中性轴的惯性矩最后由正应力公式求出该点的正应力三确定截面对中性轴的惯性矩弯曲正应力公式中Iz是指截面对其中性轴z的惯性矩因此应首先确定中性轴在平面弯曲时中性轴过截面形心且垂直于截面对称轴即为截面的形心对称轴若截面具有一对相互垂直的14对称轴当外力沿某一对称轴作用另一对称轴即为中性轴若截面只有一根对称轴那么当外力沿该对称轴作用时过截面形心且与该对称轴垂直的轴即为中性轴矩形圆形空心圆等简单图形截面可直接应用公式其惯性矩Izbh312Iyhb312Izd464IzD4d464对于工字钢等型钢可查型钢表得其惯性矩查表时要注意对哪根轴的惯性矩求简单组合截面惯性矩时应灵活应用组合公式及平行移轴定理应用组合公式要注意对同一轴的限制当组合截面的形心轴同时也是截面各组成部分的形心轴时求组合截面对其形心轴的惯性矩便可直接应用组合公式应用平行移轴定理不仅可以由已知截面对形心的惯性矩Ixy求得截面对与形心轴平行的任一轴的惯性矩Iz而且可由Iz求Ixy但要注意公式中等号两边的惯性矩的含义不可将其位置弄错三梁的弯曲强度计算一关于危险面危险点弯曲强度计算准则危险截面梁内弯矩最大对等截面梁的截面其中为抗弯截面系数危险点危险截面上正应力最大的点弯曲强度计算准则又称强度条件限制梁的最大工作应力使其不超过材料的许用应力二弯曲强度计算的基本方法弯曲强度计算的任务弯曲强度计算主要解决以下三类问题校核强度求出梁内最大正应力由强度条件校核梁是否满足强度要求截面尺寸设计根据强度条件得到截面的设计尺寸确定许可载荷由强度条件并通过弯矩与载荷的关系即可确定许可载荷弯曲强度计算的一般步骤是首先根据题目要求确定是哪类强度计算问题从而选择强度条件的相应形式其次由外力及约束情况作出正确的弯矩图并确定可能的危险截面然后根据材料的特性及截面上的应力分布确定可能的危险点最后根据强度条件进行强度计算三提高梁强度的主要措施选择合理截面形状用抗弯截面系数与截面面积的比值来衡量截面的合理程度比值愈大截面就愈经济合理由此可见合理截面的设计原则是尽量将材料安置在远离截面中性轴的地方另外还应根据材料的特性来选择合理截面对于塑性材料因其抗拉能力与抗压能力相等应采用对称于中性轴的截面如工字形截面等对于脆性材料因其抗压能力好于抗拉能力故应使截面中性轴偏于受拉的一边如字型截面等这样就使材料的使用较为合理达到经济节省的目的采用变截面梁为充分发挥材料的性能在弯矩较大处采用较大的横截面在弯矩较小处采用较小的横截面此即变截面梁最理想的设计是使所有横截面上的最大正应力均等于许用应力即这就是等强度梁改善梁的受力情况通过改变梁的支座位置及加载方式可以有效地降低梁内最大弯矩从而提高梁的承载能力下表给出了改善梁受力情况的几种方法四斜弯曲与拉压弯组合一斜弯曲与拉压弯组合斜弯曲两个相互垂直平面内平面弯曲的组合斜弯曲时中性轴仍过截面形心但不与加载方向垂直偏心载荷当力的作用线不通过截面形心时这便是偏心载荷在偏心载荷作用下杆将产生平面弯曲与轴向拉伸或压缩的组合变形偏心力作用点至截面形心的距离称为偏心距二组合受力与变形时的强度分析方法分析斜弯曲及弯拉压组合变形问题采用分解简化叠加的方法将组合变形分解或简化为基本变形然后利用叠加法将应力叠加解题的一般步骤如下外力分析内力应力分析与强度条件15第八章梁的弯曲刚度基本概念挠曲线挠度转角基本内容工程构件对弯曲刚度的要求挠曲线微分方程及其应用条件挠曲线挠度和转角间的关系根据梁段的弯矩符号和梁的约束条件确定挠曲线的大致形状计算梁位移的积分法及其应用只限于两个积分常数的情形梁的约束条件与连续光滑条件叠加原理及其应用条件用叠加法计算梁位移刚度条件及其应用提高梁刚度的主要措施一次静不定梁的求解相当系统静定基的选取确定变形协调条件建立补充方程重点掌握确定梁位移的叠加法一般了解内容挠曲线微分方程的建立课程精讲一关于挠度和转角以及挠曲线微分方程的概念与定义位移梁在弯曲变形时其横截面位置的改变位移与变形是两个不同的概念梁的位移是梁上所有微段变形累加的结果并受到梁的支承条件限制