金融数学在若干金融问题中的应用

1金融数学课题名称金融数学在若干金融问题中的应用院系理学系专业信息与计算科学学生姓名王杰学号102086215指导教师杨焕青2日期二零一三年十二月十三日摘要金融数学是运用数学理论和方法研究金融运行规律的一门新兴边缘学科本文对金融数学的基本概念产生发展的历史做了简要阐述重点论述以及数学知识在金融问题中的应用关键词金融数学证券投资组合资产定价期权定价引言金融数学是一门新兴的边缘学科是数学与金融学的交叉在20世纪后期金融学越来越多地表现出与数学的交融一方面运用适当的数学方法分析和解决金融问题另一方面金融中不断涌现的现实问题也向数学和统计学提出了理论上有价值的研究方向这样一种现实使得金融与数学逐渐形成一个新的交叉领域并逐渐发展成为一门新学科金融数学1近年来由于金融理论的长足进步现代信息技术的飞速发展以及金融市场的动荡金融创新步伐日益加快新的金融产品金融服务在市场上层出不穷资金的流动也显著加快金融市场运行的规律资产的定价风险管理以及投资决策分析显得空前重要这些问题是现代金融理论与实践中的核心问题2一金融数学简介广义来说金融数学是指应用数学理论和方法研究金融经济运行规律的一门新兴学科狭义来讲金融数学的主要研究内容是关于在不确定条件下的证券组合选择和资产定3价理论而套利最优和均衡则是这一理论中最重要的三个概念1二金融数学的发展金融数学开创性论文是1900年法国数学家BachelierL的学位论文投机理论3金融数学研究沉寂半个世纪后20世纪50年代伴随着计算机的广泛应用再度兴起在金融经济学频获诺贝尔经济学奖的同时也使得金融数学越来越受到金融理论界实务界和应用数学计算机数学界的青睐1970年Black与Scholes创立了期权定价数学模型BlackScholes期权定价公式3年后发表的论文引起了国际经济理论界实务界的极大关注开辟了理论指导金融实践的先河金融数学的发展促进了一类新的随机微分方程理论倒向随机微分方程的出现发展和逐步完善4至此有限维倒向随机微分方程的理论研究已趋完善该理论已被广泛应用到投资决策期权定价递归效用随机微分效用等经济理论和实践中三金融数学在若干金融问题中的应用31数学方法在金融投资风险与收益中的应用风险被认为是由于利率汇率商品价格股票价格的波动而导致的收益偏离期望值或平均值的可能性因此风险度量成为金融工程的一个主要组成部分常用的度量金融风险的数学方法可以分为确定性数学方法和不确定性数学方法4311确定性数学方法这种方法通过对金融投资风险的各种构成因索和评估指标的研究分析把这些因素和指标抽象成为确定性的数学变量并进一步把它们之间的相互关系抽象成为数学计算公式数学函数式或数学模型然后通过数学演算得出数值结果51假设新发债券到期收益率为S票面年利率为r面额为M发行价格为N返还期限为T则新发债券到期收益率为SrMNTN1002设债券面值为CR为投资收益率N为债券期限I为息票利率F为每次所付利息FIC则债券的价格M为3设股票价格为M预期股利收入为Q市场利息率为r股票票面价值为p股利率为c则股票价格M为312不确定性数学方法不确定性数学在控制金融投资风险方面最基本的应用就是把金融投资过程的可能损失或收益率抽象为随机变量然后用数学期望和方差或标准差来度量可能损失或收益率的平均值和波动性增加证券投资组合数目以及选择负相关的证券组合可以降低投资风险532倒向随机微分方程BSDE在证券投资组合中的应用设证券投资组合是由一种无风险债券和有风险的股票构成并且证券市场是完全的债券定价过程P0t满足dP0trP0tdt第i种股票定价过程为PitdPitiPitdtPitidWti1m投资者在t时刻的消费流为Ct收入流为Zt第i种证券交易成本为i交易策略Vit交易成本收入和消费都从无风险债券中存取S0t表示无风险债券在t时刻的投资值Sit为第i种股票在t时刻的投资值6因此为了满足投资者最终的投资目标Y最初需要的资金y0可求出33金融数学在期权定价中的应用最简单的例子如果你持有短期内不必消费的资金你一定想利用这笔资金去赢得利润假定市场上有两种方式可以让你投入资金以达到赢利的目的一种是没有风险的如存入银行经过一个单位时间之后你的资金x0便会增加到x01rr0是银行的利率另一种是带风险的如购买股票你花0购入的股票经过一个单位时间以后的价格1有可能是u0运气好或dS0不走运d数我们假定d而要是u1又有谁愿意购买股票这个条件金融学上称为市场无套利意即无空子可钻设想有一项期权经过一个单位时间以后将使你获利d若那时的股票价格为dS0或者u如果那时的股票价格为uS0它现在的价格该是多少即你要花多少钱去购买这项权利才是公平合理的所谓公平合理自然是指花了这么多钱去买这项权利所7得的回报与把这些钱以其他方式投资所得的利润一样为了找出期权的公平价格我们考虑一位不愿意承担风险的投资者两种不同方式的投资当他不购买期权而投资股票时购入0股价格为S0的股票经过一个单位时间之后他的回报可能是a0uS0也可能是a0dS0而由于没有购买期权的损失分别是u和d不愿意承担风险使他选择了投资股票的强度0满足a0uS0ua0dS0d即0ududS0这种投资方式使他在单位时间后的无风险财富为x1a0uS0uuudududuudud为了获得这一无风险回报他也可以用资金x011rx1做无风险投资来达到因此在初始时刻期权的合理定价应该是0aOSOx0ududduud1rud1rduu1rd1rud这个价格之所以合理是因为如果他把投资股票的资金aOSO改成用其中的C0买期权剩下的x0存入利率为的银行其效果是一样的如果令1rdud则1qu1rud定价公式可改写成1C0qu1qd把1分别解释为股票价格的概率那么右边是期权的概率平均回报左边则是用期权的合理价格去做无风险投资的回报这又从另一个角度说明这一价格的合理性利用金融数学技巧获得的期权定价理论已被推广到其它金融问题的研究之中如期货债券可转换债券利率掉期外汇汇率等并广泛应用于包括公司债券可变利率低押抵押贷款保险和税法在内的金融证券和合同的广阔领域该理论和方法不仅适用于证券市场的资产定价也适应于证券市场的风险分析它的应用已受到各国政府的重视而且取得了很好的实效总之随着金融领域的不断发展数学在金融中的应用也越来越广泛同时数学知识的研究已经成为金融学研究中的主要领域数学正在不断推动着金融实践的发展其在8金融市场中具有广泛的应用前景参考文献1孙蓓数学知识在若干金融问题中的应用J开封教育学院报20123222王小群金融数学介绍J系统工程19991763BACHELIERLTheoriedelaspeculationMphDdissertationIecoleNornaleSuperieure1900EnglishtranslationinPaulHcootnerTherandomcharacterofstockmarkpricesMAMITPress196417784MARKOWITZHPortfolioselectionJJournalofFinance19527177915LINTTNERJThevaluationofriskassetsandtheselectionofriskyinvestmentsinstockportfoliosandcapitalbudgetsJReviewofEconomicsandStatistic19654721337