2016年高考文数真题试卷（上海卷）(教师版).docx

2016年高考文数真题试卷（上海卷） 一、填空题 1.设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为________． 【答案】 （2，4） 【考点】绝对值不等式 【解析】【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1， ∴﹣1＜x﹣3＜1， 解得2＜x＜4． ∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．；本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用． 2.设 𝑍=3+2𝑖𝑖 ，期中 𝑖 为虚数单位，则 Im𝑧 =________. 【答案】 -3 【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】 𝑧=3+2ii=2−3𝑖,Imz=-3. 【分析】利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.已知平行直线 𝑙1:2𝑥+𝑦−1=0,𝑙2:2𝑥+𝑦+1=0 ，则 𝑙1,𝑙2 的距离________. 【答案】 255 【考点】两条平行直线间的距离 【解析】【解答】利用两平行线间距离公式得 𝑑=|𝑐1−𝑐2|𝑎2+𝑏2=|−1−1|22+12=255 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力． 4.某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是________（米）． 【答案】 1.76 【考点】众数、中位数、平均数 【解析】【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77， 从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80， 位于中间的两个数值为1.75，1.77， ∴这组数据的中位数是：  1.75+1.772=1.76（米）． 故答案为：1.76． 【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用． 5.若函数 𝑓(𝑥)=4𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 的最大值为5，则常数 𝑎= ________． 【答案】 ±3 【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的最值 【解析】【解答】 𝑓(𝑥)=16+𝑎2sin(𝑥+𝜙) ，其中 tan𝜙=𝑎4 ，故函数 𝑓(𝑥) 的最大值为 16+𝑎2 ，由已知， 16+𝑎2=5 ，解得 𝑎=±3 ． 【分析】利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得a的值．本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题． 6.已知点 (3,9) 在函数 𝑓(𝑥)=1+𝑎𝑥 的图像上，则 𝑓(𝑥) 的反函数 𝑓−1(𝑥)= ________． 【答案】 log2(𝑥−1) 【考点】反函数 【解析】【解答】将点（3，9）带入函数 𝑓(𝑥)=1+𝑎𝑥 的解析式得 𝑎=2 ，所以 𝑓(𝑥)=1+2𝑥 ，用 𝑦 表示 𝑥 得 𝑥=log2(𝑦−1) ，所以 𝑓−1(𝑥)=log2(𝑥−1) ． 【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，可得9=1+a3 ， 解得a=2．可得f（x）=1+2x ， 由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f﹣1（x）．本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7.若 𝑥,𝑦 满足 {𝑥≥0,𝑦≥0,𝑦≥𝑥+1,  则 𝑥−2𝑦 的最大值为________． 【答案】 ﹣2 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】由不等式组画出可行域，如图，令 𝑧=𝑥−2𝑦 ，当直线 𝑦=12𝑥−12𝑧 经过点 𝑃(0,1) 时， 𝑧 取得最大值，且为 −2 ．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法． 8.方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为________． 【答案】 𝜋6或 5𝜋6 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx= 12 ，x∈[0，2π]解得x= 𝜋6 或 5𝜋6 ．故答案为： 𝜋6 或 5𝜋6 ． 【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．；本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力． 9.在 (3𝑥−2𝑥)𝑛 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 【答案】 112 【考点】二项式定理的应用 【解析】【解答】由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为 2𝑛 ，由题意得 2𝑛=256 ，所以 𝑛=8 ，二项式的通项为 𝑇𝑟+1=𝐶8𝑟(3𝑥)8−𝑟(−2𝑥)𝑟=(−2)𝑟𝐶8𝑟𝑥83−43𝑟 ，求常数项则令 83−43𝑟=0 ，所以 𝑟=2 ，所以 𝑇3=112 ． 【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 10.已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________． 【答案】 733 【考点】解三角形的实际应用 【解析】【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC=
=
=﹣
，可得sinC=
= 1−14 = 32 ，可得该三角形的外接圆半径为 𝑐2sin𝐶 =72×32  = 733 ．故答案为： 733 ． 【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为 𝑐2sin𝐶 ，代入计算即可得到所求值．；本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题． 11.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________． 【答案】 16 【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】甲同学从四种水果中选两种，选法种数为
，乙同学的选法种数为
， 则两同学的选法种数为
种．两同学相同的选法种数为
．由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为
．故答案为：