挠度截面形心沿垂直于轴线方向的位移转度截面相对于变形前初始位置所转过的角度梁任一截面的转角等于梁的挠度y对x的一阶导数在该截面处的数值挠曲线变形后的梁轴线在平面弯曲及弹性范围内加载时挠曲线为一光滑连续的平面曲线挠曲线方程挠度方程描述挠曲线变化规律的方程本书采用x轴沿变形前梁轴线y轴垂直向上的坐标挠曲线微分方程此微分方程的应用范围是线弹性范围内小挠度平面弯曲问题静不定梁约束力数目多于平衡方程数目的梁二确定梁位移的积分法用积分法可以确定梁变形的挠度方程和转角方程其具体步骤为建立Oxy坐标其中x轴沿梁轴线y轴向上为正取梁左端为原点根据梁的受力情况建立弯矩方程将弯矩方程代入挠曲线微分方程中注意若弯矩方程不同或抗弯刚度不同均要分段建立挠曲线微分方程三确定梁位移的叠加法用叠加法求梁的位移首先要将复杂载荷分解或简化成几种简单载荷然后利用简单载荷下梁的挠度和转角的计算结果叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角应用叠加法时要注意以下问题所采用的等效梁必须与原给定梁的受力和约束条件一致只有这样才能保证二者不仅静力等效而且变形等效才能使等效梁的叠加结果反映原给定梁的变形所采用的等效梁应当易于分解成简单载荷和约束形式以便直接应用结果叠加时要分析各部分的变形曲线只有这样才能正确确定各部分变形或位移之间的关系其中要特别注意刚体位移对其他部分变形的影响这往往是最易遗漏的查用挠度表时要对照求解梁与表中典型梁的各个相当量如长度载荷等以相当量代入计算不要死套公式四刚度计算准则根据刚度计算准则又称刚度条件ymaxy及max可以解决梁的三类刚度问题刚度校核截面尺寸设计确定许可载荷进行刚度计算的一般步骤为应用积分法或叠加法求出最大挠度转角或指定截面的挠度转角16应用刚度条件按题目要求进行刚度计算应用max时要注意由积分法或叠加法求得的max单位是弧度若题目给出的单位为度则需换算使二者单位一致若题目同时给出了强度要求则可先由强度条件进行强度计算再由刚度条件检查所得结果是否满足刚度条件或先进行刚度计算再由强度条件校核也可二者同时进行比较后得结果五求解简单静不定梁的方法当梁的约束力数目多于独立的平衡方程数目时通过平衡方程不有求解全部约束力此类梁为静不定梁其求解的一般步骤为根据约束力和独立的平衡方程数目判断静不定次数一般可用约束力数目n减去独立的平衡方程数目m其差nm即为静不定次数解除多余约束选择静定基并在静定基上加上作用在原梁的所有外力及相应的约束力得到与原静不定梁相当的静定梁即相当系统要注意静定基的选择往往不是唯一的可根据题目及解题的方便来选择另外所加的约束力必须是沿所解除约束的方向建立变形协调方程在所解除约束的方向建立相当系统所应满足的变形协调条件最后由静力平衡方程及物理方程与变形协调条件联立求解可求出全部约束力根据题目要求按静定梁的计算方法对相当系统进行强度或刚度计算第九章应力状态强度准则及其应用基本概念一点应力状态概念平面应力状态主应力主平面单向应力状态二向应力状态三向应力状态基本内容平面应力状态中斜截面上的应力分析应力圆及其应用应力圆与微体的对应关系微体内最大应力主应力最大剪应力及其所在截面方位的计算广义胡克定理最大拉应力准则最大剪应力准则与形状改变比能准则弯扭组合变形时危险截面及危险点的判断强度条件及其应用危险截面上应力分布危险点的应力状态重点应掌握主应力主平面最大剪应力的确定最大拉应力准则最大剪应力准则与形状改变比能准则的应用弯扭组合杆件的强度计算一般了解内容广义胡克定理的推导微体斜截面上应力公式的推导建立复杂应力状态下强度设计准则的基本思想课程精讲一应力状态一关于应力状态主应力等的概念与定义一点的应力状态的概念通过一点所有方向面上的应力集合平面应力状态受力微元上应力的作用线都处在相互平行的平面内主平面应力状态中剪应力为零的方向面称为主平面主应力主平面上的正应力称为主应力主方向角主平面的外法线与x轴的夹角或者说主应力方向与x轴的夹角微元体通过