2016年高考理数真题试卷（上海卷）(学生版).docx

2016年高考理数真题试卷（上海卷） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为________． 2.设Z= 3+2𝑖 𝑖 ，其中i为虚数单位，则Imz=________． 3.已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1 ， l2的距离________． 4.某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是________（米）． 5.已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=________． 6.在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan 2 3 ，则该正四棱柱的高等于________． 7.方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为________． 8.在（ 3 𝑥 − 2 𝑥 ）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 9.已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________． 10.设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组 { 𝑎𝑥+𝑦=1 𝑥+𝑏𝑦=1 无解，则a+b的取值范围为________． 11.无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N* ， Sn∈{2，3}，则k的最大值为________． 12.在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y= 1− 𝑥 2 上一个动点，则 𝐵𝑃 • 𝐵𝐴 的取值范围是________． 13.设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣ 𝜋 3 ）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为________． 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai ， Aj ， 点P满足 𝑂𝑃 + 𝑂 𝐴 𝑖 + 𝑂 𝐴 𝑗 = 0 ，则点P落在第一象限的概率是________． / 二、选择题 15.设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　） A. 充分非必要条件             /B. 必要非充分条件             /C. 充要条件             /D. 既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（　　） / A. ρ=6+5cosθ                    /B. ρ=6+5sinθ                    /C. ρ=6﹣5cosθ                    /D. ρ=6﹣5sinθ 17.已知无穷等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn ， 且  lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 =S，下列条件中，使得2Sn＜S（n∈N*）恒成立的是（　　） A. a1＞0，0.6＜q＜0.7                                          /B. a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C. a1＞0，0.7＜q＜0.8                                          /D. a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7 18.设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　） A. ①和②均为真命题                                              /B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题                                    /D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（74分） 19.将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为 2 3 π，A1B1长为 𝜋 3 ，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧． / （1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积； （2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小． 20.有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2 ， 其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图 / （1）求菜地内的分界线C的方程； （2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为 8 3 ．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的经验值． 21.双曲线x2﹣ 𝑦 2 𝑏 2 =1（b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 直线l过F2且与双曲线交于A，B两点． （1）直线l的倾斜角为 𝜋 2 ，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设b= 3 ，若l的斜率存在，且（ 𝐹 1 𝐴 + 𝐹 1 𝐵 ）• 𝐴𝐵 =0，求l的斜率． 22.已知a∈R，函数f（x）=log2（ 1 𝑥 +a）． （1）当a=5时，解不等式f（x）＞0； （2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围． （3）设a＞0，若对任意t∈[ 1 2 ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 23.若无穷数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1 ， 则称{an}具有性质P． （1）若{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3； （2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn ， 判断{an}是否具有性质P，并说明理由； （3）设{bn}是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*），求证：“对任意a1 ， {an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”．  答案解析部分 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.【答案】 （2，4） 【考点】绝对值不等式 【解析】【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1， ∴﹣1＜x﹣3＜1， 解得2＜x＜4． ∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．；本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用． 2.【答案】 -3 【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：∵Z= 3+2𝑖 𝑖 = 3𝑖+2 𝑖 2 𝑖 2   = 3𝑖−2 −1   =2﹣3i， ∴Imz=﹣3． 故答案为：﹣3． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz．；本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用． 3.【答案】 2 5 5 【考点】两条平行直线间的距离 【解析】【解答】平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1 ， l2的距离= 1+1 2 2 + 1 2   = 2 5 5   ． 故答案为： 2 5 5 ． 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．；本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力． 4.【答案】 1.76 【考点】众数、中位数、平均数 【解析】【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77， 从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80， 位于中间的两个数值为1.75，1.77， ∴这组数据的中位数是：  1.75+1.77 2 =1.76（米）． 故答案为：1.76． 【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用． 5.【答案】 log2（x﹣1）（x＞1） 【考点】反函数 【解析】【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，∴9=1+a3 ， 解得a=2． ∴f（x）=1+2x ， 由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）． 把x与y互换可得：f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）． 故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）． 【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，可得9=1+a3 ， 解得a=2．可得f（x）=1+2x ， 由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f﹣1（x）．；本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6.【答案】 2 2 【考点】棱柱的结构特征 【解析】【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD， ∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角， ∴tan∠D1BD= 2 3 ， ∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3， ∴BD=3 2 ，∴正四棱柱的高=3 2 × 2 3 =2 2 ， 故答案为：2 2 ． / 【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高．