． 【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法相同的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题． 12.如图，已知点O（0,0）,A（1．0）,B（0,−1）,P是曲线 𝑦=1−𝑥2 上一个动点，则 𝑂𝑃⋅𝐵𝐴 的取值范围是________．
【答案】 [−1,2] 【考点】平面向量数量积的运算，向量在几何中的应用 【解析】【解答】设
=（x，y），则
=（x，
）， 由A（1，0），B（0，﹣1），得：
=（1，1），∴
•
=x+
， 令x=sinθ，
•
=sinθ+cosθ=
sin（θ+
），故
•
的范围是[﹣
，
]，故答案为：[﹣
，
]． 【分析】设出
=（x，y），得到
•
=x+
，令x=sinθ，根据三角函数的性质得到
•
=sinθ+cosθ=
sin（θ+
），从而求出
•
的范围即可．本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题，是一道基础题． 13.设a＞0,b＞0． 若关于x,y的方程组 {𝑎𝑥+𝑦=1,𝑥+𝑏𝑦=1 无解，则 𝑎+𝑏 的取值范围是________． 【答案】 （2，+∞） 【考点】参数方程化成普通方程 【解析】【解答】方程组无解等价于直线 𝑎𝑥+𝑦=1 与直线 𝑥+𝑏𝑦=1 平行，所以 𝑎𝑏=1 且 𝑎≠𝑏≠1 ．又 𝑎 ， 𝑏 为正数，所以 𝑎+𝑏>2𝑎𝑏=2 （ 𝑎≠𝑏≠1 ），即 𝑎+𝑏 取值范围是 (2,+∞) ． 【分析】根据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出a，b的关系，再使用基本不等式得出答案．本题考查了直线平行与斜率的关系，基本不等式的应用，属于基础题． 14.无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和．若对任意的 𝑛∈𝑁∗ ， 𝑆𝑛∈{2，3} 则k的最大值为________． 【答案】 4 【考点】数列与函数的综合 【解析】【解答】解：对任意n∈N* ， Sn∈{2，3}，可得 当n=1时，a1=S1=2或3； 若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1； 若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1； 或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1； 若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1； 或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1； 或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1； 或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1； 或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1； … 即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4， 不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1． 故答案为：4． 【分析】对任意n∈N* ， Sn∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题． 二、选择题 15.）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（    ） A. 充分非必要条件             
B. 必要非充分条件             
C. 充要条件             
D. 既非充分也非必要条件 【答案】 A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】 𝑎>1⇒𝑎2>1,𝑎2>1⇒𝑎>1或𝑎<−1 ，所以是充分非必要条件，选A． 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础． 16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（   ）
A. 直线AA1                                  
B. 直线A1B1                        
C. 直线A1D1                     
D. 直线B1C1 【答案】 D 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1 ， A1B1 ， A1D1都和直线EF为异面直线； B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行； ∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确． 故选：D． 【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项．考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状． 17.设 𝑎∈𝑅 ， 𝑏∈[0,2𝜋] ．若对任意实数x都有 sin(3𝑥−𝜋3)=sin(𝑎𝑥+𝑏) ，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（   ） A. 1                                           
B. 2                                           
C. 3                                           
D. 4 【答案】 B 【考点】终边相同的角 【解析】【解答】 sin(3𝑥−𝜋3)=sin(3𝑥−𝜋3+2𝜋)=sin(3𝑥+5𝜋3) ， (𝑎,𝑏)=(3,5𝜋3) ， 又 sin(3𝑥−𝜋3)=sin[𝜋−(3𝑥−𝜋3)]=sin(−3𝑥+4𝜋3) ， (𝑎,𝑏)=(−3,4𝜋3) ， 注意到 𝑏∈[0,2𝜋) ，只有这两组．故选B． 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键． 18.）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　） A. ①和②均为真命题                                              
B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题                                    
D. ①为假命题，②为真命题  【答案】 D 【考点】复合命题的真假 【解析】【解答】因为 𝑓(𝑥)=[𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)]+[𝑓(𝑥)+ℎ(𝑥)]−[𝑔(𝑥)+ℎ(𝑥)]2 必为周期为 𝜋 的函数，所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此①不一定．选D．函数性质 【分析】①举反例说明命题不成立； ②根据定义得f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T）