一点在其附近围绕该点取一个微小的正六面体当各边长趋于零时六面体便趋于一点此正六面体称为微单元体简称微元二描述一点应力状态的方法描述一点应力状态的方法是在构件上某一点附近围绕该点取微元微元及其三对面上的应力即可描述一点的应力状态微元截取的方位一般说是可以任意选取的但是应使微元三对面上应力尽可能已知或可以算出三平面应力状态的分析方法分析平面应力状态的方法有两种一是解析法二是图解解析法即应力图1解析法17在平面应力状态下对微元应利用截面法得到任意方向截面上的应力公式角度的正负规定为x轴正向逆时针转到斜截面外法线n者为正顺时针方向转到斜截面外法线n者为负2图解解析法应力图应力圆上点的坐标与微元应力之间存在下列对应关系点面对应应力圆上一点的两个坐标对应着微元上某个方向面的正应力和剪应力二倍角关系过应力圆上任意两点的半径之间的夹角等于微元两个对应面外法线之间夹角的两倍转向相同微元某一面的外法线沿某一方向转过一角度则过应力圆上与之对应的点的半径亦按相同方各转动且转过两倍角由已知应力状态画应力圆的步骤是建立直角坐标系并选定合适的比例在坐标系中按比例标出与两对相互垂直面上应力相对应的两点的位置3平面应力状态的主应力和最大剪应力已知平面应力状态微元一对相互垂直截面上的应力xy和xy用解析法或应力圆都可以确定其主应力主方向和最大剪力力三个主应力为顺其代数值排列应为123即1为中代数值最大者3为代数值最小者2则介于1和3之间平面应力状态中平行于123作用方向的三组方向面上的应力对应着三个应力圆最大应力圆的半径即为最大剪应力值max1324广义胡克定律当应力状态的三个主应力都不为零并在弹性范围内加载时应力与应变的关系用主应力表示的为公式表明在复杂应力状态下某个方向的正应变不仅与该方向的正应力有关而且还与垂直于该方向的正应力有关当有一个主应力为零例如30时上式变为113E231E312E当有两个主应力为零例如030时则上式变为11E21E31E第一式便是单向拉伸时的胡克定律所以广义胡克定律既适用于复杂应力状态也适用于单向应力状态二强度准则18一关于强度失效形式和强度准则的概念材料在不同应力状态下发生强度失效主要有两种形式一种是屈服或剪断这种失效伴随有明显的塑性变形另一种是脆性断裂材料的失效形式不仅与材料性能有关而且与应力状态有关但在一般应力状态下塑性材料大都发生屈服或剪断脆性材料大都发生脆性断裂所谓强度准则就是关于材料在不同应力状态下失效的共同原因的各种假设根据这些假设才有可能利用单向拉伸的试验结果推知材料在复杂应力状态下何时发生失效从而建立起相应的强度计算依据即强度条件二三种常用的强度准则工程中常用的三种强度准则三圆轴弯扭组合受力与变形的强度计算一圆轴承受弯扭组合时的强度计算方法解决承受弯扭组合圆轴强度问题需从以下几方面着手首先画出轴的计算简图因为工程中的轴上大都安装有齿轮或皮带轮等装置外力并不直接作用在轴上而是直接在这些装置上所以在对轴进行强度计算时应先将这些力向轴线简化得到轴的受力图其次要根据轴上的外力画出弯矩图和扭矩图弯矩和扭矩都比较大的截面即为圆轴的危险截面第三根据与弯矩对应的正应力分布和与扭矩对应的剪应力分布可以确定正应力和剪应力的最大点即为危险点根据正应力和剪应力的作用面和作用方向可以确定危险点的应力状态最后选用合适的强度准则建立条件由于承受弯扭组合的圆轴大都采用塑性较好的材料而且在静载下发生屈服失效故应用最大剪应力准则或形状改变比能准则二弯扭组合受力时危险点的应力状态及其相当应力圆轴承受弯扭组合作用时危险点仍为平面应力状态且xy0xy于是三个主应力分别为相应于最大剪应力和形状改变比能准确的相当应力分别为三弯扭组合和拉弯扭组合时危险点的应力状态四弯扭组合和拉弯扭组合时危险点的强度条件第十章压杆稳定基本概念平衡稳定不稳定失稳临界点临界载荷临界应力长度系数相当长度柔度基本内容计算临界载荷和临界应力的欧拉公式及其应用欧拉公式应用条件不同支承方式的长度系数截面形状及柔度临界载荷临界应力之间的关系三类不同