本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角． 7.【答案】 𝜋 6 或 5𝜋 6 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx= 1 2 ，x∈[0，2π]解得x= 𝜋 6 或 5𝜋 6 ．故答案为： 𝜋 6 或 5𝜋 6 ． 【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．；本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力． 8.【答案】 112 【考点】二项式定理的应用 【解析】【解答】解：∵在（ 3 𝑥 ﹣ 2 𝑥 ）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴2n=256，解得n=8， ∴（ 3 𝑥 ﹣ 2 𝑥 ）8中，Tr+1= /= /， ∴当 /=0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）2 𝐶 8 2 =112． 故答案为：112． 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．；本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 9.【答案】 7 3 3 【考点】解三角形的实际应用 【解析】【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC= /= /=﹣ /，可得sinC= /= 1− 1 4 = 3 2 ，可得该三角形的外接圆半径为 𝑐 2sin𝐶 = 7 2× 3 2   = 7 3 3 ．故答案为： 7 3 3 ． 【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为 𝑐 2sin𝐶 ，代入计算即可得到所求值．；本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题． 10.【答案】 （2，+∞） 【考点】基本不等式，两条直线平行的判定 【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组 𝑎𝑥+𝑦=1 𝑥+𝑏𝑦=1   无解， ∴直线ax+y=1与x+by=1平行， ∵a＞0，b＞0， ∴ 𝑎 1 = 1 𝑏 ≠ 1 ，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b= 1 𝑎 ，则a+b=a+ 1 𝑎 ，则设f（a）=a+ 1 𝑎 ，（a＞0且a≠1），则函数的导数f′（a）=1﹣ 1 𝑎 2 = 𝑎 2 −1 𝑎 2 ，当0＜a＜1时，f′（a）= 𝑎 2 −1 𝑎 2 ＜0，此时函数为减函数，此时f（a）＞f（1）=2，当a＞1时，f′（a）= 𝑎 2 −1 𝑎 2 ＞0，此时函数为增函数，f（a）＞f（1）=2， 综上f（a）＞2， 即a+b的取值范围是（2，+∞）， 故答案为：（2，+∞）． 【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可．；本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键． 11.【答案】 4 【考点】数列与函数的综合 【解析】【解答】解：对任意n∈N* ， Sn∈{2，3}，可得 当n=1时，a1=S1=2或3； 若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1； 若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1； 或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1； 若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1； 或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1； 或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1； 或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1； 或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1； … 即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4， 不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1． 故答案为：4． 【分析】对任意n∈N* ， Sn∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．；本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题． 12.【答案】 [0，1+ 2 ] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y= 1− 𝑥 2 上一个动点， ∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]， ∴ 𝐵𝐴 → =（1，1）， 𝐵𝑃 → =（cosα，sinα+1）， 𝐵𝑃 → · 𝐵𝐴 → =cosα+sinα+1= 2 sin 𝛼+ 𝜋 4 +1  ， ∴ 𝐵𝑃 → • 𝐵𝐴 → 的取值范围是[0，1+ 2 ]． 故答案为：[0，1+ 2 ]． 【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则 𝐵𝐴 → =（1，1）， 𝐵𝑃 → =（cosα，sinα+1），由此能求出 𝐵𝑃 → • 𝐵𝐴 → 的取值范围．；本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用． 13.【答案】 4 【考点】三角函数的周期性及其求法 【解析】【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣ 𝜋 3 ）=asin（bx+c），∴必有|a|=2， 若a=2，则方程等价为sin（3x﹣ 𝜋 3 ）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C= 5𝜋 3 ，若b=﹣3，则C= 4𝜋 3 ，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣ 𝜋 3 ）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C= 𝜋 3 ，若b=3，则C= 2𝜋 3 ，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3， 5𝜋 3 ），（2，﹣3， 4𝜋 3 ），（﹣2，﹣3， 𝜋 3 ），（﹣2，3， 2𝜋 3 ），共有4组， 故答案为：4． 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．；本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键． 14.【答案】 5 28 【考点】平面向量的综合题 【解析】【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为 𝐶 8 2 =28 ． 满足 𝑂𝑃 → + 𝑂 𝐴 𝑖 → +  𝑂 𝐴 𝑗 → = 0 → ，且点P落在第一象限，对应的Ai ， Aj ， 为：（A4 ， A7），（A5 ， A8），（A5 ， A6），（A6 ， A7），（A5 ， A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是 P= 5 28 ， 故答案为： 5 28 ． 【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足 𝑂𝑃 → + 𝑂 𝐴 𝑖 → + 𝑂 𝐴 𝑗 → = 0 → ，且点P落在第一象限，则需向量 𝑂 𝐴 𝑖 → + 𝑂 𝐴 𝑗 → 的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．；本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题． 二、选择题 15.【答案】 A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1， 即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件， 故选：A． 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．；本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础． 16.【答案】 D 【考点】简单曲线的极坐标方程 【解析】【解答】解：由图形可知：𝜃=− 𝜋 2   时，ρ取得最大值， 只有D满足上述条件． 故选：D． 【分析】由图形可知： 𝜃=− 𝜋 2 时，ρ取得最大值，即可判断出结论．；本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17.【答案】 B 【考点】等比数列的前n项和 【解析】【解答】解：∵ 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 1− 𝑞 𝑛 1−𝑞   ，S= lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 1−𝑞   ，﹣1＜q＜1，2Sn＜S， ∴a1(2qn-1)>0  ，若a1＞0，则 𝑞 𝑛 > 1 2 ，故A与C不可能成立；若a1＜0，则qn< 1 2 ，故B成立，D不成立． 故选：B． 【分析】由已知推导出 a1(2qn-1)>0  ，由此利用排除法能求出结果．；本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 18.【答案】 D 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）= 2𝑥,𝑥≤1 −𝑥+3,𝑥>1   ．g（x）= 2𝑥+3,𝑥≤0 −𝑥+3,0<𝑥<1 2𝑥,𝑥≥1   ，h（x）= −𝑥,𝑥≤0 2𝑥,𝑥>0   ． ②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T）， 前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确． 故选：D． 【分析】①不成立．可举反例：f（x）= 2𝑥,𝑥≤1 −𝑥+3,𝑥>1 ．g（x）= 2𝑥+3,𝑥≤0 −𝑥+3,0<𝑥<1 2𝑥,𝑥≥1 ，h（x）= −𝑥,𝑥≤0 2𝑥,𝑥>0 ． ②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）