压杆的区分及其临界应力表达式临界应力总图压杆稳定安全校核安全系数法重点掌握欧拉公式及其应用三类不同压杆及其临界应力计算用安全系数法进行压杆稳定安全校核课程精讲一关于压杆平衡稳定性和临界载荷等的概念和定义压杆平衡稳定性的概念承受中心受压的理想直杆当压力小于一定数值时在任意小扰动19下压杆偏离原来的直线平衡位置例如产生微弯当扰动除去后压杆又能回复到原来的直线平衡位置则称原来的直线位置平衡是稳定的当压力超过一定数值时扰动除去后压杆不能回复到原来的直线平衡位置则称原来的直线平衡位置是不稳定的临界状态与临界载荷介于稳定和不稳定之间的平衡状态为临界状态压杆在临界状态下的压力载荷称为临界载荷或临界力它是压杆保持稳定的直线平衡的最高载荷失稳当压力大于临界力时在外界扰动下压杆由直线平衡位置转变为弯曲平衡位置这种现象称为失稳或屈曲二压杆临界载荷及其影响因素对于细长杆应用小挠度微分方程得到临界载荷的计算公式为式中称相当长度其中值反映压杆支承方式对值的影响称为长度折算系数三三类不同压杆与临界应力总图临界应力压杆处于临界状态维持直线平衡状态时PPcr其横截面上的正应力称为临界应力crPcrA柔度反映支承方式杆长以及截面几何性质对临界力影响的物理量由下式计算lI其中iIA12i称为截面的惯性半径三类不同压杆的临界应力的表达式不同的压杆失效形式不同对于细长杆由于失稳而失效对于粗短杆则由于强度不足而失效介于二者之间的中长杆则由失稳而失效但已发生塑性变形故为弹塑性失稳三类压杆的临界载荷Pcr以及临界应力cr的计算式各不相同对于细长杆cr2E2Pcr2EIl2对于中长杆crabPcrabA对于粗短杆crr塑性材料crb脆性材料PcrrAPcrbA根据柔度区分三类不同的压杆p者为细长杆rp者为中长杆r者为粗短杆四压杆稳定安全校核安全系数法为了保证压杆在轴向压力P作用下平衡是稳定的并且具有一定安全系数要求满足下列条件PPcrncr其中P称为工作载荷上式还可写成crncrcr式中PA称为工作应力cr称为稳定许用应力ncr称为稳定安全系数机械工程设计计算中通常将上述安全条件写成安全系数的形式noncr其中nocr称为工作安全系数这种方法称为安全系数法第十一章构件的疲劳强度概述基本概念交变应力疲劳极限疲劳破坏应力寿命曲线循环特征对称循环应力集中基本内容疲劳破坏特点及破坏原因影响构件疲劳极限的因素提高疲劳强度的措施一般了解内容有效应力集中系数尺寸系数表面质量系数对称循环时疲劳强度计算公式在以前几章分析强度问题时所涉及的构件中的应力均不随时间而变化下面动画所示为火车车轴的受力情况其上所受之载荷大小和方向虽然不随时间而变化但由于轴不停地转动其横截面上各点位置却随时间而变化因此横截面上确定点的应力也随时间而变化课程精讲一关于交变应力和疲劳破坏的概念与名词术语交变应力横截面上一点的应力随时间作周期性变化这种应力称为交变应力循环特征在一个应力循环中最小的应力与最大的应力比值称为循环特征SminSmax1的应力循环称为对称循环0的应力循环称为脉冲循环20应力集中由于开孔槽等构件截面突然改变所引起的局部应力增长现象称为应力集中疲劳极限是指试样经过无穷多次应力循环而不发生破坏时应力循环中最大应力的最高限循环特性不同时疲劳极限不同用表示1为对称循环时的疲劳极限二几个应注意的问题交变应力中的最大应力和最小应力是指横截面上一点应力随时间变化过程中的数值而不是横截面上应力分布中的最大应力与最小应力也不是一点应力状态中的最大应力与最小应力对于拉伸和压缩应力NA对于弯曲应力MyIzMWz对于扭转应力TRIpTWP这些都称为名义应力三疲劳破坏特征破坏时的应力远低于静载荷作用下的极限应力对于塑性材料不仅低于强度极限而且低于屈服强度破坏前没有明显塑性变形即使是塑性很好的材料在疲劳破坏时也将呈现脆性断裂在确定的应力水平下发生疲劳破坏需要经过一定的应力循环次数在破坏的断口上通常呈现两个区域光滑区和颗粒状区四影响疲劳极限的主要因素由于疲劳破坏最先在材料最弱处形成微观裂纹裂纹尖端和形成很高的应力集中在交变应力作用下微裂纹不断扩展形成宏观裂纹产生新的应力集中最后导致断裂因此凡影响裂纹扩展的因素均为影响疲劳极限的因素1应力集中的影响在应力集中区域内疲劳裂纹最容易形成和扩展故应力集中使疲劳极限降低这是影响疲劳极限的重要因素设计时应尽量减缓应力集中根据不同情况可采用下列措施1截面突变处增大过渡圆角半径2尽量减小阶梯轴大端和小端直径的差别3采用凹槽结构4设置卸荷塘5孔沟槽尽量开在低应力区2零件尺寸的影响尺寸大小对疲劳极限有着明显的影响大尺寸的零件所包含的缺陷较多疲劳裂缝形成和扩展的机率也较高故疲劳极限将降低零件表面加工质量的影响械加工时零件表面形成的深浅不同的刻痕有利于疲劳裂缝形成和扩展所以随着表面质量粗糙度的提高疲劳极限将增高提高零件的表层材料的强度改善表层的应力状况例如经过渗炭渗氮高频淬火表面滚压和喷丸等处理都是提高疲劳强度的有效措施第十二章点的运动分析基本概念参照系统时间间隔瞬时点的轨迹位移平均速度速度平均加速度加速度基本内容描述点的运动的基本方法矢量法直角坐标法和自然法限于平面曲线确定点的速度及加速度自然法重点掌握用自然法求点的速度课程精讲一关于点的运动分析的概念和定义参考点和参考系质点刚体的位置和运动只有相对于某一事先指定的物体而言才具有确定的意义这个先指定的物体称为参考体固结在参考体上的坐标系称为参考系瞬时和时间间隔瞬时是指某一时刻即某一瞬间时间间隔是指两瞬时之间的一段时间单值连续函数无论采用何种坐标系描述点的运动其在任一瞬时的位置都是唯一确定的切向加速度和法向加速度点作平面曲线运动在任一瞬时的加速度可分解为切向加速度和21法向加速度前者描述速度大小随时间的变化的快慢方向沿轨迹在该点的切线方向后者描述速度的方向随时间变化的快慢方向与速度矢量垂直总是指向曲线内凹的一侧亦即指向曲率中心需要注意的是在平面曲线运动中不能将dvdt作为全加速度只有当an0时才有advdt二求解点的运动问题应注意的问题点的运动问题大致有四种类型解题时要注意区别对待现简述如下1用坐标法直角坐标法自然法建立点的运动方程若点的轨迹未知一般用直角坐标法若点的轨迹已知多用自然法但也可用直角坐标法具体步骤是确定研究对象即确定所要研究的动点根据所选用的方法选择对应的坐标系并要明确坐标系固结在哪一物体上确定点开始运动的位置然后将动点置于任意位置并用某一参量表示这一位置所选用的参量应与时间有关需要注意的是不能将点放在特殊位置例如运动初始或终了位置因为特定时刻的位置不能描述点的位置随时间变化的函数关系代入时间t得到坐标与时间t的函数关系即动点的位置随时间t的变化规律亦即动点相对于坐标的运动规律运动方程2求点的轨迹方程首先要知道用直角坐标表示的运动方程可以由题中给定否则应自行建立将方程中的时间t消去便得到动点的坐标之间的函数关系此即点的轨迹方程要注意的是点的运动轨迹是当时间t由零到或某一定值T之间所经过的路径它仅是按照数学表达式所画出的曲线上的一部分线段3求点的速度加速度通过对运动方程求导数运用矢量合成法则以及法向加速度公式可以求得动点的速度切向加速度法向加速度以及全加速度需要注意的是确定某一特定瞬时的速度和加速度时千万不要用运动方程在这一特定瞬时的特定值或用速度在这一特定瞬时的特定值对时间求导数而应当将运动方程对时间求导数得到速度方程再将速度方程对时间求导数求得加速度对时间t的函数关系然后将特定瞬时特定值代入上述方程得到这一瞬时的速度和加速度此外在求导的数学运算中还要注意复合函数的求导法则第十三章刚体的基本运动基本概念平行移动定轴转动固定转动转角或角位移角速度转速角加速度基本内容刚体平行移动时其上各点的轨迹速度和加速度的特征定轴转动的特征定轴转动刚体的角速度角加速度的确定定轴转动刚体上的各点的速度加速度公式及其应用重点掌握定轴转动及定轴转动刚体上的各点的速度加速度的计算课程精讲一关于刚体基本运动的概念和定义刚体的平动刚体运动时其上任一直线始终与其原来的位置相平行刚体的这种运动称为平行移动简称为平动刚体平动时的特性之一是其上各点的轨迹形状完全相同并且互相平行特性之二是在同一瞬时刚体上各点的速度和加速度对应相等如双曲柄机构中的连杆的运动刚体的定轴转动刚体运动时其上或其扩展体上有一直线保持不动这种运动称为刚体的定轴转动刚体定轴转动时的特性之一是其上各点绕固定轴作圆周运动特性之二是在任一瞬时刚体上各点的速度和加速度均不相同如双曲柄机构中的曲柄的运动二解题要点及注意的问题1如果刚体的运动为平动则可以其上一点的运动代表整体的运动这表明可以用点的运动分析的有关的知识分析和解决刚体平动问题2当刚体的运动为定轴转动时常见的问题有两种类型如果已知刚体的转动方程或根据其它已知条件建立转动方程通过对运动方程求导数可以求得角速度和角加速度反之如果已知刚体转动的角加速度和运动的初始条件通过对角加速度22和角加速度可以求得刚体转动的角速度和转动方程如果已知刚体的转动方程角速度和角加速度包括求得的通过基本公式可以求得刚体上任意点的速度和加速度反之如果已知转动刚体上某一点的速度和加速度根据基本公式可以求得刚体转动的角速度和角加速度3对于由几个刚体组成的系统首先要判断每一个刚体的运动性质平动还是转动其次从已知运动刚体着手确定两刚体接触点或联接点的运动速度和加速度再根据两刚体在接触点或联接点处的速度和切向加速度相等的原则确定另一转动刚体的运动4求解刚体定轴转动问题时要注意以下两个问题刚体作定轴运动时其角速度和角加速度是反映整个刚体转动性质的物理量它不是说明某些个别点的运动因此不能说某点的角速度和角加速度与点的运动分析中判别加速和减速运动相似在刚体定轴转动中如果角加速度和角速度同号则转动是加速的反之如果与异号则转动是减速的第十四章点的合成运动基本概念静坐标系动坐标系绝对运动相对运动牵连运动绝对速度绝对加速度相对速度相对加速度牵连速度基本内容确定绝对运动相对运动牵连运动及绝对速度相对速度牵连速度速度合成定理及其应用重点掌握速度合成定理的应用一般了解内容加速度合成定理哥氏加速度的概念课程精讲一关于三种运动的概念和定义静坐标系固结于静止物体上一般固结在地球上的坐标系称为静坐标系动坐标系相对于地球有一定运动的坐标系称为动坐标系动坐标系一般固结于运动物体上绝对运动动点相对于静坐标系的运动称为绝对运动其相应的速度加速度轨迹分别称为绝对速度V绝对加速度a绝对轨迹如图中的V相对运动动点相对于动坐标系的运动称为相对运动相应的速度加速度轨迹分别称为相对速度Ve相对加速度ae相对轨迹牵连运动动坐标系相对于静坐标系的运动称为牵连运动并定义其瞬时在动坐标系上与动点重合之点相对静坐标系的速度加速度称为动点在该瞬时的牵连速度vr牵连加速度ar需要注意的是牵连运动不是点的运动而是动坐标系的运动即刚体的运动动点在某一瞬时的牵连速度和牵连加速度也不能笼统地称之为动坐标系相对于静坐标系的速度和加速度因为除平动外动坐标系上各点的速度和加速度各不相同因此动点在某瞬时的牵连速度和加速度实际上是动坐标系上与动点相重合的那一点即牵连点的速度和加速度二速度和加速度合成定理点的速度合成定理动点在某一瞬时绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和对于平面问题加速度合成定理可求解两个未知量当牵连运动为转动时则还应在上式等号的右边加入哥氏加速度哥氏加速度产生的原因是由于牵连运动为转动时相对运动与牵连运动之间存在着相互影响三解题要领与注意事项求解点的合成运动时注意以下几点是很重要的1根据题意确定是否需用点的运动合成方法2选择好动点动坐标系和静坐标系原则是动点动坐标系和静坐标系要分别位于三个不同物体或点上静坐标系一般固结在不动的23物体上动点和动坐标系不能同时选在同一运动刚体上否则动点与动坐标系之间便不存在相对运动因而不能构成点的合成运动动点相对于动坐标系的相对运动轨迹要明显简单例如直线圆或确定的曲线而且动坐标系要有明确的运动例如平动定轴转动等如左动画双曲柄机构中的曲柄作定轴转动连杆是作平动3正确进行运动分析确定了动点动坐标系和静坐标系后首先要确定牵连运动的形式平动转动或其它运动形式然后分析点的绝对运动和相对运动轨迹即确定这责种轨迹是直线还是曲线4正确分析三种速度解题时要先分析三种速度的大小和方向确定哪些是已知的哪些是未知的然后用几何法或解析法求解未知量应用几何法时V一定是速度矢量四边形中的对角线第十五章刚体的平面运动基本概念平面运动基点瞬心基本内容刚体平面运动的特征刚体平面运动分解为平动与定轴转动确定平面图形内各点速度的速度合成基点法速度投影法瞬心法及其应用重点掌握求解平面图形内各点的速度的三种方法一般了解内容加速度合成定理及其应用课程精讲一关于刚体平面运动及瞬心的概念和定义刚体的平面运动刚体运动时如其上各点到某固定平面的距离保持不变则这种运动称为刚体的平面平行运动简称为刚体的平面运动如行星齿轮系中行星运动瞬时速度中心平面图形上瞬时速度为零的一点称为平面图形的瞬时速度中心简称速度瞬心二平面运动的合成与分解平面运动可以看成是刚体随基点的平动与绕基点的转动这两种运动的合成研究平面运动的方法就是运动的分解与合成的方法可用下式表式平面运动随基点的平动绕基点的转动绝动运动牵连运动相对运动其中平面图形的运动是绝对运动随同动坐标系的平动是牵连运动相对于动坐标系绕基点的转动是相对运动三者都是刚体的运动牵连平动的速度加速度随基点选择的不同而不同相对转动的角速度角加速度却与基点的选择无关即是相对于平动坐标系的角速度角加速度又是相对于静坐标系的角速度角加速度三确定平面图形上任意点速度的三种方法在求解平面运动刚体上点的速度时应注意以下几点速度投影法和速度瞬时法均直接由速度合成法推出但对不同的问题选择适当的方法可使问题得到简化根据具体问题三种方法可单独使用也可联合求解用速度合成法求解时基点一般应选取速度已知或容易确定的点对运动机构要注意每个作平面运动的构件各有其速度瞬心和角速度四瞬心位置的确定关于瞬心应当注意以下几点瞬心位置是不固定的它随时时间的不同而不同即平面图形在不同的瞬时有不同的瞬心24速度瞬心的加速度一般不为零不能把图形作绕速度瞬心作定轴转动且依此计算图形上各点的加速度五解题要点与应注意的问题求平面图形上一点的速度和加速度或平面图形的角速度与角加速度时掌握以下几点是很益的确定系统中各刚体或构件的运动形式平动定轴转动平面运动等系统中各个刚体的运动形式是不同的只有确定了每个刚体的运动形式才能确定采用什么方法在平面机构中首先找出作平动和定轴转动的刚体除此之外便是作平面运动的刚体注意每次研究对象只能是一个刚体分析平面运动刚体与其它各刚体的联系或约束方式从而可以根据作平动或定轴转动刚本的速度和加速度判断或确定平面运动刚体上与之联系点的速度和加速度用基点法求速度和加速度时应选取速度大小和方向都已知的点作为基点对于几个刚体组成的系统则选限平面运动构件上与运动已知的刚体相联系的点作为基点作待求点的速度平行四边形时待求点的速度合矢量应是四边形的对角线若用投影法应已知图形内一点速度的大小和方向以及待求点速度的方向才能求得待求点的速度大小这种方法多用于机构中的连杆因为连杆上与其它构件联结点的速度性往往容易确定采用瞬心法求速度的关键是确定瞬心位置一旦确定了瞬心的位置再根据平面图形上某点与其它刚体的联系点的已知速度求得平面图形的角速度最后求出平面图形上任意点的速度一定要注意每个平面图形都有其速度瞬心和角速度不能将几个图形放在一起去确定瞬心的位置第十六章动力学普遍定理及其应用基本概念质点系动量矢量矩转动惯量动能势能基本内容质点系的动量和动量定理及其应用质点系的动量矩定理及其应用刚体定轴转动微分方程转动惯量质点系的动能和动能定理及其应用重点掌握刚体定轴转动微分方程转动惯量的计算质点系的动能和动能定理及其应用一般了解内容势能机械能守恒定律及其应用冲击载荷的计算动载系数课程精讲一关于动量动量矩和动能等的概念和定义动量动量是其瞬时机械运动的一种变量质点的动量是质点的质量与其速度的乘积即mv质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积即KmivMVc动量是矢量并随时间而变化质心质心是质点系的质量中心其位置坐标为其中mim是整个质点系的质量质心只与质点系中每个质点的质量大小以及质量的分布情况有关动量矩对轴的动量矩是质点或质点系包括刚体绕轴转动时机械运动强弱及其相互传递的度量质点对某轴的动量矩是质点的动量对该轴的矩质点系对某轴的动量矩是质点系中各质点的动量对该轴的矩的代数和对点的动量矩是矢量对轴的动量矩是代数量二者均为瞬时量一般随时间而变化25转动惯量转动惯量是物体转动时惯性的度量刚体对某轴的转动惯量等于各质点质量与它们到该轴垂直距离的平方的乘积之和如左图示即上式表明转动惯量只与刚体的形状轴线的位置和质量的分布有关而与刚体的运动状态无关功功是力在一段路程上对物体的累积效应的量度其计算公式为功是代数量当力在位移方向的分力与位移同向时功为正反向时功为负动能动能是物体由于运动而具有的能量是物体机械运动的另一种度量动能是标量且恒为正值定轴转动刚体的动能等于刚体对定轴的转动惯量与刚体转动角速度平方乘积的一半势能质点从某位置至基准点有势和所作的功称为质点在该位置的势能二动力学普遍定理的主要内容及适用范围动力学普遍定理均可由牛顿第二定律推导出来具有微分形式和积分形式两种教科书中着重讨论了微分形式的动量定理动量矩定理积分形式的动能定理它们通过揭示各种量度物体机械运动的量与量度机械作用的量之间的关系从不同的侧面更深入地阐明了机械运动的规律第十七章动静法及其应用基本概念惯性力基本内容惯性力系的简化动静法用动静法计算简单物体系统的动力学问题旋转构件的受力分析与应力计算一般了解内容转子动平衡的形象概念课程精讲一关于惯性力和动静法的概念和定义惯性力设质量为m的质点受到力F的作用而具有加速度a则质点对施力体的反作用力Fgma称为质点的惯性力由惯性力的定义可知质点惯性力的大小等于质点质量与加速度的乘积方向与加速度方向相反需要指出的是质点惯性力Fg并非质点本身受到的力当质点与周围物体相联系时惯性表现为质点对周围施力体的反作用力的合力动静法将牛顿定律Fma或质点系动量定理与动量矩定理中等号右端的与运动有关的量移至等号的左端形式上变为力的平衡方程从而将动力学问题变成用静力学方法求解二基本方法与解题要点本章在介绍惯性力定义和概念的基础上着重讨论刚体惯性力系的简化以及动静法在旋转构件受力分析和应力计算中的应用因此为掌握动静法及其应用尤其要掌握好定轴转动刚体惯性力系的简化理论应用动静法解题的要点选取研究对象画出其受力图分析研究对象的运动确定惯性力并将其画在受力图上列平衡方程求解未知量对旋转构件进行受力分析和应力计算的要点是采用动静法对旋转构件作受力分析按静载时的强国度刚度以及稳定分析的原理和方法分析构件的应力和变形进行强度刚度和稳定计算期末辅导一期末复习要求26复习时要全面系统地复习本课程的基本内容在此基础上对重点掌握的内容要进一步弄懂弄透深入掌握基本概念定理及公式对基本公式不要求推导但对公式中各个量的物理意义以及公式的应用条件应有所了解复习第一篇静力分析时应着重掌握静力分析的基本方法准确地取隔离体画受力图正确地运用平衡条件求解约束力复习第二篇强度刚度稳定分析时应侧重于杆梁钢架桁架及其组合构件并侧重于拉压弯斜弯曲等组合变形形式对于第三篇运动与动力分析的内容只要求概念及简单计算而不要求计算题二考核说明一第一篇的内容约占第二篇约占第三篇约占二试题的题型有两种一是单项选择题约占试题的主要测试学生对基本定义概念重要结论基本公式和基本实验结果的掌握程度做此类题目时要概念清楚依据正确并能判断分析错误的结论二是计算题约占试题的主要测试学生应用各个基本理论公式及方法解决问题的能力三试题类型分值构成选择题题分分计算题题道为简单计算题道计算题共分四计算题试题类型形心位置的计算用叠加法求梁的挠度转角梁的弯矩方程剪力方程弯矩图剪力图拉压杆轴向变形量计算圆轴扭转时的强度刚度验算压杆稳定计算一点的应力状态应力图